Файл: Семинар 13.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 6

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

6

Значит ( f , g)

 

 

 

6

 

 

 

 

 

Задание 5. Выполнить самостоятельно. Найти длины элементов f (t) 1 t ,

g(t) 3 евклидова пространства всех многочленов

P [t]

со скалярным произведением

 

 

1

 

1

( f , g) f (t)g(t)dt Найти угол между элементами.

1

 

 

 

 

 

Задание 6.

Выполнить самостоятельно. Найти длины элементов

f (t) 1 t ,

g(t) 1 t евклидова пространства всех многочленов P [t]

со скалярным произведением

 

 

1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

( f , g) (t 1) f (t)g(t)dt . Найти угол между элементами

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Задание

7.

Выполнить самостоятельно.

Найти

длины

элементов

f (t) 1 2t , g(t) 1 t

евклидова пространства всех многочленов

P [t] со скалярным

 

 

 

 

1

 

1

произведением ( f , g) f (t)g(t)dt . Найти угол между элементами

0

Пример 4. В базисе {e} пространства En скалярное произведение задано матрицей

Грама Г . Найти

1)Длины базисных векторов и угол между ними.

2)Длины векторов x и y и угол между ними

4.1. Пространство E

 

, базис {e , e } ,

2

1

,

2

матрица Грама Г

 

 

 

 

1 2

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x e1 2e2 , y e1 e2

Решение 4.1.

1) Как известно, матрица Грама в данном базисе – матрица из попарных скаляр-

ных произведений базисных векторов:

 

 

(e , e )

(e , e )

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e )

(e , e )

 

 

 

2 1

 

 

 

Г

1

1

 

 

 

1

 

 

2

 

 

.

Тогда

 

1

1

 

 

1 2

 

 

 

=

1 3

 

 

 

 

 

 

(e , e )

(e , e )

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e ) (e , e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e1, e1) 2

e1

 

(e1, e1) 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e2 , e2 ) 3

e2

 

(e2 , e2 ) 3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos (e , e )

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e

2

) arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

e1

 

e2

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (x, y)

 

(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

x

(x, x) ,

 

 

 

y

 

( y, y) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, x) X T ГX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=10

 

x

 

 

(x, x)

10

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

( y, y) Y T ГY = (1

2

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

=7

 

y

 

( y, y) 7

-1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения угла между векторами, найдем сначала скалярное произведе-

ние (x, y)

(x, y) X T ГY = (1

 

2

 

 

1

 

1

=-5

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

cos (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

70

70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 7

 

 

70

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

70

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y) arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2. Пространство E3 , базис {e1,e2,e3} , матрица Грама Г

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x e1 2e2 e3, y 2e1 e3

Решение 4.2.

1) Составим матрицу Грама в базисе {e1,e2,e3} :

 

(e , e )

(e , e )

(e , e )

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

2

1

3

 

 

 

 

 

 

Г

(e2 , e1) (e2 , e2 )

(e2

, e3 ) .

 

 

 

 

 

 

(e3, e1)

(e3, e2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e3, e3 )

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e ) (e , e )

(e , e )

 

8 3

1

Тогда

 

 

1 1

 

1 2

 

1

3

 

 

 

 

 

 

(e2 , e1) (e2 , e2 )

(e2 , e3 )

=

3 2

0

 

 

 

 

(e3, e1) (e3, e2 )

 

 

 

 

 

1 0

1

 

 

 

 

(e3, e3 )

 

 

(e1, e1) 8 e1 (e1, e1) 22 , (e2 , e2 ) 2 e2 (e2 , e2 ) 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e )

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

cos (e , e

)

1

2

 

 

 

 

(e , e )

arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

e

 

 

e

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e3, e3) 1

e3

(e3, e3) 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

cos (e , e )

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(e , e ) arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

e

 

 

e

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

4

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (e , e )

(e2 , e3 )

 

0

0 (e

, e )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

e2

 

e3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (x, y)

(x, y)

 

 

 

 

2)

x

(x, x) ,

 

 

y

 

( y, y) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

2

0

 

,

 

0

1

 

 

 

 

8

 

 

8

3

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, x) X T ГX = (1

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

0

 

2

= 7

x

(x, x) 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

3

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( y, y) Y T ГY = (2

0 1)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

3 2

0

 

= 29

y

( y, y) 29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения угла между векторами, найдем сначала скалярное произведе-

ние (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

3

1

 

 

 

2

 

(x, y) X T ГY = (1

2

1)

3

2

0

 

 

 

0

= 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos (x, y)

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

29

 

203

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x, y) arccos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

203

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 8. Выполнить самостоятельно. В базисе {e} пространства En скаляр-

ное произведение задано матрицей Грама Г . Найти

1)Длины базисных векторов и угол между ними.

2)Длины векторов x и y и угол между ними

8.1. Пространство E

 

, базис {e , e } ,

1

1

 

2

матрица Грама Г

 

 

,

 

 

1

2

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2e1 3e2 , y e1 e2

 

 

 

 

 

 

8.2. Пространство E

 

, базис {e , e } ,

4

3

,

2

матрица Грама Г

 

 

 

 

1

2

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x e1 e2 , y e1 2e2

 

 

 

 

 

 

 

2

1

0

 

8.3. Пространство E3 , базис {e1,e2,e3} ,

 

 

 

 

 

матрица Грама Г

1

2

3

,

 

 

0

3

 

 

 

 

8

 

x e1 e2 e3 , y 2e1 3e2 e3

 

 

 

 

 

 

 

4

2

1

 

 

8.4. Пространство E3 , базис {e1,e2,e3} ,

 

 

 

 

 

 

матрица Грама Г

2

3

0

 

,

 

 

1

0

1

 

 

 

 

 

 

x e1 e2 2e3 , y 2e12 e3

 

9

Задание 9*.

Выполнить самостоятельно. В пространстве P2[t] много-

членов степени не

выше 2-х скалярное произведение задано формулой

( f , g) f ( 1)g( 1) f (0)g(0) f (1)g(1) . Показать евклидовость скалярного про-

изведения. Найти длины векторов f (t) 1 t t 2 , g(t) t и угол между ними. Со-

ставить матрицу Грама скалярного произведения в каноническом базисе пространства

{1,t,t 2} . Записать скалярное произведение в векторно-матричной форме

Ключевые вопросы лекции для подготовки к экзамену

1.Определение скалярного произведения векторов

2.Понятие квадратичной формы.

3.Матрица квадратичной формы

4. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

5.Понятие конгруэнтных (эквивалентных) форм

6.Понятие ранга квадратичной формы.

7.Понятие вырожденной и невырожденной квадратичной формы

Смотрите также файлы