Файл: Минобрнауки россии федеральное государственное бюджетноe образовательное.pdf

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОE ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ѕСАНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГОї
Институт прикладной математики и механики
Кафедра ѕТелематикаї (при ЦНИИ РТК)
Дисциплина: Теория Автоматического Управления
Расчјтное задание
ѕАнализ устойчивости линейной системы автоматического управленияї
Обучающийся
Фомина Дарья Дмитриевна
Руководитель
Суханов Александр Алексеевич
Санкт-Петербург 2019

Содержание
1 Постановка задачи
3 2 Введение
4 3 Основная часть
5 3.1 Условие задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 3.2 Алгебраический критерий Льенара - Шипара . . . . . . . .
5 3.3 Частотный критерий Найквиста . . . . . . . . . . . . . . . .
6 3.4 Частотный критерий Михайлова . . . . . . . . . . . . . . . .
6 4 Вывод
6 2

1 Постановка задачи
В данном расчјтном задании дана передаточная функция разомкнутой системы и численные значения коэффициентов функции. На основании алгебраического критерия Льенара - Шипара и частотных критериев
Найквиста и Михайлова требуется проанализировать устойчивость си- стемы автоматического управления с данной передаточной функцией.
3

2 Введение
Система называется устойчивой, если при ограниченных отклонениях начальных условий изменение выхода ограничено.
Устойчивость является важнейшим свойством объекта или системы управления. Поэтому для работы с объектом управления необходимо иемть критерии, позволяющие установить устойчивость объекта управ- ления или ее отсутствие.
Если объект управления описывается при помощи дробно-рациональной комплескной передаточной функции, то для его устойчивости необходи- мо и достаточно, чтобы все корни знаменателя имели отрицательную вещественную часть. Однако для систем высоких порядков удобнее ис- пользовать алгебраические и частотные критерии устойчивости.
К алгебраическим критериям устойчивости относят необходимое усло- вие Стодолы и признак Льенара-Шипара.
Необходимое условие Стодолы гласит, что для устойчивости объек- та управления необходимо, чтобы многочлен знаменателя передаточной функции имел положительные коэффициенты.
Признак Льенара-Шипара гласит, что для устойчивости объекта управ- ления достаточно, чтобы было выполнено необходимо условие Стодолы и все четные или все нечетные главные миноры матрицы Гурвица, со- ставленной из коэффициентов знаменателя передаточной функции, бы- ли положительны.
К частотным критерям относят критерий Михайлова и критерий Най- квиста.
Согласно частотному критерию Михайлова, для устойчивости объек- та управления необходимо и достаточно, чтобы годограф знаменателя передаточной функции от чисто мнимого аргумента i?,где ? > 0, охва- тывал ровно n квадрантов, где n порядок системы.
Согласно частотному критерию Найквиста, для устойчивости замкну- той системы управления с единичной обратной связью необходимо и до- статочно, чтобы годограф передаточной функции разомкнутой системы от чисто мнимого аргумента i?,где ? > 0 , сделал l/2 оборотов вокруг точки (-1;0), где l количество корней знаменателя передаточной функ- ции разомкнутой системы со строго положительной вещественной ча- стью.
4

3 Основная часть
3.1 Условие задания
Дана дробно-рациональная передаточная функция объекта управления.
H =
k(T
1
p + 1)
p(p
2
+ ?
2
o
)(T
2
p + 1)(T
3
p + 1)
Со следующими параметрами:
k = 2.25;
?
0
= 9;
T
1
= 0.01;
T
2
= 0.18;
T
3
= 0.09.
3.2 Алгебраический критерий Льенара - Шипара
Характеристический полином:
?(p) = p(p
2
+ ?
2
o
)(T
2
p + 1)(T
3
p + 1)
Подставим коэффициенты и раскроем скобки:
?(p) = 0.0002p
5
+ 0.03p
4
+ 1.0002p
3
+ 0.03p
2
+ p
Матрица Гурвица для ?(p)
=
?
?
?
?
?
?
0.03 0.03 0
0 0
0.0002 1.0002 1
0 0
0 0.03 0.03 0
0 0
0.0002 1.0002 1
0 0
0 0.03 0.03 0
?
?
?
?
?
?
Определители четных миноров матрицы:
?
2
=
0.03 0.03 0.0002 1.0002
= 0.03
?
3
=
0.03 0.03 0
0.0002 1.0002 1
0 0.03 0.03
= 0 5

?
4
=
0.03 0.03 0
0 0.0002 1.0002 1
0 0
0.03 0.03 0
0 0.0002 1.0002 1
= 0
Так как
1. Коэффициенты ?(p)a i
> 0, i = 0, ..., 5
и a n

= 0 2. ?
3
= 0
и ?
4
= 0
Система находится на границе устойчивости.
3.3 Частотный критерий Найквиста
Передаточная функция при гармоническом воздействии:
H(j?) =
0.25(0.01j? + 1)
j?((j?)
2
+ 1)(0.02j? + 1)(0.01j? + 1)
Действительная и мнимая части передаточной функции
?
3
+ 10 4
?
2(?
2

? 1)(0.4?
2

? 1000)(0.1?
2
? 1000)

=H(i?) = ?
125(?
2
+ 2 · 10 3
?)
(?
2

? 1)(0.4?
2

? 1000)(0.1?
2
? 1000)
Построив параметрический график относительно частоты ?, получим годограф Найквиста
3.4 Частотный критерий Михайлова
Характеристическое уравнение системы при гармоническом воздействии

?(i?) = j?(1 ? ?
2
)(0.02j? + 1)(0.01j? + 1)
Действительная и мнимая части характеристического уравнени
(j?) = 0.03?
4

? 0.03?
2

=?(i?) = 0.0002i?
5

? 1.0002j?
3
+ j?
4 Вывод
6