ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.02.2024
Просмотров: 12
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
ПЛАН ЗАНЯТИЯ №2
Вид занятия лекция
Тема. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного.
Цель:
-
сформировать понятия производной функции; рассмотреть физический и геометрический смысл производной; алгоритм нахождения производной; научить вычислять производную функции, используя данный алгоритм; познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций, формировать умения применять полученные знания -
развить умение логически и аргументировано рассуждать, используя обобщения, анализ, сравнение; -
воспитывать наблюдательность в ходе отыскания математических зависимостей, повышать интерес к математике.
Литература
-
Ш.А.Алимов, Ю.М.Колянин, М.В.Ткачева, НЕ Федорова, М.И.Шабунин. Математика: алгебра и начала математического анализа 10-11 класс: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и углубленный уровни/ Ш.А.Алимов и др./-3-е изд.-М:Просвещение, 2016. -463с. (Глава VIII, §44, 46) -
Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы.-В 2 ч. Ч.1 Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г.Мордкович. – 14-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013.- 400с. (Глава 5, §27, 28) -
Н. И. Шкиль, З. И. Слепкань, Е. С. Дубинчук .Алгебра и начала анализа :учебник для 11 класса общеобразовательных учебных заведений/Шкиль Н.И и др.;Пер. с укр.-К: Зодіак-еко, 2003 .-400с. (Глава 1 §9-10, 12)
СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ
Организационная часть Приветствие, проверка отсутствующих, задание дежурным, настрой группы на плодотворную работу. Проверка домашнего задания
Актуализация опорных знаний и мотивация научной деятельности
путем фронтальной беседы повторить понятие
-
Предел функции -
Приращение аргумента -
Приращение функции
Вопрос занятия
-
Задачи, которые приводят к понятию производной -
Производная, ее геометрический и физический смысл -
Производная суммы/разности -
Производная произведения/частного
Подведение итогов: обобщение материала
Выдача задачи для самостоятельной работы студентов
Лекция № 3 (занятие №3)
Тема. Понятие о производной функции, ее геометрический и физический смысл. Производная суммы, разности, произведения, частного.
Перейдем к основным идеям одного из важнее разделов математики – дифференциального исчисления. Методы дифференциального исчисления дают возможность свести изучение сложного процесса к более простому – равномерному, найти его скорость и ускорение, определить условия оптимального прохождения процесса, оценить допущенные погрешности, построить графики и др. Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором рассматривается исследования функций с помощью производных и дифференциалов.
-
Задачи, которые приводят к понятию производной
Задача 1 (о мгновенной скорости). Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть
Задача 2 (о касательной к графику). Пусть кривая задана уравнением . Соединим две ее точки М0( , ) и М( ,
) секущей.
Тогда дробь = , где есть угол наклона секущей к оси OX (в треугольнике М0МТ отношение катетов)
При точка M начинает двигаться к точке M0. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M0 и в пределе она превратиться в касательную к точке M0. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что
,
где угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX, k угловой коэффициент касательной.
Задача 3 (о скорости химической реакции) Пусть (t) есть количество вещества прореагировавшего за время t. Спустя время количество прореагировавшего вещества будет , т.е. за время количество прореагировавшего вещества . Поэтому средняя скорость химической реакции за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость химической реакции в момент времени надо устремить к нулю, то есть
Поскольку с помощью предела решают кроме рассмотренных ещё и много других важнейших задач (например: задача о величине переменного тока,
который течет в проводнике; нахождении линейной плотности неоднородного стержня, теплоемкости тела при его нагревании, угловой скорости тела, которое вращается и многие др), то целесообразно всесторонне изучить данный предел, в частности, указать способы его вычисления. Этот предел в математике и носит название производной.
-
Производная, ее геометрический и физический смысл
Определение: Производной данной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее стремится к нулю и такой предел существует и конечен.
Заметим, что производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f '(x)
Производная обозначается символами f'(x), y', . Конкретное значение производной при x=a обозначается f'(a) или y'|x=a.
Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции.
Для непосредственного нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:
-
Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx). -
Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x). -
Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx→0.
Примеры.
-
Найти производную функции y = x2
а) в произвольной точке;
б) в точке x= 2.
а)
-
f(x + Δx) = (x + Δx)2; -
Δy = (x + Δx)2 – x2=2xΔx– x2; -
.
б) f '(2) = 4
-
Используя определение найти производную функции в произвольной точке.-
. -
-
-
Учитывая задачи о мгновенной скорости и касательной к графику легко построить следующие утверждения:
Физический смысл производной: скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.
Геометрический смысл производной: у'(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0 (т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0(x;y) с положительным направлением оси Ox).
Определение. Касательной к графику функции в точке М0(x0, y0) назовем предельное положение секущей М0М, когда точка М, двигаясь вдоль кривой, стремиться к совпадению с точкой М0..
Уравнение касательной к графику функции в точке М0 (x0, y0):
.
(вывод формулы самостоятельно, у=kx+b-уравнение прямой, k= )
-
Производная суммы/разности
Итак, мы дали определение производной, объяснили ее физический и геометрический смысл. Теперь необходимо сделать следующий шаг - рассмотреть правила дифференцирования.
Применяя общий способ нахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулы дифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) – две дифференцируемые функции от переменной x.
Основные правила дифференцирования выражаются формулами: