Файл: Лекция Тема.docx

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 1.

Пусть y = u(x) + v(x). Для значения аргумента x+Δx имеем y(x+Δx)=u(x+Δx) + v(x+Δx).

Тогда

Δy=y(x+Δx) – y(x) = u(x+Δx) + v(x+Δx) – u(x) – v(x) = Δu +Δv.

Следовательно,

.

(построить вывод следствия)

4. 
   Производная произведения/частного
   

Доказательство формулы 2.

Пусть y=u(x)·v(x). Тогда y(x+Δx)=u(x+Δx)·v(x+Δx), поэтому

Δy=u(x+Δx)·v(x+Δx) – u(x)·v(x).

Заметим, что поскольку каждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этой точке, а значит u(x+Δx)→u(x), v(x+Δx)→v(x), при Δx→0.

Поэтому можем записать



На основании этого свойства можно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ' = u '·(v·w) + u·(v ·w) ' = u '·v·w + u·(v '·w +v·w ') = u '·v·w + u·v '·w + u·v·w '.

(построить вывод следствия)

Доказательство формулы 3.

Пусть . Тогда



При доказательстве воспользовались тем, что v(x+Δx)→v(x) при Δx→0.

(построить вывод следствий)


Вопросы для самопроверки

1) При каком движении средняя скорость всегда совпадает с мгновенной?

2) Закон прямолинейного движения тела выражается формулой x = kt + b. Какое механическое содержание коэффициентов k, b?

3) Дать определения производной заданной функции.

4) Охарактеризовать символы

5) Который геометрический и физический смысл производной?

6) Как найти производную, исходя из ее определения?

7) Доказать, пользуясь определением производной,

Задания для самостоятельного решения

---

[ш -11]– прочитать § 6,7,8, ответить на вопросы стр.49; выполнить задания №17,18(1,2).

Исходя из определения производной, непосредственно найти производные от функций в заданных точках:

а) вычислить и . .

б) вычислить и . .

---