Файл: Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва.pdf

3.12. Пусть точки A и B лежат внутри окружности a. Инверсия с центром A переводит окружность a в окружность и точку B в точку B
0
, причем лежит вне a
0
. Через можно провести к две и только две касательные прямые. Примените вторую теорему § 28 и ее доказательство. Если a и b — данные окружности, аи окружности инвер- сий, при каждой из которых a → b, тов силу свойства конформности инверсии как w, таки делят углы между a и b пополам. Отсюда следует, что w и ортогональны. Докажите, что окружности ABD и BDC ортогональны. При инверсии с центром B они перейдут в перпендикулярные прямые. Доказываемое равенство следует по теореме Пифагора для треугольника A
0
C
0
D
0 3.16. См. решение задачи 3 § 29.
3.17. Пусть даны окружности и c
1
∩
c
2
= {A
1
, B
1
},
c
2
∩
c
3
= {A
2
, B
2
},
c
3
∩
c
4
= {A
3
, B
3
},
c
4
∩
c
1
= {A
4
, B
4
}. По условию точки A
1
, A
2
, A
3
, принадлежат окружности g (или прямой. Инверсия с центром отображает окружности g, на прямые, а окружности и c
3
— на окружности. Докажите, что в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180
◦
. Инверсия устанавливает эквивалентность утверждения 3.17 с таким утверждением если на прямых AB, BC, CA, содержащих стороны треугольника, даны соответственно точки B
1
, C
1
, A
1
, то окружности AB
1
C
1
,
BC
1
A
1
, CA
1
B
1
, имеют общую точку. Инверсия с центром O отображает окружности на прямые с сохранением величин углов. Если окружности имеют общую точку, то инверсия с центром в этой точке отображает их на прямые. Если данные окружности не пересекаются, то построим какие-либо две пересекающиеся окружности,
ортогональные каждой изданных окружностей (задача 3.06). Инверсия с центром в точке пересечения построенных окружностей переводит их в две пересекающиеся прямые, а две данные окружности — в окружности, ортогональные каждой из этих прямых. Поэтому они имеют центр в точке пересечения прямых. Примените построение инверсных точек с помощью пары окружностей, ортогональных окружности инверсии (второе определение инверсии, п. 26.2).
3.21. Если даны окружности a и b, то существует окружность инверсия относительно которой отображает a на b. Инверсия относительно любой окружности с центром A на w отображает w на прямую,
а инверсию относительно w — в осевую симметрию (задача 3.20). Поэтому образы окружностей a и b при инверсии с центром A равны