Файл: Первообразная. Пусть на некотором промежутке задана функция. Функция называется первообразной.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.02.2024
Просмотров: 4
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Первообразная.
Пусть на некотором промежутке задана функция . Функция называется первообразной для на этом промежутке, если для всех выполняется равенство
.
Например, функция является первообразной для функции , так как .
Но функция тоже является первообразной для функции , так как .
Аналогично, функции , будут первообразными для функции .
Основное свойство первообразной
Если функция есть первообразная для функции на некотором промежутке , то функция , где С – произвольная постоянная, - также является первообразной для функции на промежутке , причем любая другая первообразная функции
на промежутке может быть записана в виде .
Геометрически основное свойство первообразных можно интерпретировать так: графики всех первообразных данной функции получаются из любого из них путем параллельного переноса вдоль оси
Три правила нахождения первообразных:
1.Если есть первообразная для , а - первообразная для , то есть первообразная для .
2. Если есть первообразная для , а – постоянная, то функция первообразная для
3. Если есть первообразная для , а и постоянные, причем
, то есть первообразная для .
Таблица первообразных:
Функция | Общий вид первообразных |
( постоянная) | |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
> 0, | |
Пример 1. Докажем, что функция есть первообразная для функции на заданном промежутке:
а)
Найдем производную функции .
, для всех , что и требовалось доказать.
б)
Найдем производную функции .
Так как , то для всех Что и требовалось доказать.
Пример 2. Используя таблицу первообразных, найдем одну из первообразных для функции:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Пример 3. Для функции найдем первообразную, график которой проходит через заданную точку:
а) ;
Запишем общий вид первообразных для данной функции: Координаты точки
графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению . Отсюда находим :
Таким образом, искомая первообразная имеет вид .
Пример 4. Найдем общий вид первообразных для функций:
а) .
Для функции одна из первообразных есть , а для функции одной из первообразных является функция , то по правилу 1 находим, что для функции одной из первообразных будет , а общий вид первообразных будет
б)
По правилу 3 одной из первообразных для функции будет функция , а множество всех первообразных данной функции имеет вид
Задания для самостоятельного выполнения: