Файл: Конус, его виды и свойства.docx

Министерство общего и профессионального образования

Свердловской области

ГАПОУ СО УрТАТиС «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

РЕФЕРАТ

Тема: Конус, его виды и свойства.

Дисциплина: Математика

Специальность: 23.02.03-Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта

Выполнил: В.А. Кунников

Студент группы ТОР-10

Проверил преподаватель: Е.В.Костылева

Екатеринбург

2021

Содержание

Введение

Конус в переводе с греческого «konos» означает «сосновая шишка». С конусом люди знакомы с глубокой древности. В 1906 году была обнаружена книга Архимеда (287-212 гг. до н.э.) «О методе», в которой дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470-380 гг. до н.э.) - древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема пирамиды и конуса.

Много сделала для геометрии школа Платона (428-348 гг. до н.э.). Платон был учеником Сократа (470-399 гг. до н.э.). Он в 387 г. до н.э. основал в Африке Академию, в которой работал 20 лет. Каждый, входящий в Академию, читал надпись: «Пусть сюда не входит никто, не знающий геометрии». Школе Платона, в частности, принадлежит: а) исследование свойств призмы, пирамиды, цилиндра и конуса; б) изучение конических сечений.

Цель данного реферата рассмотреть конус его виды и свойство.

Для достижение данной цели необходимо рассмотреть следующие задачи:

• 
  дать определение конус и его виды;
  
• 
  рассмотреть части конуса;
  
• 
  изучить свойства конуса и его построение;
  
• 
  решить задачи с использованием конуса;
  
• 
  рассмотреть его применения.
  

Актуальность данного реферата заключается в том что, исследуя реальные предметы геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаться от других свойств предметов, таких как плотность, вес, цвет.

---

Это позволит перейти от пространственных отношений между реальными объектами отношением и форматам возникающим при рассмотрении однородных объектов, и сходных с пространственными. В частности, геометрия позволяет рассматривать расстояния между функциями.

1. Теоретическая часть.

1.1. Определение конус, его виды и свойства.

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга - основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1). Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

В ысотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Рис1.

Виды конусов:

1
.Прямой конус – имеет симметричное основание. Ортогональная проекция вершины данной фигуры на плоскость основания совпадает с центром этого основания (рис.2).

Рис 2.

2. Косой (наклонный) конус – ортогональная проекция вершины фигуры на ее основание не совпадает с центром этого основания (рис. 3).

Р
ис.3.

3
. Усеченный конус (конический слой) – часть конуса, которая остается между его основанием и секущей плоскостью, параллельной данному основанию (рис.4).

Рис.4.

4. Круговой конус – основанием фигуры является круг. Также бывают: эллиптический, параболический и гиперболический конусы.

---

Равносторонний конус – прямой конус, образующая которого равняется диаметру его основания.

Свойства кругового конуса

• 
  Выделяют несколько особенностей, которыми обладает фигура данного типа:
  
• 
  Образующие кругового конуса равны друг другу.
  
• 
  Чтобы найти центр тяжести фигуры, нужно её высоту поделить на четыре части.
  
• 
  Место пересечения плоскости сечения и основы образует параболу.
  
• 
  Если через вершину тела провести плоскость сечения, то получится равнобедренный треугольник.
  
  
  

1.1. Конус и его элементы

Латинское слово conus позаимствовано из греческого языка («конус» - затычка, втулка, сосновая шишка).

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, кото­рое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вер­шину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только пря­мой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

В ысотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямо­го кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
 
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса . В частности, равнобедренным треугольником является осевое сечение конуса. Это сечение, которое проходит через ось кону­са.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность - по окружности с центром на оси конуса.

---

 
Доказательство. Пусть   - плоскость, параллельная плоскости основания конуса и пересекающая конус (рис.5). Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость   с плоскостью основания, совмещает сечение конуса плоскостью   с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боковой поверхности – окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

1.3. Построение конуса

Развертка прямого кругового конуса

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ определяется по формуле φ=360*R/l, где R – радиус окружности основания конуса.



В ряде задач начертательной геометрии предпочтительным решением является аппроксимация (замена) конуса вписанной в него пирамидой и построение приближенной развертки, на которую удобно наносить линии, лежащие на конической поверхности.

Алгоритм построения

1. 
   Вписываем в коническую поверхность многоугольную пирамиду. Чем больше боковых граней у вписанной пирамиды, тем точнее соответствие между действительной и приближенной разверткой.
   
2. 
   Строим развертку боковой поверхности пирамиды способом треугольников. Точки, принадлежащие основанию конуса, соединяем плавной кривой.
   

Пример:

На рисунке ниже в прямой круговой конус вписана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, и приближенная развертка его боковой поверхности состоит из шести равнобедренных треугольников – граней пирамиды.



Рассмотрим треугольник S₀A₀

---

B₀. Длины его сторон S₀A₀ и S₀B₀ равны образующей l конической поверхности. Величина A₀B₀ соответствует длине A’B’. Для построения треугольника S₀A₀B₀ в произвольном месте чертежа откладываем отрезок S₀A₀=l, после чего из точек S₀ и A₀ проводим окружности радиусом S₀B₀=l и A₀B₀= A’B’ соответственно. Соединяем точку пересечения окружностей B₀ с точками A₀ и S₀.

Грани S₀B₀C₀, S₀C₀D₀, S₀D₀E₀, S₀E₀F₀, S₀F₀A₀ пирамиды SABCDEF строим аналогично треугольнику S₀A₀B₀.

Точки A, B, C, D, E и F, лежащие в основании конуса, соединяем плавной кривой – дугой окружности, радиус которой равен l.

Развертка наклонного конуса

Рассмотрим порядок построения развертки боковой поверхности наклонного конуса методом аппроксимации (приближения).



Алгоритм

1. 
   Вписываем в окружность основания конуса шестиугольник 123456. Соединяем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6 с вершиной S. Пирамида S123456, построенная таким образом, с некоторой степенью приближения является заменой конической поверхности и используется в этом качестве в дальнейших построениях.
   
2. 
   Определяем натуральные величины ребер пирамиды, используя способ вращения вокруг проецирующей прямой: в примере используется ось i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций и проходящая через вершину S.
   

Так, в результате вращения ребра S5 его новая горизонтальная проекция S’5’₁ занимает положение, при котором она параллельна фронтальной плоскости π₂. Соответственно, S’’5’’₁ – натуральная величина S5.

---