ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 236
Скачиваний: 0
Виходячи з формули для магнітної складової сили Лоренца (3а.1), неважко з’ясувати, що ця сила завжди спрямована перпендикулярно до вектора швидкості частинки (згадайте властивості векторного добутку). Це означає, що робота магнітної складової сили Лоренца завжди дорівнює нулю:
r r |
r r |
r ^ r |
×dt =0. |
A = òFm ×dr |
= òFm ×udt =òFmucos(Fm , u)dt =òFmu×0 |
||
Таким чином, магнітна складова сили Лоренца не змінює кінетичну енергію частинки, а отже, не змінює і модуль її швидкості. Вона тільки викривлює траєкторію.
Запишемо другий закон Ньютона з урахуванням X магнітної складової сили Лоренца (3.1) і отримаємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0x |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
m |
= q[u´ B]. |
|
|
|
(3а.2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У цьому співвідношенні m, q – маса та заряд частинки, υ |
– її |
|
|
α |
|
||||||||||||||||||||||||
швидкість, B – індукція магнітного поля. Спрямуємо вісь |
Z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
B |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
O |
|||
вздовж |
вектора B |
|
(див. |
рис. 3.1). |
Тоді |
|
B = Bez . |
Подамо |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
вектор |
швидкості у |
вигляді |
|
суми |
двох |
|
|
|
|
|
r |
|
|
u0z |
|
||||||||||||||
r |
|
складових: uzez , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, перпендикулярної до осі Z : |
|
|
Рисунок 3.1 |
|
||||||||||||||
спрямованої вздовж осі Z , та u |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
(3а.3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = uzez + u . |
|
|
|
|
|
||||||||
Підставимо (3а.3) в (3а.2) і отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(u |
e |
z |
+ u |
|
) |
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
z |
|
|
|
|
|
= q[(uzez + u )´ Bez ], |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
z |
r |
|
|
du |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
r |
r |
|
r |
|
r |
|
|||||
|
m |
|
|
ez |
+ |
|
|
|
|
= q[uzez |
´ Bez ]+ q[u |
´ Bez |
]= 0 + q[u |
´ B]. |
|
||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
dt |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Запишемо паралельну та перпендикулярну до осі Z компоненти отриманого рівняння: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
= q[u ´ B], |
|
|
|
|
(3а.4) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
d(uzez ) |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
(3а.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, система незалежних рівнянь (3а.4) та (3а.5) описує зміну швидкості частинки в магнітному полі з часом.
З рівняння (3а.5) та рис. 3а.1. випливає, що
uz = u0 z º u0 cosa = const . |
(3а.6) |
Тобто вздовж осі Z частинка рухається рівномірно.
Розглянемо тепер детально рівняння (3а.4), яке описує рух частинки в площині, що
перпендикулярна до осі Z . Модуль швидкості частинки в магнітному полі не змінюється |
|
(див. коментар до формули (3а.1)), тобто він є сталим у часі і дорівнює (див. рис. 3а.1) |
|
u = u0 = u0 sin a . |
(3а.7) |
r |
|
Сила Fm = q[u ´ B] є також сталою за величиною, вона перпендикулярна до траєкторії |
|
r |
r |
частинки. Це означає, що і прискорення частинки aдоц = Fm / m = q[u ´ B]/ m буде
перпендикулярне до траєкторії руху, тобто нормальним, а також сталим за модулем. Відомо, що коли частинка рухається по колу, то її прискорення є доцентрове (нормальне) і стале за модулем, швидкість також є сталою за модулем. Звідси випливає, що частинка в поперечній
13
площині буде рухатись по колу. При цьому площина цього кола перпендикулярна до магнітного поля (осі Z ).
Підставляючи в (3а.4) формулу доцентрового прискорення
r |
|
u2 |
|
r |
r |
|
|
| aдоц |= |
|
|
|
=| q[u ´ B]/ m |=| qu B / m |, |
|||
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
неважко знайти радіус R цього кола |
|
|
|
|
|
||
|
R = |
|
u |
= |
mu0 sin a |
, |
|
|
|
| qB / m | |
| q | B |
||||
циклічну частоту обертання (циклотронну частоту)
w = u / R =| q | B / m ,
період обертання
T = 2p = 2pm . w | q | B
(3а.8)
(3а.9)
(3а.10)
Аналізуючи формули (3а.9)-(3а.10), зазначимо, що період і частота обертання не залежать від швидкості частинки у нерелятивістському випадку. Використовуючи цю особливість, будують роботу прискорювача заряджених частинок, який називають
циклотроном.
B |
|
|
|
υ |
|
q |
= + q |
B |
|
|
Fm |
q = - q |
||
|
υ |
|
Fm |
|
|
|
|
|
Рисунок 3.2 Визначивши напрям магнітної сили, а отже, і доцентрового прискорення, знайдемо
напрям обертання частинки по колу (див. рис. 3.2, тут магнітне поле спрямоване до читача). Якщо заряд q = + | q | є додатним, то напрями вектора B та кутової швидкості ω протилежні. Коли заряд q = − | q | є від’ємним, то ці напрями збігаються.
Таким чином, частинка в поперечній площині до магнітного поля рухається рівномірно по колу, а вздовж магнітного поля рухається зі сталою швидкістю. Результуючий рух є рухом частинки по спіралі, вісь якої паралельна магнітному полю (див. рис. 3.3).
Визначимо крок спіралі як відстань, яку частинка проходить вздовж осі Z за період обертання T = 2pw (див. рис. 3.3):
h = T ×uz = |
2p |
u0z = |
2pm |
u0 cosa . |
(3а.11) |
|
|
||||
|
w |
qB |
|
||
r
X u0
|
O |
α |
Z |
|
|
||
|
|
|
|
Y |
|
|
R |
|
|
|
h |
|
|
|
Рисунок 3.3 |
|
|
|
14 |
Таким чином, в однорідному магнітному полі заряджена частинка в загальному випадку рухається вздовж спіралі. Радіус та крок спіралі визначаються за формулами (3а.8) та (3а.11). Кутова частота обертання (кутова швидкість) подається співвідношенням (3а.9), період обертання – (3а.10).
Другий варіант
Розглянемо рух зарядженої частинки в однорідному магнітному полі, початкова швидкість якої спрямована під кутом α (див. рис. 3.1) до вектора індукції магнітного поля.
Для цього використаємо другий закон Ньютона |
r |
|
|||||||||||
m du dt = åFi та формулу для магнітної |
|||||||||||||
r |
і отримаємо |
|
|
||||||||||
складової сили Лоренца Fm = [u´ B] |
|
|
|||||||||||
|
|
|
du |
|
|
|
r |
r |
|
||||
|
|
m |
= q[u´ B]. |
(3б.1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
У цьому співвідношенні m, q – маса та |
заряд |
частинки, |
υ – її швидкість, B – індукція |
||||||||||
магнітного поля. Спрямуємо вісь Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
вздовж вектора B . Тоді B = Bez . Запишемо рівняння |
|||||||||||||
(3б.1) у проекціях на осі X ,Y , Z : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dux |
|
= |
q |
uy B, |
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||
|
|
duy |
= - |
|
q |
|
ux B, |
(3б.2) |
|||||
|
|
dt |
m |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
duz |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
З останнього рівняння системи (3б.2) випливає, що uz |
є константою, тобто |
||||||||||||
|
uz = u0z = u0 cosa |
|
|||||||||||
Тут враховано, що початкова швидкість частинки спрямована під кутом α до осі Z (див.
рис. 3.1).
Якщо продиференціювати перше рівняння системи (3б.2) та в отриманий результат підставити друге рівняння системи (3б.2), то знайдемо
|
d 2u |
x |
æ qB |
ö2 |
|
|
|
= -ç |
÷ ux , |
|
|
|
dt2 |
|
|
||
|
|
è m |
ø |
|
|
або |
|
|
|
|
|
|
d 2ux |
2 |
|
|
|
|
|
|
+ w ux = 0. |
(3б.3) |
|
|
dt2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
У рівнянні позначено |
|
|
|
|
|
|
|
w = qB . |
|
(3б.4) |
|
|
|
|
m |
|
|
Цю величину називають циклотронною частотою. Рівняння (3б.3) в математиці називають
диференціальним рівнянням гармонічних коливань. Його розв’язок є
ux = Acos(wt + j0 ) , |
(3б.5) |
де A, j0 – сталі, які визначаються початковими умовами. Для того щоб впевнитись, що
(3б.5) є розв’язком (3б.3), достатньо підставити (3б.5) в (3б.3). Далі з першого рівняння (3б.2) знаходимо
15
uy = |
dux |
1 |
= -Asin(wt + j0 ) . |
(3б.6) |
|||
dt |
|
æ q |
ö |
||||
|
|
ç |
|
B÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
è m |
ø |
|
|
|
З’ясуємо сутність констант A та j0 . В початковий момент часу t = 0 проекції швидкості ux і uy мають значення u0x , u0 y . Підставляємо їх у (3б.5) та (3б.6) і отримуємо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0x = Acosj0 , u0 y = -Asin j0 . Звідси знаходимо, що u02x + u02 y = A cos2 j0 + sin 2 j0 |
= A . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Зрозуміло, що |
|
u02x + u02 y = u0 – модуль складової початкової швидкості частинки, |
||||||||||||
яка перпендикулярна |
до |
осі |
Z . Таким чином, |
A = u0 . |
Виберемо |
вісь |
X так, |
щоб в |
||||||
початковий момент |
часу |
|
|
r |
лежала в |
площині |
XZ . |
Тоді з |
рис. 3.1 |
|||||
t = 0 швидкість u0 |
||||||||||||||
знаходимо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0x = u0 sin a , |
u0 y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Це означає, що j0 = 0, |
u0 = u0 sin a . З урахуванням вищесказаного, рівняння (3б.5) |
|||||||||||||
та (3б.6) набирають вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ux = u0 cos(wt), |
(3б.7) |
|
uy = -u0 sin(wt), |
||
|
де u0 = u0 sin a .
Використаємо визначення швидкості і знайдемо залежність координат частинок від
часу:
ux = dx |
|
|
|
|
|
x |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
= u0 cos(wt) Þ òdx = òu0 cos(wt)dt Þ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dt |
|
|
|
|
|
x0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x = x + |
u0 |
sin(wt) , |
|
|
|
|
|
|
(3б.8) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
uy = dy |
|
|
|
|
|
y |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
= u0 sin(wt) Þ òdy = ò- u0 sin(wt)dt Þ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
dt |
|
|
|
|
y0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y = y0 + |
u0 |
(cos(wt) -1) , |
|
|
|
|
|
|
(3б.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dz |
|
|
|
z |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uz = |
= u0z Þ òdt = òu0z dt Þ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
z0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z = z0 + u0z ×t . |
|
|
|
|
|
|
(3б.10) |
|||||
Початок координатних осей |
вибираємо |
так, щоб x |
= 0, y |
0 |
- |
u0 |
= 0, z |
0 |
= 0 . Це |
||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
w |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
приводить до спрощення математичних співвідношень без зміни фізичної сутності. Тоді з
(3б.8)-(3б.10) отримуємо
x = |
|
u0 |
|
sin(wt), |
|
|
|
|
|||
|
|
w |
|
||
y = |
u0 |
cos(wt), |
(3б.11) |
||
|
|||||
|
|
w |
|
||
z = u0z ×t.
16
Порівнюючи перші два рівняння (3б.11) з (3б.1) та (3б.2), робимо висновок, що
частинка в площині XY рівномірно рухається по полу з радіусом |
|
|||||||||
|
|
|
|
R = u0 |
= u0 sin a . |
(3б.12) |
||||
|
|
|
|
|
w |
|
w |
|
||
Кутова частота обертання частинки по цьому колу визначається циклотронною |
||||||||||
частотою (3б.4) w = |
|
q |
|
B m . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
Виходячи з третього рівняння системи (3б.11), стверджуємо, що частинка рухається |
||||||||||
вздовж осі Z рівномірно. Суперпозиція рівномірного руху вздовж осі Z |
та рівномірного |
|||||||||
руху по колу в площині XY дасть рух частинки по спіралі (див. рис. 3.3). |
|
|||||||||
Визначимо крок спіралі як відстань, яку частинка проходить вздовж осі Z за період |
||||||||||
обертання T = 2p w (див. рис. 3.3): |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
h = T ×uz = |
2p |
u0z = |
2pm |
u0 cosa . |
(3б.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
w |
|
qB |
|
||
Таким чином в однорідному магнітному полі заряджена частинка в загальному випадку рухається по спіралі. Радіус та крок спіралі визначаються формулами (3б.12) та (3б.13). Кутова частота обертання (кутова швидкість) дається співвідношенням (3б.4),
період обертання дорівнює |
|
|
|
|
|
T = |
2p |
= |
2p×m |
. |
(3б.14) |
w |
|
||||
|
|
qB |
|
||
§ 4 Закон Біо-Савара-Лапласа. Індукція магнітного поля, яке створене відрізком із струмом. Індукція нескінченно довгого прямого провідника зі струмом. Індукція на осі колового струму [5]
1 Біо й Савар провели в 1820 р. дослідження магнітних полів, які створюються струмами, що проходять по тонких провідниках різної форми. Лаплас проаналізував експериментальні дані, отримані Біо й Саваром, і встановив залежність, яка отримала назву закону Біо-Савара-Лапласа.
Відповідно до закону Біо-Савара-Лапласа індукція
магнітного поля, яка створюється елементом струму Idl , визначається за формулою
r |
m |
|
|
r |
|
|
|
0 |
|
I[dl ´r ] |
|
|
|
||
dB = |
|
|
|
|
, |
(4.1) |
|
4p |
|
r3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
де dl – вектор, модуль якого дорівнює елементарній довжині ділянки зі струмом I і спрямований у той бік, куди проходить струм (рис. 4.1); r – вектор, що проведено
від елемента струму в ту точку, у якій визначається dB ; r – модуль цього вектора; m0 – так звана магнітна стала, що дорівнює
m0 = 4p×10−7 Тл∙м/А = 4p×10−7 Гн/м, |
(4.2) |
I
dB
|
r |
|
dl |
α |
|
|
|
|
Рисунок 4.1 – Індукція |
dB |
|
магнітного |
поля, |
що |
створюється |
елементом dl |
|
провідника, |
по |
якому |
проходить струм I
де Гн (генрі) – одиниця індуктивності (про цю одиницю детально мова буде йти далі).
Згідно з цим законом магнітне поле будь-якого струму може бути обчислене як векторна сума (суперпозиція) полів, які створюються окремими елементарними ділянками
струму Idl :
17