Файл: Чайлдс Э. Физические основы гидрологии почв.pdf

которой шла речь выше). Максимальная скорость увеличения потенциала и направление, в котором это увеличение происходит,

точки, которые выбраны для измерения градиента, должны быть как можно ближе друг к другу. Лучше всего построить кривую зави­ симости потенциала от расстояния в направлении градиента потен­ циала и измерить наклон кривой в нужной точке.

Характеристику, имеющую направление, например силу или градиент потенциала, называют вектором, а для того чтобы обо­ значить ее величину и направление, необходимо использовать спе­ циальные символы. Вектор обозначают жирными литерами, причем его направление, а иногда и величину указывают с помощью ком­ понент вектора в прямоугольных координатах х, у и z, где z обычно принимают направленным вверх. Так, величины компонент вектора

Точно так же силу F можно обозначить уравнением

F — iFх-f jF у -{-kF г,

где Fx, Fy и Fz есть компоненты F в направлениях указанных осей.

Таким образом, формулировки данного раздела можно выразить уравнениями

F = —grad ® = — [ і (дф/дх) ~ { - j (дф/ду) + к (дф/dz)].

Отсюда компоненты силы суть

Fx = -(дФ/дх),

Fy — —(дф/ду),

F г= —(дф/дг).

По-другому компоненту градиента в направлении данной оси можно выразить как произведение величины градиента на косинус угла между направлением градиента и этой осью. Такой косинус называется дирекционным косинусом градиента. Например, если величина градиента есть G , а дирекционные косинусы в направле­ ниях X, у и z равны соответственно I, пг и п, то записывают

grad Ф = G ( l i -j- m j -f-п к ) .

9.2. Движение воды под действием градиента потенциала; закон Дарси

градиенту. В 1827 г. Ом сформулировал свой закон, согласно ко­ торому величина потока электричества (т. е. сила электрического тока) в проводнике пропорциональна разности потенциалов на его

И в этом случае величина потока пропорциональна градиенту потен­ циала. Конфигурация норового пространства в пористом материале, например в песке, слишком сложна и трудно определима, чтобы урав­ нения Навье—Стокса можно было применить для расчета потока жидкости в таком материале, хотя общую закономерность можно продемонстрировать.

Проводя опыты по вертикальной фильтрации воды сквозь слой песка, Дарси [53] сформулировал закономерности этого процесса.

Во-первых, в отдельных опытах на своей установке он доказал, что величина потока воды сквозь насыщенный песок пропорциональна разности потенциалов между двумя отметками, и, во-вторых, что она обратно пропорциональна толщине слоя. Он считал также, что поток пропорционален площади поперечного сечения S колонки, хотя сам использовал только одну колонку диаметром 35 см и тол­ щиной слоя песка от 58 до 171 см в разных опытах. Схема установки Дарси показана на рис. 9.1, где Нв — глубина слоя на верхней поверхности песка, НА — толщина участка колонки, находящегося ниже поверхности воды в приемной камере, а I — толщина слоя песка.

Дарси выразил результаты опытов в форме

Используя соотношение между ф ѵо1 и Owt из уравнения (9.3), можно записать также

где Кѵ0] = Z wl/pg.

Awt и КѴ0І различаются только единицами, в которых они выра­ жены, поскольку выведены с применением различных единиц по­ тенциала. Они характеризуют легкость, с которой материал позво­ ляет проходить воде, и фактически представляют собой величину потока через колонку единичного сечения под действием единичного градиента потенциала. Эту константу называют различными тер­ минами, среди которых распространенным является «проницаемость», однако на этот счет есть известные противоречия (см. параграф 9.8). Следуя рекомендациям Подкомитета по проницаемости и инфильт­ рации Почвенного общества США, мы используем здесь термин «гидравлическая проводимость» (hydraulic conductivity), причем там, где возможны недоразумения, будут оговорены и пористая среда, и жидкость. Что касается различных упомянутых единиц гидравлической проводимости, то Kwi имеет размерность скорости,

ражено КѴ0І, имеет свои преимущества. В последующем символ К используется без индексов, и всюду, где нет оговорок, подразуме­ вается Awt.

В приведенных выше выражениях для закона Дарси величина (Фв — ф А/1) представляет собой градиент потенциала, который в условиях опытов Дарси был одинаков по высоте колонки. Но прежде

чем этот закон может быть применен в не столь простых условиях, как в опытах Дарси, он нуждается в некотором обобщении. Дарси ограничил свои опыты вертикальным потоком воды, проходящим с постоянной скоростью через водонасыщенный песок. Форма урав­ нения (9.6) уже обобщает закон Дарси на случаи направлений тока, отличных от вертикали. Просто переставив символы, его можно также переписать в виде

Левая часть есть поток воды, проходящий в единицу времени через единицу площади ограничивающих концы колонки поверх­ ностей. И если скорость воды во внешних камерах (т. е. скорость воды в момент, непосредственно предшествующий входу в песок, или следующий сразу за выходом из песка) есть ѵ, то

поскольку скорость, с которой вода движется через входную или выходную камеру, должна быть, очевидно, равна скорости, с которой она движется сквозь песок, если говорить об объемах в единицу времени. О фактической скорости движения воды после того, как она вступила в извилистое пористое пространство песка, в точности ничего сказать нельзя, но очевидно, что поскольку часть общего поперечного сечения занята твердыми частицами, то в той его части, которая осталась доступна для потока, скорость воды должна в сред­ нем превышать скорость во входной и выходной камерах, чтобы обеспечить прохождение того же объема жидкости в единицу вре­ мени. Скорость V иногда называют эффективной скоростью, но чаще просто скоростью потока. В любом случае следует помнить, что речь идет о гипотетической скорости, которую имела бы вода, если бы она двигалась через данное поперечное сечение, но не занятое твердыми частицами.

Если поток воды в пористом материале не ограничен колонкой с параллельными стенками, то скорость воды в разных точках должна быть различной и при этом ниже там, где площадь поперечного сечения больше. При таких условиях разность потенциалов АФ между концами отрезков колонки данной длины AI также будет различной в разных частях пористого тела. В этом случае закон Дарси можно сформулировать только применительно к опыту с та­ ким малым элементом объема песка, в котором ѵ по существу постоянно, а АФ/АІ также постоянно и имеет величину, называ­ ющуюся при предельном уменьшении AI градиентом Ф (см. параграф 9.1). Используя эту терминологию, уравнение (9.9) и помня, что скорость потока направлена противоположно направлению возра­ стания потенциала, вместо уравнения (9.8) можно записать