Файл: Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.05.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)
З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
=
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=
∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица
=
α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))
(
,
(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))
(
,
(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))
(
,
(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t
0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,
(
0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1
0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель
t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t
0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x
суть правосторонние пределы в точке разрыва
j
t
, а
)
(
−
s
t
x
– левосторонние преде- лы.
10.2. Необходимые условия оптимальности
Необходимые условия экстремума функционала (147) состоят из:
• правила множителей Лагранжа;
• уравнений Эйлера–Лагранжа;
• условий Эрдмана–Вейерштрасса;
• условий трансверсальности.
Для рассматриваемых разрывных задач эти условия имеют следующий вид.
Правило множителей
.
Вводятся функции Лагранжа для разрывных задач:
)
1
,
1
(
1
)
(
)
(
−
=
λ
=
∑
=
q
j
F
F
m
i
j
i
i
j
(148) и
∑
=
+
Φ
=
p
k
k
k
g
L
1
µ
, (149) а затем отыскиваются функции
k
i
i
t
t
x
µ
),
(
),
(
λ
, удовлетворяющие (145), (146) и доставляющие стационарное значение вспо- могательному функционалу
J
(стационарной величиной называется такое значение J, вариация
J
δ
которой равна нулю:
0
=
δJ
):
∑ ∫
∫
−
=
+
+
=
+
=
1 1
)
(
1 1
q
j
t
t
j
t
t
j
j
q
dt
F
L
Fdt
L
J
. (150)
В этом случае вариация
J
δ
функционала
J
имеет следующее выражение:
)
151
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
2 1
)
2
(
1
)
1
(
2 1
1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 1
)
2
(
2 1
2
)
1
(
2 1
1
)
1
(
1 1
2 1
2 2
1 2
2 1
dt
t
x
x
F
x
F
dt
d
dt
x
x
F
x
F
dt
d
dt
x
x
F
t
L
dt
x
x
F
x
x
F
t
L
dt
x
x
F
t
L
t
dx
x
F
t
x
L
t
dx
x
F
t
x
L
t
dx
x
F
t
x
L
t
dx
x
F
t
x
L
J
i
n
i
t
t
i
q
i
q
n
i
i
t
t
i
i
q
n
i
t
i
i
q
q
n
i
t
i
n
i
t
i
i
n
i
t
i
i
n
i
q
i
t
i
q
q
i
i
n
i
t
i
i
n
i
i
t
i
i
n
i
i
t
i
i
q
q
q
q
δ
∂
∂
+
∂
∂
−
+
+
+
δ
∂
∂
+
∂
∂
−
+
∂
∂
−
∂
∂
+
+
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
+
∂
∂
−
∂
∂
+
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
δ
∑ ∫
∑∫
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
−
−
=
=
−
=
=
=
=
−
+
=
+
=
−
−
=
+
−
−
+
−
+
−
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
&
Уравнения Эйлера–Лагранжа
.
Из выражения (151) вытекает, что если x(t) – кривая, доставляющая стационарное зна- чение функционалу J (т.е.
0
=
δJ
), то между точками разрывов удовлетворяются уравнения Эйлера–Лагранжа:
)
1
,
1
;
,
1
(
0
)
(
)
(
−
=
=
=
∂
∂
−
∂
∂
q
j
n
i
x
F
x
F
dt
d
i
j
i
j
&
. (152)
Условия Эрдмана–Вейерштрасса и условия трансверсальности.
В концевых точках
q
t
t ,
1
и точках разрыва
j
t вы- полняются соотношения, обобщающие условия трансверсальности и условия Эрдмана–Вейерштрасса (см. п. 9.2):
1) при
1
t
t
=
0
)
(
;
0 1
1
)
(
1 1
)
1
(
1
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
=
∑
t
t
i
j
i
n
i
t
t
i
i
x
F
t
x
L
x
x
F
t
L
&
&
&
; (153)
2) при
)
1
...,
,
3
,
2
(
−
=
=
q
j
t
t
j
0
)
(
)
(
;
0
)
(
)
(
)
(
)
1
(
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
−
=
+
=
−
−
j
j
t
t
i
j
j
i
t
t
i
j
j
i
t
x
F
t
x
L
t
x
F
t
x
L
&
; (154)
0 1
)
1
(
1
)
(
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∑
∑
=
=
−
=
=
−
+
n
i
t
t
i
i
j
n
i
t
t
i
i
i
j
j
j
j
x
x
F
x
x
F
t
L
&
&
&
&
; (155)
3) при
q
t
t
=
0
)
(
;
0
)
1
(
1
)
1
(
=
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
−
∑
q
q
t
i
q
q
i
n
i
t
i
i
q
g
x
F
t
x
L
x
x
F
t
L
&
&
&
. (156)
Для задач с фиксированными величинами разрывов (скачков) краевые условия типа (146) включают соотношения вида
)
(
)
(
)
(
j
i
j
i
j
i
k
t
x
t
x
g
∆
−
−
≡
+
−
, (157) где
)
( j
i
∆
– постоянная (величина скачка
i
x
в момент времени
j
t ),
p
k
q
j
n
i
,
1
,
1
,
2
,
,
1
=
−
=
=
Тогда при
)
1
,
2
(
−
=
=
q
j
t
t
j
условия (154) и (155) имеют вид
0 1
)
1
(
1
)
(
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∑
∑
=
=
−
=
=
−
+
n
i
t
t
i
i
j
n
i
t
t
i
i
j
j
j
j
x
x
F
x
x
F
t
L
&
&
&
&
; (158)
0
)
(
)
1
(
)
(
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
+
=
−
=
j
j
t
t
i
j
t
t
i
j
j
i
x
F
x
F
t
x
L
&
&
. (159)
Контрольные вопросы
1. Перечислите необходимые условия оптимальности.
2. Приведите физическую интерпретацию задачи с разрывами.
Г л а в а 1 1
ЗАДАЧА ЛАГРАНЖА И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
11.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа
Задачей Лагранжа называется следующая экстремальная задача в пространстве
2 1
)
,
(
)
,
(
R
R
R
×
∆
×
∆
=
Ξ
r
n
C
C
: f
in
)
,
),
(
),
(
(
1 0
0
′
→
⋅
⋅
Β
t
t
u
x
; (з)
0
))
(
),
(
,
(
)
(
)
,
),
(
),
(
(
1 0
=
−
=
⋅
⋅
Φ
t
t
t
t
t
t
u
x
x
u
x
ϕ
&
; (1)
m
i
t
t
i
′
=
≤
⋅
⋅
Β
,
1
,
0
)
,
),
(
),
(
(
1 0
u
x
; (2)
m
m
i
t
t
i
,
1
,
0
)
,
),
(
),
(
(
1 0
+
′
=
=
⋅
⋅
Β
u
x
, (3) где
m
i
t
t
t
t
dt
t
f
t
t
t
t
i
i
i
,
0
,
))
(
,
),
(
,
(
)
,
,
(
)
,
),
(
),
(
(
1 0
1 1
0 0
1 0
=
ψ
+
=
⋅
⋅
Β
∫
x
x
u
x
u
x
Здесь
∆
– заданный конечный отрезок,
,
,
1 0
∆
∈
t
t
f
i
: R
× R
n
× × R
r
→ R – функции n + r + 1 переменных,
R
R
R
R
R
→
×
×
×
ψ
n
n
i
:
– функции 2n + 2 переменных,
n
r
n
R
R
R
R
→
×
×
ϕ :
вектор-функция n + r + 1 переменных.
Ограничение (1) называется дифференциальной связью, вектор-функция
))
(
...,
),
(
(
)
(
1
⋅
⋅
=
⋅
n
x
x
x
– фазовой переменной, вектор-функция
))
(
...,
),
(
(
)
(
1
⋅
⋅
=
⋅
r
u
u
u
– управлением.
Четверка
)
,
),
(
),
(
(
1 0
t
t
⋅
⋅
u
x
называется управляемым процессом в задаче
Лагранжа, если
)
,
(
)
(
),
,
(
)
(
1
r
n
C
C
R
u
R
x
∆
∈
⋅
∆
∈
⋅
,
1 0
1 0
,
int
,
t
t
t
t
<
∆
∈
, и всюду на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
выполняется дифференциальная связь (1), и допустимым управляемым процессом, если эта четверка является управляемым процессом и, кроме того, выполнены огра- ничения (2), (3).
Допустимый управляемый процесс
)
ˆ
,
ˆ
),
(
ˆ
),
(
ˆ
(
ˆ
1 0
t
t
⋅
⋅
=
&
u
x
ξ
называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом в задаче (з), если существует такое
0
>
δ
, что для любого допустимого управляемого процесса
)
,
),
(
),
(
(
1 0
t
t
⋅
⋅
=
u
x
ξ
, удовлетворяющего условию
δ
<
−
Ξ
ξ
ξ ˆ
, выполнено неравенство
)
ˆ
(
)
(
ξ
ξ
Β
Β
≥
Правило решения.
1. Составить функцию Лагранжа:
)
],
,
([
)
(
),
...,
,
,
(
,
))
(
,
),
(
,
(
))
,
,
(
)(
(
)
,
,
(
)
),
(
;
,
),
(
),
(
(
*
1 0
1 1
0 0
1 1
0 0
0 1
0 1
0
n
m
t
t
m
i
i
i
m
i
i
i
t
t
C
p
t
x
t
t
x
t
dt
t
t
t
f
t
t
R
u
x
x
p
u
x
p
u
x
∈
⋅
λ
λ
λ
=
λ
ψ
λ
+
−
+
λ
=
=
λ
⋅
⋅
⋅
Α
∫
∑
∑
=
=
ϕ
&
2. Выписать необходимые условия оптимального в слабом смысле процесса
)
ˆ
,
ˆ
),
(
ˆ
),
(
ˆ
(
ˆ
1 0
t
t
⋅
⋅
=
u
x
ξ
: а) стационарности по x – уравнение Эйлера:
]
ˆ
,
ˆ
[
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
)
(
0
)
(
ˆ
)
(
ˆ
1 0
0
t
t
t
t
t
t
f
t
p
t
L
t
L
dt
d
x
m
i
ix
i
x
x
∈
∀
ϕ
−
λ
=
⇔
=
+
−
∑
=
p
&
&
для лагранжиана
))
,
,
(
)(
(
)
,
,
(
0
u
x
x
p
u
x
t
t
t
f
L
m
i
i
i
ϕ
−
+
λ
=
∑
=
&
; б) трансверсальности по x:
1
,
0
,
ˆ
)
1
(
)
ˆ
(
ˆ
)
1
(
)
ˆ
(
ˆ
0
)
(
)
(
=
ψ
λ
−
=
⇔
−
=
∑
=
k
t
p
l
t
L
m
i
t
ix
i
k
k
t
x
k
k
x
k
k
&
для терминанта
∑
=
ψ
λ
=
m
i
i
i
t
t
t
t
l
0 1
1 0
0
))
(
,
),
(
,
(
x
x
; в) стационарности по u:
]
ˆ
,
ˆ
[
0
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
0
)
(
ˆ
1 0
0
t
t
t
t
t
t
f
t
L
m
i
u
iu
i
u
∈
∀
=
ϕ
−
λ
⇔
=
∑
=
p
; г) стационарности по
k
t
:
1
,
0
,
0
))
ˆ
(
ˆ
ˆ
ˆ
(
)
ˆ
(
ˆ
)
1
(
0
ˆ
)
(
0 0
1
=
=
ψ
+
ψ
λ
+
λ
−
⇔
=
Α
∑
∑
=
=
+
k
t
t
f
k
t
ix
it
m
i
i
m
i
k
i
i
k
t
k
k
k
x&
(условие стационарности по
k
t
выписывается только для подвижных концов); д) дополняющей нежесткости
m
i
i
i
′
=
=
Β
λ
,
1
,
0
)
ˆ
(
ξ
; е) неотрицательности
m
i
i
′
=
≥
λ
,
0
,
0 3. Найти допустимые управляемые процессы, для которых выполняются условия п. 2 с множителями Лагранжа
λ и
)
(
⋅
p
, одновременно не равными нулю. При этом бывает полезно отдельно рассмотреть случаи
0 0
=
λ
и
0 0
≠
λ
. Во втором случае можно положить
0
λ , равным единице или любой другой положительной константе.
4. Среди всех найденных в п. 3 допустимых экстремальных процессов отыскать решение или доказать, что решения нет.
Предлагаем проверить, что правило решения составлено в полном соответствии с общим принципом Лагранжа.
Набор условий для нахождения оптимального процесса является полным. Действительно, для определения неизвестных функций
)
(
),
(
),
(
⋅
⋅
⋅
1 ... 7 8 9 10 11 12 13 14 15
u
p
x
мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) и условий б), в). Выражая из последнего (ра- зумеется, когда это можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции)
)
(
⋅
u
через
)
(
⋅
x
и
)
(
⋅
p
, мы получаем систему из 2n скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит от 2n произвольных посто- янных и еще от множителей Лагранжа
i
λ , среди которых m независимых. Добавляя сюда еще
0
t
и
1
t
, получаем всего 2n + m
+ 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2n условий трансверсальности б), m условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (3) и два условия стационарности по
k
t
. Таким образом, число неизвестных совпадает с числом урав- нений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.)
p
x
мы имеем систему из дифференциальных уравнений (1) и условий б), в). Выражая из последнего (ра- зумеется, когда это можно сделать, например, если выполнены условия теоремы о неявной функции)
)
(
⋅
u
через
)
(
⋅
x
и
)
(
⋅
p
, мы получаем систему из 2n скалярных дифференциальных уравнений. Ее общее решение зависит от 2n произвольных посто- янных и еще от множителей Лагранжа
i
λ , среди которых m независимых. Добавляя сюда еще
0
t
и
1
t
, получаем всего 2n + m
+ 2 неизвестных. Для их определения мы имеем 2n условий трансверсальности б), m условий дополняющей нежесткости и заданных ограничений (3) и два условия стационарности по
k
t
. Таким образом, число неизвестных совпадает с числом урав- нений. (Разумеется, разрешимости полученной системы уравнений указанное обстоятельство не гарантирует.)
11.2. Принцип максимума в форме Лагранжа
Задачей оптимального управления (в понтрягинской форме) будем называть следующую задачу в пространстве
2 1
)
,
(
)
,
(
R
R
KC
R
KC
r
n
×
∆
×
∆
[14]: inf
)
,
),
(
),
(
(
1 0
0
→
⋅
⋅
Β
t
t
u
x
; (з)
))
(
),
(
,
(
)
(
t
t
t
t
u
x
x
ϕ
=
&
; (1)
]
,
[
)
(
1 0
t
t
t
U
t
∈
∀
∈
u
; (2)
m
i
t
t
i
′
=
≤
⋅
⋅
Β
,
1
,
0
)
,
),
(
),
(
(
1 0
u
x
; (3)
m
m
i
t
t
i
,
1
,
0
)
,
),
(
),
(
(
1 0
+
′
=
=
⋅
⋅
Β
u
x
, (4) где
m
i
t
t
t
t
dt
t
t
t
f
t
t
i
t
t
i
i
,
0
)),
(
,
),
(
,
(
))
(
),
(
,
(
)
,
),
(
),
(
(
1 1
0 0
1 0
1 0
=
ψ
+
=
⋅
⋅
Β
∫
x
x
u
x
u
x
Здесь
∆
– заданный конечный отрезок,
∆
∈
1 0
, t
t
, f
i
: R
× R
n
× × R
r
→ R – функции n + r + 1 переменных,
R
R
R
R
R
→
×
×
×
ψ
n
n
i
:
– функции 2n + 2 переменных;
n
r
n
R
R
R
R
→
×
×
ϕ :
– вектор-функция n + r + 1 переменных, U – произвольное множество из
r
R
. Частным случаем задачи (з) является задача, в которой один из концов или даже оба закре- плены.
Вектор-функция
)
(
⋅
x
называется фазовой переменной,
)
(
⋅
u
– управлением. Уравнение (1), называемое дифференциаль- ной связью, должно выполняться во всех точках непрерывности управления
)
(
⋅
u
на интервале
)
,
(
1 0
t
t
(это множество будет обозначаться через T).
Четверка
)
,
),
(
),
(
(
1 0
t
t
⋅
⋅ u
x
называется управляемым процессом в задаче оптимального управления, если
),
,
(
)
(
1
n
KC
R
x
∆
∈
⋅
)
,
(
)
(
r
KC
R
u
∆
∈
⋅
и выполняются дифференциальная связь (1) и ограничение типа включения (2). Управ- ляемый процесс является допустимым, если, кроме того, выполняются соотношения (3) и (4).
Допустимый управляемый процесс
)
ˆ
,
ˆ
),
(
ˆ
),
(
ˆ
(
ˆ
1 0
t
t
⋅
⋅
=
u
x
ξ
называется (локально) оптимальным (или еще говорят опти- мальным в сильном смысле процессом), если существует
0
>
δ
такое, что для всякого допустимого управляемого процесса
)
,
),
(
),
(
(
1 0
t
t
⋅
⋅
=
u
x
ξ
, для которого
δ
<
⋅
−
⋅
×
∆
2
)
,
(
1 0
1 0
)
ˆ
,
ˆ
),
(
ˆ
(
)
,
),
(
(
R
R
x
x
n
C
t
t
t
t
выполняется неравенство
)
ˆ
(
)
(
0 0
ξ
ξ
Β
≥
Β
Правило решения.
1. Составить функцию Лагранжа:
)
],
,
([
)
(
),
...,
,
,
(
;
))
(
,
),
(
,
(
))
,
,
(
)(
(
)
,
,
(
*
1 0
1 1
0 0
1 1
0 0
0 1
0
n
m
m
i
i
i
t
t
m
i
i
i
t
t
KC
t
t
t
t
dt
t
t
t
f
R
p
x
x
u
x
x
p
u
x
∈
⋅
λ
λ
λ
=
λ
ψ
λ
+
+
−
+
λ
=
Α
∑
∫ ∑
=
=
ϕ
&
2. Выписать необходимые условия оптимальности процесса
)
ˆ
,
ˆ
),
(
ˆ
),
(
ˆ
(
ˆ
1 0
t
t
u
x
⋅
⋅
=
ξ
: а) стационарности по x – уравнение Эйлера:
∑
=
ϕ
−
λ
=
⇔
=
+
−
m
i
x
ix
i
x
x
t
t
t
f
t
t
L
t
L
dt
d
0
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
)
(
0
)
(
ˆ
)
(
ˆ
p
p&
&
, для лагранжиана
))
,
,
(
)(
(
)
,
,
(
0
u
x
x
p
u
x
t
t
t
f
L
m
i
i
i
ϕ
−
+
λ
=
∑
=
&
; б) трансверсальности по x: