ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.04.2024
Просмотров: 6
Скачиваний: 0
Результат выполнения кода представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 – Результат выполнения кода
Код также строит графики зависимости числа итераций от погрешности для всех представленных методов в одних координатных осях и выводит результаты для каждого из методов.
Построение графиков зависимости числа итераций от погрешности для всех представленных методов в одних координатных осях;
Рисунок 2 – График зависимости числа итераций от погрешности для всех методов
Выводы об эффективности и трудоемкости представленных методов.
В ходе выполнения данной работы я произвел исследование заданной функции f(x)=(x^2)-9x+8 на экстремум на указанном интервале [4.2; 5.3] с помощью алгоритма равномерного поиска, метода дихотомии, метода золотого сечения и метода Фибоначчи.
На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы об эффективности и трудоемкости представленных методов:
-
Алгоритм равномерного поиска имеет наименьшую трудоемкость среди всех представленных методов, но его точность зависит от выбора значения n для количества точек разбиения интервала.
-
Метод дихотомии имеет среднюю трудоемкость и обеспечивает хорошую точность результата.
-
Метод золотого сечения и метод Фибоначчи имеют наибольшую трудоемкость среди всех представленных методов, но обеспечивают высокую точность результата.
Таким образом, выбор метода для поиска экстремума функции зависит от требуемой точности результата и доступных вычислительных ресурсов. Если требуется высокая точность результата и доступны достаточные вычислительные ресурсы, то можно использовать метод золотого сечения или метод Фибоначчи. Если же требуется баланс между точностью результата и трудоемкостью алгоритма, то можно использовать метод дихотомии. Алгоритм равномерного поиска может быть использован в случаях, когда требуется быстрый поиск приблизительного решения.
-
Нахождение экстремума функции нескольких переменных (вариант 8).
Цель работы: изучение метода поиска экстремума нелинейной функции нескольких переменных.
Задание: найти градиентным методом экстремум функции нескольких переменных в соответствии с вариантом задания.
Для нахождения экстремума функции нескольких переменных с помощью градиентного метода необходимо вычислить градиент функции и приравнять его к нулю. Градиент функции равен:
Приравнивая каждую компоненту градиента к нулю, получим систему уравнений. Решая эту систему уравнений, можно найти точки, в которых градиент равен нулю. Эти точки являются кандидатами на экстремумы функции. Для определения типа экстремума (минимум, максимум или седловая точка) необходимо вычислить матрицу Гессе и оценить ее знакоопределенность.
Для решения системы уравнений мы можем использовать метод Гаусса-Жордана. Для этого мы можем записать расширенную матрицу системы уравнений и привести ее к ступенчатому виду. Затем мы можем применить обратный ход метода Гаусса-Жордана, чтобы получить решение системы уравнений.
Расширенная матрица системы уравнений будет выглядеть следующим образом:
[0 4 -1 | 0]
[3 0 -1 | 0]
[-1 0 -2 | 0]
Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:
[3 0 -1 | 0]
[0 4 -1 | 0]
[0 0 -2/3 | 0]
Затем мы можем применить обратный ход метода Гаусса-Жордана:
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
Решая систему уравнений, полученную ранее, мы находим, что x1 = 0, x2 = 0 и x3 = 0. Это означает, что точка (0,0,0) является кандидатом на экстремум.
Чтобы определить тип экстремума, вычислим матрицу Гессе:
Матрица считается отрицательно определенной, если все ее главные миноры имеют знак (-1)^k, где k - порядок минора. Главным минором порядка k матрицы A называется определитель матрицы, составленной из первых k строк и первых k столбцов матрицы A.
В нашем случае главные миноры этой матрицы равны:
∆1=0
∆2=-9
∆3=0
Так как все главные миноры имеют знак (-1)^k, матрица Hf(x) является отрицательно определенной. Это означает, что точка (0,0,0) является максимумом функции f(x).
Ответ: Максимум функции равен f(0,0,0) = 0 и достигается в точке (0,0,0).
-
Нахождение экстремума функции в среде ms Excel (вариант 8)
Цель работы: изучение возможностей среды Excel в связи с задачей оптимизации решения уравнения с учетом наложенных ограничений, приобретение практических навыков решения задач оптимизации в среде Excel
Задание: решить задачу оптимизации в среде Excel для функции с учетом заданных по варианту условий.
Условие задания согласно выбранному варианту:
-
№ варианта
Функция f(x)
Условие минимизации
Условие максимизации
8
2x1 + 3x2
2x1 - x2 < 16
3x1 + 2x2 = 18
-
Проверить наличие функции аналитического поиска решения на панели быстрого доступа Excel, при необходимости добавить ее в соответствии с описанным порядком действий.
Включил надстройку «Поиск решения» в приложении Microsoft Excel следующим способом:
-
Открыл Microsoft Excel.
-
Нажал Файл > Параметры.
Рисунок 4 – Открытие параметров Excel
-
В открывшемся окне параметров Excel выбрал «Надстройки» > Управление «Надстройки Excel» > Перейти.
Рисунок 5 – Открытие надстроек Excel
-
В открывшемся окне надстроек включил доступную надстройку «Поиск решения» > затем нажал «ОК».
Рисунок 6 – Включение надстройки «Поиск решения»
-
В результате надстройка была включена. Её можно найти в верхней панели Excel > Данные > Анализ > Поиск решения.
Рисунок 7 – Отображение надстройки «Поиск решения»
-
Решить задачу оптимизации (отдельно для минимума и для максимума) в среде Excel для заданной функции с учетом заданных условий.
Для решения задачи оптимизации в среде Excel был использован инструмент “Поиск решения”:
-
Открыл новый лист в Excel и создал следующую таблицу:
Рисунок 8 – Пустая таблица для решения задачи оптимизации
Где:
-
Ячейки A2:B2 – пока равны «0»;
-
Ячейки C2:C3 – равны «=2*A2+3*B2» и «=2*A3+3*B3» соответственно, по условию функции.
-
Ячейки E2:E3 – равны «=2*A2-B2» и «=2*A3-B3» соответственно. по условию минимизации.
-
Ячейки H2:H3 – равны «=3*A2+2*B2» и «=3*A3+2*B3» соответственно, по условию максимизации.
-
Остальные ячейки заполнены для лучшего понимания и ориентирования.
-
Выделил ячейку C2 > нажал на вкладку “Данные” > выбрал “Поиск решения” в разделе “Анализ”.
-
Задал параметры для решения задачи оптимизации для минимума, параметры представлены на рисунке 9.
Рисунок 9 – Параметры поиска решения для минимума
-
Нажал на кнопку “ОК”, затем на кнопку “Решить”.
-
Excel нашёл оптимальные значения x1 и x2 для минимизации функции с учетом заданных условий. В данном случае x1=6, x2=0. Как видим на рисунке 10, при этом все условия соблюдены и f(x) = 12.
Рисунок 10 – Результат поиска решения для минимума
-
Проделал те же самые пункты для поиска максимума, параметры и результат представлен на рисунках 11 и 12.
Рисунок 11 – Параметры поиска решения для максимума
Рисунок 12 – Результат поиска решения для минимума и максимума
-
Excel нашёл оптимальные значения x1 и x2 для максимизации функции с учетом заданных условий. В данном случае x1=4.153856, x2=2.769231. Как видим на рисунке 12, при этом все условия соблюдены и f(x) = 16.61538.
Вывод
В ходе проделанной работы я изучил возможности среды Excel в связи с задачей оптимизации решения уравнения с учетом наложенных ограничений и приобрел практические навыки решения задач оптимизации в среде Excel. Я научился использовать инструмент “Поиск решения” для нахождения минимума и максимума функции с учетом заданных условий. В результате работы были найдены оптимальные значения x1 и x2 для минимизации и максимизации функции f(x) = 2*x1+3*x2 с учетом условий 2*x1-x2<16 и 3*x1+2*x2=18 соответственно.
