Файл: Семинар 13.pdf

1

Семинар по теме

Евклидово пространство

Матрица Грама скалярного произведения

Определение 1. Будем говорить, что в действительном линейном пространст-

ве L определено скалярное произведение векторов, если

Каждой паре векторов x и y этого пространства поставим в соответствие ве-

щественное число, обозначаемое (x, y) так, что x, y, z L , R вы-

полняются следующие аксиомы (аксиомы скалярного произведения):

I. (x, y) = ( y, x)

II. (x y, z) = (x, z) ( y, z) III. ( x, y) (x, y)

IV. (x, x) 0 , причем (x, x) 0 x 0

Определение 2. Скалярное произведение (x, x) называется скалярным квад-

ратом вектора x и обозначается x2 : (x, x) x2

Свойства:

1R (x, y) (x, y) x, y L , R

2R (x, y z) (x, z) (x, z) x, y, z L , , , R

3R (0, y) (0 x, y) 0 (x, y) 0

Определение 3. Евклидовым пространством называется линейное веществен-

ное пространство, в котором задана операция скалярного ум-

ножения векторов.

Евклидово пространство принято обозначать E

Евклидово n-мерное пространство будем обозначать En .

МАТРИЦА ГРАМА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Пусть En - n –мерное евклидово пространство и пусть e {e1,e2,...,en} - базис

в нем

Формула для вычисления скалярного произведения векторов, заданных коорди-

натами в некотором базисе e в евклидовом пространстве En

(x, y) X T ГY

Свойства матрицы Грама

1Г Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

2Г Элементы, стоящие на главной диагонали в матрице Грама строго поло-

жительны.

3Г Для матрицы Грама и для любого n-мерного столбца X выполняется условие

X T ГX 0 .

4Г . Определитель матрицы Грама в любом базисе положителен.

Пример 1. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы:

вия 1Г - 4Г (матрица симметрична, на главной диагонали расположены положительные значения, определитель матрицы больше 0).

не все элементы положительны. Нарушается свойство 2Г .

4

В пространстве P2[t] многочленов степени не выше 2-х скалярное произведе-

1

ние задано формулой ( f , g) (1 t) f (t)g(t)dt . Составить матрицу Грама скалярно-

0

го произведения в каноническом базисе пространства {1,t,t 2} .

Задание 3. Выполнить самостоятельно. В евклидовом пространстве P2[t] из

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ГРАМА ПРИ СМЕНЕ БАЗИСА

ДЛИНА ВЕКТОРА. УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

Определение 4. Длиной вектора (или модулем вектора) называется число, рав-

ное арифметическому значение квадратного корня из скалярного квадрата этого векто-

ра x (x, x) x2

Свойства:

1. x 0 причем x 0 x 0

5

2.x x , R

3.Неравенство Коши-Буняковского. В любом евклидовом пространстве мо-

дуль скалярного произведения двух векторов не превосходит произведения их длин.

(x, y) x y

4. Неравенство треугольника x y x y

Определение 5. Углом между ненулевыми векторами x и y называется такое