Файл: Закон распределения случайных величин. Сфера проявления.pdf

16. Показательный (экспоненциальный) закон распределения случайных
величин. Сфера проявления.

Поэтому математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению. Это равенство является характерным признаком показательного распределения.

17. Нормальный закон распределения случайных величин. Сфера
проявления. Правило «трех сигм».

18. Биномиальный закон распределения. Сфера проявления.

Наивероятнейшее число наступлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, удовлетворяет неравенству np- q≤m
0
≤np+p. Это означает, что мода случайной величины, распределённой по биномиальному закону, - число целое - находится из того же неравенства np- q≤M
0
(X)≤np+p.
Биномиальный закон широко используется в теории и практике статистического контроля качества продукции, при описании функционирования систем массового обслуживания, в теории стрельбы и в других областях.
ИЛИ
М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;
D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;
- среднее квадратическое отклонение частоты.

Пример 1. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую пятую единицу товара денежный приз размером 100 тенге. Найти закон распределения числа сотен тенге, полученных при четырёх сделанных покупках.
Решение. Вероятность того, что в случайно сделанной покупке окажется денежный приз, равна p=1/5=0,2. Случайная величина X - число покупок, в которые вложен денежный приз, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=4 и p=0,2. Ряд распределения X имеет вид:
xi
0 1
2 3
4 pi
0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016 значения p i
=P(X=m), (m=0, 1, 2, 3, 4) вычислены по формуле
Пример 2. В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Определить среднее (прогнозируемое) число договоров которым компании придётся выплатить страховые суммы в связи с наступлением страхового случая и оценить меру отклонения числа таких договоров от ожидаемого среднего значения (риск компании), если заключено 2000 договоров.
Решение. Вероятность того, что случайно выбранному договору страховая компания выплачивает страховую сумму в связи с наступлением страхового случая, равна
Случайная величина X - число договоров, по которым страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая, имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=2000 и p=0,1. Среднее (прогнозируемое) число договоров, по которым страховая компания выплачивает страховые суммы - математическое ожидание случайной величины X находим по формуле M(X)=np=2000·0,1=200.
Меру отклонения числа договоров по которым компания должна будет выплатить страховые суммы от ожидаемого среднего значения (риск компании) можно оценить, определив дисперсию или среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
D(X)=npq=2000·0,1·0,9=180
Таким образом, прогнозируемое число договоров, по которым страховая компания выплатит страховые суммы в связи с наступлением страхового случая, вероятнее всего будет находится пределах диапазона 200±13.
19. Распределения Пуассона. Сфера проявления.
К числу важнейших теоретических распределений, имеющих практическое применение, относится пуассоновское распределение, названное по фамилии

французского математика Симеона Пуассона (1781-1840). Классическую форму распределение Пуассона принимает в том случае, если значения признака носят дискретный характер и являются результатом какого-либо редко возникающего события среди наблюдаемых единиц. Причем с увеличением значений признака вероятность наступления события падает. Природа распределения Пуассона наиболее полно раскрывается в теории случайных процессов, поэтому его еще называют законом распределения редких явлений.
Распределение Пуассона наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико
, а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала.
Аналитически распределение Пуассона можно выразить формулой:
где:
- вероятность того, что признак примет то или иное значение,
- средняя арифметическая ряда
Из формулы видно, что единственным параметром распределения является средняя арифметическая.
Порядок расчета теоретических частот кривой распределения Пуассона:
1) находят среднюю арифметическую ряда, т.е.
;
2) по таблицам определяют
;
3) для каждого значения вычисляют теоретическую частоту по формуле где:
- число единиц в изучаемой совокупности.

Рис.3.8 Кривая распределения Пуассона
Кривые распределения бывают симметричными и асимметричными. В зависимости от того, какая ветвь кривой распределения вытянута — правая или левая — различают правостороннюю или левостороннюю асимметрию.
Кривые распределения могут быть одно-, двух- и многовершинными.
В нормальном ряду распределения размах вариации
;
;
Если указанные соотношения нарушены, то это свидетельствует о наличии асимметрии распределения.
При разности между и положительные и асимметрия правосторонняя,
при
,
разности между и отрицательные и симметрия левосторонняя.
Коэффициент асимметрии равен отношению центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в кубе:

Если
, то асимметрия правосторонняя, а если
, то асимметрия левосторонняя. Чем числитель ближе к 0, тем асимметрия меньше.
Свойства закона распределения Пуассона.
Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений пуассоновской
случайной величины равна единице, т.е.
.
Доказательство. Найдем сумму ряда
.
●
Установим теперь теоретико-вероятностный смысл параметра закона распределения Пуассона.
Свойство 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины,
распределенной по закону Пуассона, равны между собой, причем имеют место
равенства
.
20. «Точные» законы распределения. Распределение Гаусса. Понятие о
квантилях распределения.
Пусть две независимые сл.величины U и V распределены по закону со степенями свободы соответственно. Из этих величин составляем новую сл.величину
Исследование ЗР сл.величины F показало, что функция плотности этого расп-я имеет вид
Где

Квантили распределения
Рассмотренные выборочные параметры: среднее, дисперсия и коэффициент корреляции выборки являются приближенными оценками соответствующих генеральных параметров. Погрешность этих оценок будет тем меньше, чем больше объем выборки. Есть способы, с помощью которых можно оценить саму погрешность. Для этого переходят от точечных оценок параметров к оцениванию доверительных интервалов параметров. При получении интервальных оценок часто используют так называемые квантили.
Квантилем, отвечающий заданному уровню вероятностиР, называют такое значение
, при котором функция распределения принимает значение, равноеР, т.е.
гдеР– заданный уровень вероятности.
Другими словами квантильесть такое значение случайной величины
, при котором
Вероятность Р, задаваемая в процентах, дает название соответствующему квантилю, например
, называется 40%-ым квантилем.
Квантили стандартного нормального распределения (распределение с параметрами
) обозначаются буквой
. Они легко находятся в соответствующих таблицах. Если
, то подбирая такое
, для которого и находим
. Если
, то подбираем такое
, для которого и тогда
. Например, 40 % квантиль будет равен
85
%, квантиль и т.д.
Квантиль общего нормального распределения с параметрами и
выражается через квантиль
:
Распределение Гаусса:
Понятие нормального распределения. (нормальное распределение - распределение Гаусса) Кривая Гаусса.
. Нормальное распределение — модель варьирования некоторой случайной величины, значения которой определяются множеством одновременно действующих независимых факторов.
Закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется нормальным, если ее дифференциальная функция f(x)

определяется формулой: где а совпадает с математическим ожиданием величины Х: а=М(Х), параметр совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: = (Х). Диаграмма нормального распределения симметрична относительно точки а
(математического ожидания). Ме­диана, среднее арифметическое нормального распределения равны тоже а. При этом в точке а функция f(x) достигает своего максимума, который равен
Пример 3: График плотности вероятности нормального распределения непрерывной величины X изображен на рисунке. Определите математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение и максимальное значение дифференциальной функции распределения.
Решение.
П
о графику можно найти максимальное значение дифференциальной функции распределения, оно составляет 0,2. Функция достигает максимума в точке x=5, следовательно, математическое ожидание
M(X
)=5. В точке максимума функция плотности вероятности примет вид:
, следовательно,
В MS Excel для вычисления значений нормального распределения используются фун­кция НОРМРАСП,которая вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.
Функция имеет параметры:
НОРМРАСП (х; среднее; стандартное_откл; интегральная),
х – значения выборки, для которых строится распределение;
среднее – среднее арифметическое выборки;
стандартное_откл – стандартное отклонение распределения;
интегральная – логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная имеет значение ИСТИНА(1), то функция НОРМРАСП возвращает интег­ральную функцию распределения; если это аргумент имеет значение
ЛОЖЬ (0), то вычисляется значение функции плотности распределения.
Если среднее = 0 и стандартное_откл = 1, то функция НОРМРАСП возвращает стан­дартное нормальное распределение.