ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 50
Скачиваний: 0
Таким образом, для более полной характеристики излучатель
ной способности тела, надо указать, к какому участку спектра от несено значение испускательной способноти тела. Пусть этот уча сток заключен между длинами волн Хи'/- + dA . Чем меньше этот
участок, тем более точно охарактеризована испускательная спо собность тела для данной длины волны X.
Рассмотрим теперь процесс поглощения энергии, являю щийся обратным процессом по отношению к процессу излучения.
Если на каждую единицу поверхности падает поток энергии
то часть его, равная ©X т , будет поглощена. Отношение количе
ства энергии, поглощенной телом, к количеству энергии, падающей на тело, за тот же промежуток времени, т. е.
д _ АХт
принято называть поглощательной способностью тела в рассматриваемом диапазоне длин волн.
Как показывает опыт, величина А зависит не только от X , но и от температуры тела, что и отмечено соответствующими индек сами: (А^т). Абсолютная величина этого отношения должна, по
принятому определению, выражаться правильной дробью, с предель
ным, максимальным значением — единица.
Тело, для которого А ут = 1 для всех значений длин волн и тем
ператур, Кирхгоф назвал абсолютно черным телом.
Сравнивая испускательную и поглощательную способность раз личных тел, Кирхгоф установил, что величина отношения испуска тельной способности тела к его поглощательной способности, при равных X и Т, не зависит от природы тела, т. е. отношение
" ЕХт
АХт
есть величина одинаковая для всех тел.
Обозначив испускательную способность абсолютно черного тела
через г^т , а его поглощательную способность через |
(кото |
рая равна единице), будем иметь:
Е- |
е- |
_ |
'-/.т |
АТ |
|
Ai |
Oh |
Хт |
^/.т |
Хт |
|
87
Это соотношение показывает, что отношение испускательной
способности тела к его поглощательной способности для всех тел равно величине испускательной способности абсолютно черного те-; ла при тех же условиях. (Закон Кирхгофа).
Закон Кирхгофа, характеризующий тепловое излучение, носит общий характер, т. е. найденное соотношение остается справедли вым при любом механизме теплового излучения и поглощения.
Модель абсолютно черного тела, приближающегося по своим свойствам к абсолютно черному телу, может быть представлена в виде замкнутой полости, имеющей одно очень небольшое отверстие (не более 0,1 диаметра полости). Излучение любой частоты, попав через это отверстие внутрь полости и претерпевая многократное от ражение от стенок, частично при этом поглощаясь, практически из
Рис. 46. Модель абсолютно черного тела
полости не выйдет, т. е. полностью поглотится (рис. 46). Поэтому малое отверстие полости, как черное тело, «поглощает» все падаю щие на него лучи любой длины волны. Таким образом, отверстие полости будет являться достаточным приближением к абсолютно черному телу.
§ 3. Закон Стефана-Больцмана.
Первым шагом по изучению излучения абсолютно черного тела было стремление к нахождению зависимости общего количе ства энергии от температуры излучающего тела. На основании
£8
целого ряда экспериментальных данных Стефан (1879 г.) пришел к выводу, что общее количество энергии, излучаемое телами изме няется прямо пропорционально четвертой степени абсолютной тем пературы тела. Однако работами Больцмана (1884) г.) было пока зано, что это заключение Стефана справедливо лишь для абсолютно черного тела. Таким образом, закон Стефана-Больцмана говорит о том, что общее количество энергии, излучаемое абсолютно черным
телом, прямо пропорционально четвертой степени его абсолютной
температуры й аналитически может быть выражено соотношением
Фт = оТ4.
Рис. 47. Распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела
89
где з есть постоянная, величина которой была определена гораздо позже и которая равна
эрг______
а = 5,7 • IO-5 см2 сек. град1
§ 4. Законы Вина.
Вслед за задачей подсчета суммарного количества энергии, из лучаемой абсолютно черным телом при данной температуре, вста ла задача о нахождении закона распределения энергии по излучае мым волнам различной длины. Полученные экспериментальные данные позволили представить эту зависимость графически. Кри вые, полученные для нескольких температур, представлены на рис. 47, где по оси абсцисс отложены длины волн, излучаемых аб солютно черным телом, а по оси ординат — соответствующие зна чения испускательной способности тела, отнесенные к единичному интервалу длин волн, т. е.
выраженные |
эрг |
в-—»-------.Назовем эту величину -п л о т н о с т ь ю |
|
1 |
см3 сек |
спектрального излучения.
Как видно из рисунка, кривые имеют максимум, который при повышении температуры (кривые IV, III, II, I) становится не толь ко более резко выраженным, но и сдвигается в сторону более ко ротких волн. Вин показал, что положение максимума может быть определено из соотношения
Т • 4OTei.)=a
где Т есть абсолютная температура абсолютно черного тела, есть длина волны, на которую приходится максимум плотности
спектрального излучения (см. на рис. 47 X4.XS,X2, X]), а а — есть
постоянная величина, не зависящая от температуры тела и равная
0,28 см. град.
Этот результат, полученный Вином, носит название закона смещения и говорит о том, что длина волны, на которую при
ходится максимум плотности спектрального излучения абсолютно черного тела, изменяется обратно пропорционально абсолютной температуре тела.
Что касается максимальной величины плотности спектрального
излучения |
(W)/ \ |
) абсолютно черного тела, то она, согласно вто |
ру |
\тах) |
' |
рому закону Вина, возрастает пропорционально пятой степени аб солютной температуры, т. е.
wz, } =ьт\
Хтах'
эрг где Ь» 1,301 • 10~8 см3 сек. град5
§ 5. Формула Планка.
Первая попытка теоретически найти вид функции, характери зующей зависимость плотности спектрального излучения абсолют но черного тела от длины волны и температуры, была сделана Ми-- хельсоном; однако, полученная им формула не вполне согласова лась с экспериментальными данными.
В 1893" году, исходя также из теоретических соображений, осно- > ванных на законах классической электродинамики, Вин показал,
что величина этой функции зависит от отношения у- . Для раскры
тия аналитического вида этой функции теоретических предпосылок Вина было недостаточно и, хотя полученные в дальнейшем экспе риментальные данные и позволили раскрыть вид этой функции, но полученное в итоге соотношение хорошо согласовалось с опытными данными только в области коротких волн.
Релей и Джинс, также исходя из теоретических соображений, по лучили иное выражение, раскрывающее зависимость величины W Zt
от длины волны и температуры. Сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными показало, что полученное соотно шение применимо только к длинным волнам.
Аналогичные расчеты проводились и немецким ученым, извест ным физиком Планком; однако, пользуясь только электромагнитной теорией света и рассматривая абсолютно черное тело, как совокуп ность бесконечно большого количества излучателей, найти вид фун кции. характеризующей тепловое излучение абсолютно черного те ла, Планку также не удалось, ибо в окончательном результате он
^пришел к формуле Релея и Джинса. |
' |
Анализируя причины неудачи, Планк пришел к выводу, что |
за |
коны классической электродинамики НЕ ПРИМЕНИМ(Ы к атомным излучателям. Планк допустил, что гармонический осциллятор, излучающий частоту v , может обладать запасом энергии КРАТНЫМ
величине h v, где h есть универсальная постоянная (постоянная
Планка), равная 6,62 . 10-27 эрг. сек.
Из этого допущения, как следствие, вытекает, что как излуче-
91
ние, так и поглощение может происходить только порциями (кван
тами), величина которых также определяется величиной hv. Исхо дя из’ этих предпосылок, Планк показал, что плотность спектраль ного излучения абсолютно черного тела определяется соотношением;
где с — есть скорость света в пустоте, равная 3 . 1010 см/сек, к —
постоянная Больцмана, равная 1,38_1;эрг/град, h—постоянная План ка. Указанное соотношение дало очень хорошее совпадение теории
сэкспериментальными результатами для всего исследованного диа пазона длин волн. Совпадение формулы Планка для длинных волн
сформулой Релея и Джинса говорит о возможности применения законов классической электродинамики для макроскопических про цессов и о ее неприменимости для микропроцессов.
Из соотношения (13) вытекает ряд основных законов теплового излучения абсолютно черного тела.
1— Для вычисления полной энергии, излучаемой абсолютно черным телом при температуре Т, надо выражение (13) проинтегри
ровать по X от оо до 0. Делая замену переменной интегрирования
he
кТХ ~х'
получим для
Подставляя эти соотношения в выражение функции Планка и ин тегрируя по х в пределах от 0 до со , получим для полного количе ства энергии Фт , излучаемой абсолютно черным телом при темпе ратуре Т:
(fi |
2тгк4Т4 |
Coo |
хМх |
>т~ |
h8 с2 |
I |
~ех—1 |
|
|
J о |
|
Так как входящие в это выражение величины к, с, 11 суть величины постоянные, а значение интеграла тоже постоянно и, как показало вычисление, равно 6,49, то, обозначив через
2тек4 poo x3dx
h8c2 1 ех— 1
. о
92
можно написать, что для абсолютно черного тела интегральная испускательная способность равна
‘1’т (аб сч. т.) =оГ43 ’ 0D
Соотношение (14) выражает закон Стефана-Больцмана.
2 — Для нахождения длины волны Цтпх\ на которую при дан ной температуре приходится максимум плотности спектрального
излучения абсолютно черного |
тела (например, максимум кривой 1 |
|
рис. 47), приравняем нулю первую производную по X |
от функции |
|
Планка (13). |
|
(13), делая |
Для решения этой задачи, упростим выражение |
||
указанную выше замену переменной, Получим: |
|
|
W, _ 2як" Т5 |
х5 |
(13а) |
Найдем первую производную от этого выражения и приравняем ее нулю:
|
5х4(ех— 1)— хЕех |
_х4 [5(ех—1)—х ех]„ |
|||
|
|
|
(ех —I)2 ~ |
(ех—I)2 |
|
Откуда |
|
5 (ех—1)—хех=0 |
|
||
Решением |
этого трансцендентного |
уравнения будет: |
|||
|
|
|
x(meJ=4,96 |
|
|
а, следовательно, для Х(„1ПЛ) будет |
иметь |
место соотношение: |
|||
|
|
he |
1 |
he |
1 |
|
Ктах |
|
7^ = 7-4^6 ' |
—Т~ |
|
|
,. . |
гп |
he |
|
|
откуда X(mor) • |
г=^-^6=а |
|
|
||
ИЛИ |
Чтах) ■ Т=а..................................................................(15) |
||||
где а=0,28 см. |
град. |
|
|
|
|
Соотношение (15), как мы видели выше, выражает закон смеще ния Вина.
3 — Для нахождения второй координаты максимума кривой распределения энергии по длинам волн, даваемой формулой План ка (13), в выражение, полученное после указанной выше подста-
93
