Файл: Контрольная работа 1. Вариант Т. 1. По координатам вершин пирамиды а 1 а 2 а 3 а 4 найти.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.03.2024
Просмотров: 6
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Контрольная работа №1.
Вариант Т.
№1. По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти:
1) длины ребер А1А2 и А1А3;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;
3) площадь грани А1А2А3;
4) объем пирамиды;
5) уравнения прямой А1А2;
6) уравнение плоскости А1А2А3;
7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
Координаты пирамиды:
А1 (-1; 2; 1)
А2 (-2; 2; 5)
А3 (-3; 3; 1)
А4 (-1; 4; 3)
Решение:
Выполняем дополнительные расчеты.
Координаты векторов находим по формулам:
X = xj – xi; Y = yj – yi; Z = zj – zi
(где X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi – координаты точки Аi; xj, yj, zj – координаты точки Аj)
A1A2 = (– 2 – (– 1); 2 – 2; 5 – 1) = (– 1; 0; 4)
A1A3 = (– 3 – (– 1); 3 – 2; 1 – 1) = (– 2; 1; 0)
A1A4 = (– 1 – (– 1); 4 – 2; 3 – 1) = (0; 2; 2)
A2A3 = (– 3 – (– 2); 3 – 2; 1 – 5) = (– 1; 1; – 4)
A2A4 = (– 1 – (– 2); 4 – 2; 3 – 5) = (1; 2; – 2)
A3A4 = (– 1 – (– 3); 4 – 3; 3 – 1) = (2; 1; 2)
1) длины ребер А1А2 и А1А3
– формула длины вектора
2) угол между ребрами А1А2 и А1А3
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
a1· a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(– 1; 0; 4) и A1A3(– 2; 1; 0):
3) площадь грани А1А2А3
Площадь грани можно найти по формуле:
, где .
Найдем площадь грани A1A2A3.
Площадь грани находим с учётом геометрического смысла векторного произведения. Векторное произведение:
4) объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
Определитель вычисляем по правилу треугольника.
5) уравнения прямых А1А2 и А1А3
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Уравнение прямой A1A2:
Уравнение прямой A1A3: .
6) уравнение плоскостей А1А2А3 и А1А2А4
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
Уравнение плоскости A1A2A3:
Уравнение плоскости A1A2A4:
7) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4.
Косинус угла между плоскостью А1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью А2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(А1; B1; C1) и N2(А2; B2; C2).
Уравнение плоскости А1А2А3:
N1(– 4; – 8; – 1)
Уравнение плоскости А1А2А4:
N2(– 4; 1; – 1)
№2. Требуется:
1) построить по точкам график функции в полярной системе координат. Значения функции вычислять в точках ;
2) найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох – с полярной осью;
3) определить вид кривой.
Решение:
1) Находим область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство .
Область определения нашей функции: , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости).
Находим точки принадлежащие графику функции – составляем таблицу значений.
-
0
6
5,5434
4,2426
2,2962
0
В силу чётности косинуса соответствующие положительные значения можно заново не считать:
-
0
–
–
–
–
6
5,5434
4,2426
2,2962
0
Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки на прямых с углом поворота . Соединяем полученные точки. Получаем окружность.
2) Найдём уравнение кривой в декартовой (прямоугольной) системе координат.
Обе части уравнения домножаем на :
и используем более компактные формулы перехода
Получаем:
Выделяя полный квадрат, приводим уравнение линии к узнаваемому виду:
3) Получили уравнение окружности с центром в точке (3; 0), радиуса 3.
№2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:
-
найти ее решение с помощью формул Кремера; -
записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления. Проверить правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
.
Решение:
1) Вычисляем главный определитель по правилу треугольника:
Записываем и вычисляем первый определитель, для вычисления х1:
Записываем и вычисляем первый определитель, для вычисления х2:
Записываем и вычисляем первый определитель, для вычисления х3:
Найдем решения данной системы по формулам:
2) Запишем систему уравнений в матричной форме
А· Х = В
Х = А-1 · В
Определитель матрицы А уже найден и |A| = 10.
Для нахождения обратной матрицы вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы А.
Найдем обратную матрицу:
Проверим правильность вычисления обратной матрицы, используя матричное умножение.
Возвращаемся к решению матричного уравнения.
Ответ: х1 = – 1; х2 = 1; х3 = 2.
№3. Найти множество решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными .
Решение:
Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду
Переменные х1 и х2 – базисные, х3 и х4 – свободные.
Общее решение однородной системы имеет вид:
Фундаментальное решение системы так как n = 4, r = rgA = 2, то надо подобрать n – r = 2 линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных
-
Если х3 = 1, то х4 = 0, то
-
Если х3 = 0, то х4 = 1, то