Файл: Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.02.2024
Просмотров: 16
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается
.Угол A обозначается соответствующей греческой буквой
.
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет
, лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет 
, который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
tg A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
ctg A
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
| sin  | sin  cos |  |
| cos  | 1+tg | cos = sin  |
| tg  | 1+ctg  | sin = cos |
| ctg  | | tg = ctg |
Давайте докажем некоторые из них.
-
Сумма углов любого треугольника равна
. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 
. -
С одной стороны,
как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, 
, поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что 
. Иными словами, 
. -
Возьмем теорему Пифагора:
. Поделим обе части на 
получаем то есть 
Мы получили основное тригонометрическое тождество. -
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на
, получим: 
Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от
до .  | 0 |  |  |  |  |
| sin | 0 |  |  |  |  |
| cos | | | | | 0 |
| tg | 0 |  | |  | − |
| ctg | − | | | | 0 |
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Примеры решения заждач
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен
, sin A = 0,1. Найдите cos B.Задача решается за четыре секунды.
Поскольку
, sin A = cos B = 0,1.Задача 2. В треугольнике
угол 
равен , 
, 
.Найдите
.
Решение:
Отсюда
Найдем AC по теореме Пифагора.
Ответ: 4,8.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен
AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.Решение:
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против
Значит, sin A 
Катет, прилежащий к
– это катет АС, следовательно, cos А 
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Тогда
cos А
tg A
Ответ: 0,92; 0,42.
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен
AC = 2, sin A= 
Найдите BC.
Решение:
AC = b = 2, BC = a, AB = c.
Так как sin A
По теореме Пифагора
получим
Ответ: 0,5.
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен
tg A = 
