Файл: Конус, его виды и свойства.docx

Строим развертку боковой поверхности пирамиды S123456, состоящую из шести треугольников: S₀1₀6₀, S₀6₀5₀, S₀5₀4₀, S₀4₀3₀, S₀3₀2₀, S₀2₀1₀. Построение каждого треугольника выполняется по трем сторонам. Например, у △S₀1₀6₀ длина S₀1₀=S’’1’’₀, S₀6₀=S’’6’’₁, 1₀6₀=1’6’.

Степень соответствия приближенной развертки действительной зависит от количества граней вписанной пирамиды. Число граней выбирают, исходя из удобства чтения чертежа, требований к его точности, наличия характерных точек и линий, которые нужно перенести на развертку.

1.4. Применение конуса в архитектуре

Конусные тела в архитектуре

При построении различных зданий и сооружений очень требуются познания в области геометрии, а особенно в таком её разделе, как стереометрия. А, в свою очередь, рассматриваемая нами, фигура относится именно к этому разделу.

Очень часто мы встречаем конус в элементах архитектуры. Ярким примером этого наблюдения является конус, который лежит в основании крыш домов. Я хочу проиллюстрировать свои наблюдения.

Представьте себе осажденную средневековую крепость, над крепостными стенами возвышаются круглые башни. Они покрыты коническими крышами, которые напоминают воронки, перевернутые острым концом вверх. Вдали за стенами видны церковные шпили – круглой формы в виде конуса. Представьте себе часовых на крепостных стенах. Они вооружены четырехгранными рапирами и трехгранными шпагами, клинки которых похожи на вытянутые конусы. Недалеко от крепости на опушке леса растут конической форме елочки. Там раскинулся лагерь осаждающего войска. Вот конические шатры воинов. А ближе к лесу – палатки. Ближе к крепости высятся конусы осадных башен, которые издалека кажутся маленькими телевизионными вышками. Не будем дожидаться боя. Ведь сейчас нас интересует только конусы.

В природе мы часто встречаем конус. Например, в песчаной пустыне Сахаре, где сами холмы представляют собой конус. А так же в космическом пространстве.

Ель конусная лесная 20 метров в высоту, диаметр нижнего яруса 8,2 метра.

2. Практическая часть

2.1. Примеры решения задач на свойства конуса

Задача 1.

Высота конуса равна 12, образующая равна 14. Найдите его объем, деленный на П.

Решение:

V конуса = 1/3 * ПR^2 * H
R^2 = L^2 - H^2 ( по теореме Пифагора)
R^2 = 196-144 = 52
V = 1/3 * 52 П * 12 = 208 П ( см^3)

Ответ: 208.

Задача 2.

Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника

вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на П.

Решение:

В качестве высоты конуса выступает катет треугольника, равный 6. В качестве радиуса основания конуса – второй катет треугольника, равны также 6.

Поэтому V=(1\3)ПR^2h=(1\3)П6^2*6=72П

Тогда V/П=72

Ответ: 72.

Задача 3.

Длина окружности основания конуса равна 5, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса есть, где  – радиус основания конуса и образующая конуса.

А поскольку длина окружности основания конуса равна 2ПR  и равна 5 по условию, то  5=2ПR, ПR=2,5

Sбок.=П*R*L=2,5*8=20

Ответ: 20.

Задача 4.

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 9 раз?

Решение:

Площадь боковой поверхности конуса зависит от двух величин – от R и L, так как Sбок.=ПRL (R, L – радиус, образующая конуса).

Радиус не изменяется, а образующая увеличивается в 9 раз. Значит и площадь боковой поверхности конуса увеличится в 9 раз.

Ответ: 9.

Задача 5.

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен углу между образующей и радиусом основания, проведенного к данной образующей. Площадь боковой поверхности конуса: pi*R*l, площадь основания - pi*R^2. Поскольку площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания, то pi*R*l = 2*pi*R^2. упрощаем уравнение: l = 2R. Из рисунка CB = 2OB. Из прямоугольного треугольника COB: угол, который лежит против катета, который в два раза меньше гипотенузы, равен 30 градусов. OB - катет, CB - гипотенуза, следовательно, угол BOC = 30 градусов. Искомый угол CBO = 90 - 30 = 60 градусов.

Ответ: 60.

Задача 6.

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 156. Найдите объем конуса.

Решение:

Vш=4/3πR³
4πR³/3=156
R³=156*3/4π=117/π
R=∛(117/π)
h=∛(117/π)
Vк=1/3πR²h=1/3π*R³
V=1/3π*117/π=39

Ответ: 39.

Задача 7.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает

высоты. Объём жидкости равен 54 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение:

Vмал. кон. = (π*R^2*h)/2=54

π*R^2*h= 54*2=108

Vкон. = (π*(2R)^2*2h)/2=4*108=432

Vб. кон. =432-54=378

Ответ: 378.

2.2. Технология изготовления модели конуса

Конус может послужить основой для многих поделок из бумаги. Чтобы сделать ровный конус, вам понадобится следующее:

Лист плотной бумаги или тонкого картона
Канцелярский клей или двухсторонний скотч
Ножницы
Готовая схема
Опционально – карандаш

Скачайте и распечатайте готовую схему на листе бумаги или картона (масштаб можно варьировать по своему усмотрению). Аккуратно вырежьте фигуру ножницами.

Сверните фигуру в конус и склейте боковые края слегка внахлест с помощью клея или скотча.

Урок №2

Если под рукой нет принтера, можно воспользоваться другим способом.

Нарисуйте на листе бумаги или картона ровный круг (помните, что его радиус определит высоту конуса).
Вырежьте круг
Разделите круг на 4 части двумя перпендикулярными линиями, пересекающимися в центре фигуры. Затем вырежьте одну четверть, сведите прилегающих участков и склейте их внахлест.

Заключение

В ходе работы над рефератом были сформированы общие и профессиональные компетенции:

Цель данного реферата выполнена, рассмотрено, что такое геометрическое тело, как конус его виды и свойства. Выполнены следующие задачи:

Дано определение конус и его виды;
Рассмотрено части конуса;
Изучены свойства конуса;
Решены задачи с использованием конуса;
Рассмотрены его применения.

Изучение геометрии позволяет развивать воображение, шире видеть мир, Видеть геометрические тела в быту и природе. Во время работы над рефератом я научился различать виды конуса. Начал замечать как сильно стереометрия и геометрия пересекается с природой .Находить информацию из различных источников самостоятельно. Я считаю, что приобретенные навыки мне помогут как и в учебной деятельности, Так и в быту.

Список литературы

1. Учебное пособие для студентов. Геометрия 2 часть. Просвещение 1987г. Атанасян Л.С., Базылев В.Т.

2. Стереометрия. Геометрия в пространстве. Александров А.Д., Вернев А.Л.

3. Большая школьная энциклопедия. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.

4.Рязановский А.Р., Мирошин В.В. «Математика. Решение задач повышенной сложности». — М.: Интеллект-Центр, 2008. — 480 с. — Темы №36, 61, 62, 69.

5.Гущин Д.Д., Малышев А.В. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 72 с. — Темы № 46, 47.

6.Шестаков С.А., Гущин Д.Д. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В12. Рабочая тетрадь / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 64 с. — Темы № 42, 43, 44, 45, 54, 55.

7.Смирнов В.А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В9. Рабочая тетрадь / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — 64 с. — Темы № 66, 67, 68, 69.

8.Дорофеев Г. В., Седова Е.А., Шестаков С.А. ЕГЭ — 2007—2008. Математика. Суперрепетитор. — М.: Эксмо, 2007, — 448 с. — Тема № 47.

9.Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. — Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. — 144 с. — Тема № 41.