Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

Як правило, використовують формули (3.7), (3.8) не у векторній формі, а в скалярній. Спроектуємо ці формули, наприклад, на вісь Y і отримаємо

називають компоненту повного прискорення a , яка перпендикулярна дотичній до траєкторії руху (див. рис. 4.1). Зрозуміло, що з вищесформульованих визначень випливає, що між повним, тангенціальним та нормальним прискореннями є зв’язок

Крім цього вектор тангенціального прискорення є перпендикулярним до вектора нормального прискорення (див. рис. 4.1). Це означає, що модулі цих прискорень пов’язані між собою співвідношенням

2 З’ясуємо, як пов’язана швидкість тіла, яке рухається по криволінійній траєкторії, з тангенціальним та нормальним прискореннями.

Введемо одиничний вектор τ , який пов’язаний з тілом A і направлений за дотичною до траєкторії у напрямку руху тіла (див. рис. 4.1). Зрозуміло, що τ є змінним вектором, у різних точках траєкторії він буде мати різний напрямок (модуль цього вектора залишається постійним і таким, що дорівнює одиниці). Вектор швидкості υ тіла A також направлений за дотичною до траєкторії (див. рис. 4.1). Тому його можна подати у вигляді

де υ – модуль вектора швидкості. Підставимо (4.1) у визначення прискорення (3.1) і отримаємо

Аналізуючи співвідношення (4.4), бачимо, що перший доданок у правій частині (4.4) має напрямок, який паралельний τ , тобто є паралельним дотичній. Це означає, що ця

14

§ 5 Вектор кутового зміщення. Кутові швидкість і прискорення. Зв’язок між кутовими й лінійними величинами [1]

1 Не завжди тіло, рух якого ми вивчаємо, можна вважати матеріальною точкою. Розглянемо наступну модель тіла – абсолютно тверде тіло.

Абсолютно твердим тілом називають тіло, в якому у даних умовах задачі можна знехтувати деформаціями (відстані між довільними двома точками можна вважати постійними).

Рух твердого тіла можна подати як сукупність двох видів руху поступального та обертального.

Поступальним називають такий рух, коли будь-яка пряма, що жорстко пов’язана з тілом, яке рухається, залишається паралельною сама собі. Математично поступальний рух є еквівалентним паралельному перенесенню.

Обертальним називають такий рух, коли усі точки тіла рухаються по колам, центри яких лежать на одній і тій же прямій. Цю пряму називають віссю обертання.

2 Розглянемо детально обертальний рух твердого тіла. Описувати цей рух за допомогою лінійних швидкостей і лінійних прискорень стає незручно, тому що різні точки твердого тіла мають різні швидкості та прискорення. Потрібно ввести величини, які характеризують обертання твердого тіло як цілого.

Виберемо довільну точку твердого тіла A (рис. 5.1). Проведемо радіус від центра кола O , відносно якого обертається точка A до самої точки A . Через проміжок часу Dt т. A переміститься в положення A′. Кут j = ÐAOA′ характеризує поворот твердого тіла. При цьому довільна пряма, яка проведена в площині, що перпендикулярна до осі обертання (рис. 5.1), повернеться на такий самий кут ϕ (рис. 5.1). Кут ϕ називають кутом

r ↔ j ,

u↔ w ( dr / dt ↔ dj/ dt ),

16

3 За відомими кутовою швидкістю w та кутовим прискоренням b можна знайти лінійні швидкості та лінійні прискорення для будь-якої точки твердого тіла.

Розглянемо точку A твердого тіла, яка рухається по колу відносно центра кола O , який знаходиться на осі обертання Z (див. рис. 5.3). За час dt точка A пройде по колу шлях ds , який відповідає куту повороту dj . Виходячи з цього, можемо записати

Для того щоб вказати напрямок вектора, використаємо векторний добуток. Виходячи з напрямків векторів, які зображені на рисунку, можемо записати

Цей вираз можна узагальнити. Неважко впевнитися, що коли визначати положення точки A відносно довільної розміщеної на осі обертання точки O′ вектором r (див. рис. 5.3), то можемо записати

кутової швидкості, а потім і вектор кутового зміщення. Розглянемо це детально.

Використовуємо визначення для кутового прискорення, знаходимо кутову швидкість

Далі використовуючи визначення кутової швидкості, знаходимо кут повороту

Формули (5.6) та (5.7) розв’язують поставлену задачу.

5 Знайдемо кут повороту та його швидкість, коли тіло має постійне за напрямком і

r →

модулем кутове прискорення b = const . Для цього використаємо формули (5.7) та (5.8). 17