ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 227
Скачиваний: 5
При этом может обнаружиться, что для одного какого-то направле ния получается максимальная величина потока при данном гради енте потенциала, т. е. максимальное К, и что для этого направления ход метки следует ходу градиента потенциала. Такое направление было бы параллельно капиллярам структуры, хотя нет способа убедиться в этом. Цилиндрические образцы, вырезанные в направле нии, перпендикулярном направлению максимальной проницаемо сти, обнаружили бы минимальную проницаемость, а в любых осталь ных направлениях проницаемость получала бы промежуточное зна чение и показывала бы, что путь потока отличается от направления градиента потенциала.
При дальнейшем усложнении анализа можно рассмотреть мате
>риал, пронизанный капиллярами или плоскими ламинарными тре щинами в различных направлениях. Вырезав для опыта образцы, ориентированные в различных направлениях, мы снова найдем мак симальную проницаемость К% в каком-то одном направлении, ска
жем X. Из всех остальных направлений, перпендикулярных к первомут одно, например ц, может обладать наибольшей проницаемостью К ^ г в общем меньшей, чем К%, а другое направление ѵ, находящееся под прямым углом как к X, так и к р , будет обладать минимальной проницаемостью Кѵ. Может быть найдено, что на всех трех направле ниях X, р и V ход красителя-метки совпадает с ходом градиента по тенциала. На всех других направлениях проницаемость будет иметь промежуточные значения, а направление пути потока будет откло няться от направления градиента потенциала. Три указанных на правления X, р и V называются главными осями. В этом случае закон Дарси для такого материала можно выразить системой трех уравне ний:
ух= - К х(grad Ф)х = - К х (дф/дХ)
Vи = -К?, ferad Ф)^ = |
- К ^ (<ЭФ/<Эр) |
(9.12) |
v ^ = - K ^ (grad Ф)ѵ= |
—К ч (дф/'дѵ) |
|
Хотя никогда не доказывалось, что для любого типа структуры |
||
главные оси обязательно взаимно перпендикулярны, |
обычно это |
|
допускают, и такое допущение почти всегда оправдывается. Можно провести опыты по-другому. Из блока материала вырезают
три колонки, оси которых х, у и z направлены взаимно перпенди кулярно, причем эти направления в общем случае не совпадают с направлениями главных осей. В каждом опыте измеряют градиент потенциала, величину потока и его направление; последнее исполь
зуется для разложения |
потока на составляющие |
в направлениях |
|
X, |
у и z. Когда grad ф |
направлен по х, результаты можно выразить |
|
в |
форме |
|
|
|
ѵх х = ~ К хх(grad®), |
|
|
|
Ѵух= - К у х № ad Ф)х |
(9.13) |
|
|
vzx= — Ä"**(grad ФЦ |
|
|
Индексы при V и К обозначают соответственно направление со ставляющей потока и направление градиента потенциала, вызывающего
поток. Точно так же, когда градиенты потенциала направлены соответственно по у и z, получаются следующие выражения для закона Дарси:
Vx y = - K xy(gredO ), |
! |
|
ѵуу^ ~ К уу(2™і Ф)у |
(9- 14) |
|
ѵгУ= - R e f e r a i Ф)у |
) |
|
vXz = - K xz{gradO )2 |
] |
|
vyz ^ |
-Kyz (grad Ф)2 |
(9.15) |
ѵгг = |
- K zz (grad Ф)г |
) |
Это выражение закона Дарси для анизотропных материалов в де картовых координатах, требующее девяти уравнений и девяти со ставляющих К , может показаться громоздким по сравнению с тремя уравнениями (9.12), отнесенными к главным осям. Однако введение тензорных обозначений приводит к значительному упрощению. Если принять определение диады Ж
К ххіі + K yxji + K zxki +
Ж — \ + |
K xyi j |
К y y j j + K zyk j - f |
(9.16) |
т |
Ж хгі к |
-j- K yzJ k -j~ K zzk k |
|
то, как показано в Дополнении 15, девять уравнений (9.13)- -(9.15)
можно записать в простой форме |
|
|
||
|
|
V — —Ж «grad Ф. |
|
(9.17) |
Здесь |
V — векторное |
выражение скорости |
потока, |
характеризу |
ющее как |
направление, |
так и величину. Иначе говоря, |
||
V — І{рXX~тѵху “Ь v xz) “f" Jіѵух "Ь ѵуу “Н ѵ уг) 4~ ^(и гх ~Ь ѵгу ~Ь ^zz)* (9.18) |
||||
Точка |
между Ж и |
grad Ф означает, что |
любое |
произведение |
векторов при умножении получается по правилу скалярных произ ведений, т. е. путем перемножения величин векторов на косинус угла между их направлениями. В частности, произведение единич ных векторов само равно единице, если векторы лежат в одном на правлении (например, і • і, j •j; к-к),та. равно нулю, если векторы взаим но перпендикулярны (например, i-j, і-к или любое скалярное про изведение пар векторов і, j и к, модули которых различны).
Говорят, что выражение (9.16) есть нонионная форма диады или
тензора Ж. Если коэффициент Кху имеет ту же величину, что |
Кух, |
|
Куг — ту же величину, что К гу, а К гх — ту же |
величину, что и |
Кхг, |
диаду называют самосопряженной. Везерберн |
[168] показал, |
что |
в этом случае три главные оси À, (і и ѵ взаимно перпендикулярны, но, согласно Чайлдсу [32], верно и обратное. Уже указывалось, что обычно Ж считают самосопряженным, объяснение этому приведено в Дополнении 16.
Если диада Ж самосопряжена, можно выбрать направление осей х, у и z так, чтобы они совпадали с главными осями %, ц и ѵ, при этом
исчезают все коэффициенты, кроме К K w и Кѵѵ, так что из урав |
|
нения (9.16) следует |
|
Ж ^ K rJi + K ^ j j + K^kk. |
(9.19) |
Подставляя Ж из уравнения (9.19) в уравнение (9.17), получаем:
ѵ = - (Ки и + K ^ J j 4-К „ Щ • [(grad Ф),і -j- (grad Ф)^/ +
+ feradФ),*] = ~ К хх (gradФ)х» + |
feradФ)р.У + |
feradф), |
|
|
(9.20) |
что эквивалентно трем уравнениям в составляющих (9.12), за исклю чением того, что обозначение К% заменено на К%х и т- п.
9.4. Закон Дарси для ненасыщенных материалов
Эксперимент для подтверждения закона Дарси требует создания различных градиентов потенциала при прочих равных условиях; когда материал ненасыщен, в этом отношении возникают труд ности. В главе 8 было показано, что при ненасыщении существует сосущая сила и влажность зависит от ее величины. Если в разных опытах к концам колонки прикладывают различные сосущие силы, чтобы получить различные градиенты потенциала, влажность также меняется и материал, по существу, становится различным.
Обычно предполагают, что для данной влажности закон Дарси справедлив, подкрепляя это допущение следующими доводами. В ненасыщенном материале проводящими каналами являются те поры, которые заполнены водой при сосущей силе, соответствующей данной влажности. Поры, занятые воздухом, непроводящи, поскольку вода вряд ли может пройти через пору, не заняв ее. Следовательно, поры, заполненные воздухом, можно было бы заполнить твердым веществом, например воском, не повлияв на величину потока воды через остальные поры, а пористый материал, обработанный таким образом, можно было бы рассматривать как новый насыщенный материал с теми же гидравлическими свойствами, что и первоначаль ный ненасыщенный материал. Теперь его можно использовать в се рии опытов на применимость закона Дарси, создавая обычным способом различные положительные разности давления, причем влажность, естественно, будет оставаться постоянной и равной тому значению, которое «зафиксировано» воскованием и которое равно влажности исходного ненасыщенного материала. Вполне разумно допустить, что закон Дарси при этом подтвердится, как и для любого другого насыщенного материала.
Был проведен эксперимент для прямой проверки применимости закона Дарси к ненасыщенному материалу [38]. Авторы пред ложили метод, с помощью которого можно было создавать в длинной колонке влагопроводного материала однородные влажность и со
сущую силу, так |
что градиент |
потенциала был связан только |
с гравитационной |
составляющей. |
Различные градиенты потенциала |
задавались путем наклона колонки под разными углами к вертикали. Результаты однозначно показали, что величина потока для данной степени насыщения пропорциональна градиенту потенциала, как и в случае насыщенных материалов.
9.5. Вязкое ламинарное течение жидкостей
Прежде чем показать, что закон Дарси есть следствие более общих физических законов течения жидкостей, необходимо определить некоторые понятия. В параграфе 1.4 уже отмечалось, что жидкость не выдерживает малейших сдвиговых напряжений .1 Она течет не прерывно. Если представить, что жидкость состоит из множества элементарных тонких слоев, параллельных направлению сдвигового усилия, то течение примет форму непрерывного скольжения слоев друг по другу. Если сдвиговое усилие не слишком велико и не гонит жидкость слишком быстро, элементарные слои остаются как бы вполне определенными и отделенными друг от друга, что можно показать, например, вводя в поток краску. Подобное состояние течения с четкими упорядоченными линиями тока называется лами нарным течением, в отличие от состояния турбулентности, которое наступает, когда движущая сила достаточно велика.
Слой жидкости, скользящий по другому слою, оказывает на этот слой воздействие посредством трения. Это воздействие взаимно: более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный, а последний его притормаживает. Подобное трение в жидкостях называется вязкостью. Чем больше относительная скорость, тем больше взаимное вязкостное сопротивление. Конечный эффект при бесконечно большом числе тонких слоев, каждый из которых движется со скоростью, отличной от скорости соседа, проявляется в форме градиента скорости, скажем, в направлении у, под прямым углом к линии движения. В любой данной точке, где градиент скорости dv/dy, вязкостное сдвиговое усилие в плоскости F/A, находящейся под прямым углом к направлению у, равно
F/A = T]dv/dy, |
(9.21) |
где г) — постоянная, называемая коэффициентом |
вязкости, или, |
более кратко, вязкостью жидкости. |
|
9.6. Закон Дарси как следствие основных законов течения жидкости
Читатель уже заметил, что закон Дарси не говорит ничего ни об истинной скорости потока, ни о потенциале в каждой точке жид кости, занимающей пористое пространство. Он игнорирует внутрен
1 По данным советских исследователей, тонкие слои жидкости в пленках и капиллярах обладают сдвиговой прочностью порядка 1 • 10_3 дн/см. См. Б о н д а р е н к о Н. Ф. Влияние межмолекулярных водородных связей на характер течения жидкостей в капиллярах. — ЖФХ, 1968, т. 47, №1. Прим, neрев.