Файл: Лекции по физике в четырех частях Часть 4 колебания, волны, оптика владимир 2007 2 удк 535. 12(075).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.03.2024
Просмотров: 40
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Владимирский государственный университет
А.Ф. ГАЛКИН
ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ
В четырех частях
Часть 4
КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ОПТИКА
Владимир 2007
2
УДК 535.12(075)
ББК 22.343я7
Г16
Рецензенты:
Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой общей физики
Владимирского государственного педагогического университета
Е.Н. Куркутова
Кандидат физико-математических наук, доцент Владимирского государственного педагогического университета
А.В. Гончаров
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Владимирского государственного университета
Галкин, А. Ф.
Г16 Лекции по физике. В 4 ч. Ч. 4. Колебания, волны, оптика / А. Ф. Гал- кин ; Владим. гос. ун-т. – Владимир : Изд-во Владим. гос. ун-та, 2007. –
100 с.
ISBN
5-89368-710-8
Содержат десять лекций, посвященных раскрытию физического смысла основных законов и понятий колебаний, волн, оптики, а также примеры и вопросы для самокон- троля.
Предназначены для студентов 1-го и 2-го курсов, изучающих дисциплину «Физи- ка», технических специальностей всех форм обучения вуза, а также преподавателей.
Табл. 2. Ил. 74. Библиогр.: 9 назв.
УДК 535.12(075)
ББК 22.343я7
ISBN 5-89368-710-8
© Владимирский государственный университет, 2007
3
Введение
В первой, второй и третьей частях издания представлены лекции, посвящённые раскрытию физического смысла основных законов и поня- тий механики, молекулярной физики, термоди- намики, электричества и магнетизма. Четвёртая часть продолжает курс лекций и содержит десять лекций, посвященных колебаниям, волнам и оп- тике.
В первых четырёх лекциях даётся компакт- ное изложение основ теории колебаний и волн.
Обращается внимание на сходство и единство колебательной природы механических и элек- тромагнитных колебаний. В следующих пяти лекциях излагаются основные явления оптики. В конце пособия представлена лекция о разложе- нии Фурье.
Основные понятия, законы, физический смысл для удобства восприятия подчёркнуты.
Как и в предыдущих частях, сочетаются ограни- ченный объём, лаконичность с разумной строго- стью выкладок, доказательств. Каждая лекция заканчивается вопросами для самоконтроля. Со- вершенно необходимо изучение теории сопро- вождать решением задач. Лекции предназначены студентам, но могут быть полезны и преподава- телям.
ВНИМАНИЕ! ПОСОБИЕ ОБЛЕГЧАЕТ РА-
БОТУ СТУДЕНТУ, НО НЕ ЗАМЕНЯЕТ САМИ
ЛЕКЦИИ!
4
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Лекция № 27
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
План
1. Колебания. Характеристики гармонических колебаний.
2. Свободные (собственные) колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осцилля- тор.
3. Энергия гармонических колебаний.
4. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Бие- ния. Метод векторной диаграммы.
5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу.
6. Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Частота затухающих колебаний. Изохрон- ность колебаний. Коэффициент, декремент, логарифмический дек- ремент затухания. Добротность колебательной системы.
7. Вынужденные механические колебания. Амплитуда и фаза вынуж- денных механических колебаний.
8. Механический резонанс. Соотношение между фазами вынуждающей силы и скорости при механическом резонансе.
9. Понятие об автоколебаниях.
1. Колебания. Характеристики гармонических колебаний. Коле- бания – движение или процессы, обладающие той или иной степенью по- вторяемости во времени.
Гармонические (или синусоидальные) колебания – разновидность периодических колебаний, которые могут быть записаны в виде cos cos
x a
a
=
ϕ =
(ωt+α), (1) т.е.
x изменяется со временем по закону синуса или косинуса, где a – ам- плитуда; ωt+α = φ – фаза; α - начальная фаза; ω - циклическая частота; t – время; x – величина, определяющая положение колеблющейся системы.
5
Амплитуда a – наибольшее отклонение от среднего значения вели- чины, совершающей колебания.
Фаза колебаний φ – изменяющийся аргумент функции, описываю- щей колебательный процесс (величина ωt + α, стоящая под знаком косину- са в выражении (1) ). Фаза характеризует значение изменяющейся величи- ны в данный момент времени. Значение φ в момент времени t = 0 называ- ется начальной фазой α.
В качестве примера на рисунке 27.1 представлены математиче- ские маятники в крайних положениях с разностью фаз колебаний
Δ
φ = 0
(рис. 27.1, а) и
Δ φ = π (рис. 27.1, б).
Разность фаз колебаний маятников проявляется различием в поло- жении колеблющихся маятников.
Циклической, или круговой, частотой называется количество коле- баний, совершаемое за 2π секунд.
Частотой колебаний ν (или линейной частотой) называется число коле- баний в единицу времени. За единицу частоты принимается частота таких ко- лебаний, период которых равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц).
Промежуток времени, за который совершается одно полное колеба- ние, а фаза колебания получает приращение, равное 2π, называется перио- дом колебания (рис. 27.2).
Частота ν связана с перио- дом Т соотношением
Связь циклической частоты ω с линейной ν
Δ φ = 0
Δ φ = π
а)
б)
ν
T
1
=
ω = 2πν
Рис. 27.1
x
+а
t
T
T
Рис. 27.2
-а
6
2. Свободные (собственные) колебания.
Дифференциальное урав-
нение гармонических колебаний и его решение. Гармонический осцил-
лятор
. Свободными, или собственными, называются такие колебания, ко- торые происходят в системе, выведенной из положения равновесия и пре- доставленной самой себе.
Рассмотрим колебания груза на пружине, совершаемые на гладкой
(силой трения пренебрегают) горизонтальной поверхности (рис. 27.3).
Если растянуть пружину на некоторое расстояние х и затем отпустить, то на груз будет действовать упругая сила упр
F
= -кх, где к – коэффициент
Рис. 27.3
kx
dt
x
d
m
−
=
2 2
Поделив обе части уравнения на
m
x
m
k
dt
x
d
−
=
2 2
и перенеся правую часть в левую, получим:
0 2
2
=
+ x
m
k
dt
x
d
Обозначив
2 0
/
k m
= ω , получим линейное дифференциальное одно- родное уравнение второго порядка
(2)
(линейное – так как и сама величина x и ее производная в первой степени; однородное – так как нет свободного члена, не содержащего х ; второго
X
X
пропорциональности, называе- мый жесткостью пружины.
Знак «минус» указывает на то, что упр
F
направлена в сторону, противоположную направле- нию растяжения. В проекции на ось Х второй закон Ньютона как уравнение движения запи- шется упр
x
mw
F
=
, или
+
2 2
dt
x
d
ω
0 2
0
x
=
x
упр
F
G
7
порядка – так как вторая производная х), где ω
0
m
k
=
- собственная частота колебаний груза.
Уравнение (2) решается
*
подстановкой
t
x e
λ
=
. Подставляя послед- нее в (2) и проводя дифференцирование, получим
2 2
t
d е
dt
λ
+
ω
0 2
0,
t
e
λ
=
2
t
e
λ
λ
+ ω
0 2
0.
t
e
λ
=
Получаем характеристическое уравнение
2
λ + ω
0 2
0.
=
Это уравнение имеет мнимые корни:
1
i
λ = ω
0
,
2
i
λ = − ω
0
(
1
−
=
i
- мнимая единица).
Общее решение имеет вид
1 2
1 2
t
t
x c e
c e
λ
λ
=
+
, где
1
c
и
2
c
- комплексные постоянные.
Подставляя корни, получим
0 0
1 2
i
t
i
t
x c e
c e
ω
− ω
=
+
(3)
(Замечание. Комплексным числом z называется число вида z = x + iy, где x, y – вещественные числа; i – мнимая единица (
2
i = -1). Число х назы- вается вещественной частью комплексного числа z. Число у называется мнимой частью z. Иногда мнимой частью числа z называют произведение iy, а величину y – коэффициентом мнимой части).
Выражение вида
i
e
ϕ
можно представить в виде комплексного числа с помощью формулы Эйлера cos sin
i
e
i
ϕ
=
ϕ +
ϕ
Аналогично cos sin
i
e
i
− ϕ
=
ϕ −
ϕ
(так как
( )
( )
cos cos ; sin sin )
−ϕ =
ϕ
−ϕ = −
ϕ .
Положим
1
c
и
2
c
в виде комплексных постоянных
1
c
= А
α
i
e , а
2
c
=
= А
i
e
− α
, где А и α - произвольные постоянные. Из (3) получим
(
)
(
)
0 0
0 0
i
t
i
t
i
t
i
t
i
i
x Ae e
Ae
e
Ae
Ae
ω +α
− ω +α
ω
− ω
α
− α
=
+
=
+
Обозначив ω
0
t + α = φ, получим
i
i
x Ae
Ae
ϕ
− ϕ
=
+
*
В сокращенном варианте решение можно опустить.
8
Используя формулы Эйлера, получим
(
)
(
)
0 0
cos sin cos sin
2 cos
2 cos cos(
),
x A
i
i
A
A
t
a
t
=
ϕ +
ϕ +
ϕ −
ϕ =
ϕ =
ω + α =
ω + α
т.е. решение дифференциального уравнения для свободных колеба- ний
(4) где ω
m
k
=
0
- собственная круговая частота колебаний; a – амплитуда.
Смещение х изменяется со временем по закону косинуса, т.е. движе- ние системы под действием упругой силы f = -кх представляет собой гар- моническое колебание.
Если величины, описывающие колебания некоторой системы перио- дически изменяются со временем, то для такой системы пользуются тер- мином «осциллятор».
Линейным гармоническим называется осциллятор, движение кото- рого описывается линейным уравнением
kx
dt
x
d
m
−
=
2 2
3. Энергия гармонических колебаний
. Полная механическая энергия системы, изображенной на рис. 27.3, равна сумме механической и потен- циальной энергий.
Продифференцируем по времени выражение (4), получим
υ =
0
ω
= -a
dt
dx
sin(ω
0
t +α).
Кинетическая энергия груза (массой пружины пренебрегаем)
E
k
=
2 2
2
sin
2
ω
=
2
υ
2 0
ma
m
(ω
0
t +α).
Потенциальная энергия выражается известной формулой
,
2 2
kx
U
=
подставляя х из (4), получим
(
)
(
)
2 2 2
2 2
2 0
0 0
cos cos
,
2 2
2
m
a
kx
ka
U
t
t
ω
=
=
ω + α =
ω + α так как
2 0
k m
= ω .
Полная энергия
2 2
2 0
2 2
k
ma
ka
E E
U
ω
=
+ =
=
величина постоянная. В процессе колебаний потенциальная энергия пере- ходит в кинетическую и наоборот, но полная энергия остается неизменной.
(
)
0
cos
x a
t
=
ω + α
9
4. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.
Обычно одно и то же тело участвует в нескольких колебаниях. Так, на- пример, звуковые колебания, воспринимаемые нами при слушании оркест- ра, представляют собой сумму колебаний воздуха, вызываемых каждым музыкальным инструментом в отдельности.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового на- правления. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений
1
x и
2
x . Положим равными, для простоты, амплитуды
a
a
a
=
=
2 1
и начальные фазы
1 2
0.
α = α = Тогда
(
)
1 2
1 1
2 2
cos cos cos cos
x x
x
a
t a
t a
t
t
= +
=
ω +
ω =
ω +
ω
Воспользовавшись формулой суммы косинусов, получим
(5)
Биения.
Пусть два складываемых гармонических колебания одинако- вого направления мало отличаются по частоте. Обозначим частоту одного колебания
ω
, частоту второго
ω + Δω
. При этом
Δω << ω Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными
а
. Начальные фазы для упрощения задачи положим равными нулю. Тогда
(
)
1 2
cos
,
cos
x
a
t
x
a
t
=
ω
=
ω + Δω
Сложим эти колебания, воспользовавшись формулой (5), получим
(6)
Во втором сомножителе (6) пренебрегли
2
Δω
по сравнению с
ω
. Мно- житель cos
2
t
Δω
меняется гораздо медленнее, чем cos t
ω
(так как
Δω << ω). Результирующее колебание
х можно рассматривать как гармо-
2 1
2 1
2 cos cos
2 2
x
a
t
t
ω − ω
ω + ω
=
2 cos cos
2
t
x
a
t
Δω
⎛
⎞
=
ω
⎜
⎟
⎝
⎠
10
ническое с частотой
ω , амплитуда которого меняется по закону
2 cos
2
t
a
Δω
(амплитуда биений). Такие колебания называются биениями.
Они представлены на рис. 27.4.
Частота пульсаций амплитуды называется частотой биений. Промежу- ток времени между соседними моментами времени, когда амплитуда мак- симальна, называется периодом биений Т
б
За это время разность фаз из- меняется на 2
π , т.е.
(
)
2 б
1 б б
б б
2 ,
2 ,
2 .
T
Т
Т
Т
Т
ω
− ω
= π
ω + Δω
− ω
= π
Δω
= π
Таким образом, период биений
Метод векторной диаграммы.
Колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости (рис. 27.5). Вектор-амплитуда
a
G
вращается с угловой скоростью
ω
G
против часовой стрелки. Если в момент t = 0 вектор
a
G
образует с осью x угол
α , то проекцию вектора
a
G
на ось x можно запи- сать в виде гармонического закона
(
)
cos
x a
t
=
ω + α .
Следовательно, проекция вектора
a
G
на ось x будет совершать гармоничес- б
2
Т
π
=
Δω
Т
б
t
x
+2a
-2 a
Рис. 27.4
11
кие колебания с амплитудой, равной длине вектора, круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и начальной фазой, равной уг- лу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
Такой способ удобно использовать при сложении колебаний одного на- правления. Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний оди- наковы.
Каждое складываемое колебание можно представить с помощью векто- ров
1
a
G
и
2
a
G
, сумма проекций которых на ось x равна проекции суммы
2 2
2 1
2 1 2 1
1 2
2 1
1 2
2 2
cos ,
sin sin tg cos cos
a
a
a
a a
a
a
a
a
=
+
+
δ
α +
α
α =
α +
α
5. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры Лис-
сажу.
Фигуры Лиссажу – это замкнутые траектории точки, совершающей два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направ- лениях. Впервые изучены французским ученым Ж. Лиссажу.
Вид фигур Лиссажу зависит от соотношения между периодами (час- тотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. Рассмотрим случай, ко- гда частоты складываемых колебаний одинаковы, а координаты некоторой точки х и у изменяются по законам
(
)
cos
,
cos
,
x a
t
y b
t
=
ω
⎧
⎨
=
ω + α
⎩
(7) векторов
a
a
a
G
G
G
=
+
2 1
на ту же ось x.
).
α
+
ω
cos(
+
)
α
+
ω
cos(
=
+
=
2 2
1 1
2 1
t
a
t
a
x
x
x
Так как векторы
1
a
G
и
2
a
G
вращают- ся с одной и той же угловой скоростью
ω , то с той же угловой скоростью вра- щается и вектор
a
G
. Значит, результи- рующее колебание тоже является гармо- ническим и имеет вид cos(
)
x a
t
=
ω + α , где a и
α находим из рис. 27.6
a
G
ω o
х
x
Рис. 27.5
ωt + α
2
a
G
x
1
x
2
Рис. 27.6
О
1
a
a
G
α
2
α
1
α
δ
x
δ=
2 1
α − α