1. Случайные величины.

Определение. Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Можно дать ещё одно определение случайной величины: случайной величиной называется величина, принимающая в результате испытания одно и  только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов, которые заранее не могут быть учтены.

Примеры случайных величин:

• 
  число студентов на занятии;
  
• 
  количество детей родившихся за сутки;
  
• 
  время ожидания автобуса на остановке;
  
• 
  рост любого встреченного на улице человека.
  

Случайные величины могут быть двух видов: дискретные и непрерывные.

2. Дискретные случайные величины.

Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной.

Случайная дискретная величина Х считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать и вероятности появления каждого из этих значений. Эти соотношения между возможными значениями х _i и вероятностями их появления p_i называются законом распределения случайной дискретной величины.

Приведем примеры на дискретные случайные величины.

Пример 1.Идёт охота на дикого зверя с помощью ловушки. Вероятность попасть в ловушку для волка – 0.3, для медведя – 0.5, для лисы и зайца – 0.6. Найти закон распределения случайной величины Х - числа попавших в ловушку зверей.

Решение. Случайная величина Х может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3 (в ловушку попал один зверь, два, три, ни одного). Рассчитаем вероятности по теоремам алгебры событий:

р₁=0,3; q₁=0,7; р₂=0,5; q₂=0,5; р₃=0,6; q₃=0,4;

---

р(х=0)=р₁р₂р₃=0.7*0.5*0.4=0.14; р(х=1)=р ₁q₂q₃+q₁p₂q₃+q₁ q₂p₃=0.41; Р(х=2)=0.36; Р(х=3)= 0.09.

Тогда закон распределения имеет вид:

х	0	1	2	3
p	0,14	0,41	0,36	0,09

Проверка: =1 , 0,14+0,41+0,36+0,09=1.

Пример 2. В книге кулинарных рецептов имеется 6  рецептов приготовления первого блюда,  4 – второго блюда. Пять раз подряд выписывают наудачу взятые рецепты. Случайная величина Х – число рецептов первых блюд. Составить закон распределения величины Х.

Решение. Случайная величина Х может принимать значения Х=1, 2, 3, 4, 5.

Для расчета вероятностей применим классическое определение вероятности (p(A)=m/n) и формулы комбинаторики:   ;



Закон распределения имеет вид:

х	1	2	3	4	5
p	6/252	60/252	120/252	60/252	6/252

3. Непрерывные случайные величины.

Случайной непрерывной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Например, размер детали массового производства; время ожидания автобуса на остановке; рост любого встреченного человека.

Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения вероятностей F(x), либо функцией плотности распределения вероятностей 

---

f(x).

Функция распределения F(x) – это функция определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее

Свойства функции распределения F(x):

1. F(x) – неубывающая функция.  
2.
3.

Функция плотности распределения f(x) – это функция, равная первой производной от функции распределения

Свойства плотности распределения f(x)

1.  Плотность распределения – неотрицательная функция.


2.  Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ¥ до ¥ равен единице.

3. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Пример 3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения 

---

Найти дифференциальную функцию (плотность вероятностей).

Решение. 1) Перейдём от функции F(x) к функции f(x) по определению то есть найдём производную от функции F(x). Получим



Пример 4. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:



Найти:

• 
  коэффициент а,
  
• 
  вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от 0 до 
  
• 
  составить  функцию распределения F(x).
  

Решение. 

а) Для нахождения коэффициента а воспользуемся свойством



Тогда функция примет вид:




б) Находим вероятность попадания случайной величины в заданный интервал по формуле:



в) Для перехода от функции f(x) к функции F

---

(x) используем свойство 3 функции распределения  и формулу перехода 

Тогда, 

---

Смотрите также файлы

• 4 Задача 1.docx

• Офис вицегубернатора.docx

• 1. Формула Бернулли и её асимптотические приложения.docx

• Роль малого бизнеса в современной экономике.docx

• Министерство науки и высшего образования российской федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования ЮжноУральский .docx