ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.04.2024
Просмотров: 12
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Теорема:
Подходящим выбором системы координат движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению независимых осцилляторов. Для этого введём так называемые нормальные координаты.
Полная энергия колебаний атомов всей цепочки равна сумме кинетической и потенциальной энергии всех осцилляторов + потенциальная энергия в состоянии равновесия.
Полная тепловая энергия колебаний атомов в цепочке складывается из энергии нормальных колебаний, ведущих себя подобно линейным гармоническим осцилляторам с собственной частотой Количество таких осцилляторов равно количеству степеней свободы у всех атомов, если в одномерной цепочке N атомов, то и осцилляторов будет N штук.
Квантово-механические обобщения
Энергия гармонических колебаний осциллятора квантована. Даже при 0 К атомы не могут находиться в положениях равновесия, то есть совершают колебания. Точная локализация атомов невозможно в силу соотношения неопределённости Гейзенберга.
Фонон – квазичастица, которая сопоставляется каждому нормальному коллективному колебанию с фиксированной частотой и длиной волны.
Мы не можем говорить о независимых колебаниях каких-либо атомов. Движение всех атомов взаимозависимо. Но мы можем говорить о распространении по кристаллу волн смещений атомов с фиксированной частотой – эти волны есть фононы. Поэтому возбуждение какого-либо нормального колебания есть на языке квазичастиц рождение фонона с такой-то частотой и волновым вектором.
Фонон несёт наименьшую энергию, его рассматривают как элементарное возбуждение. «Сложное» возбуждение есть просто возбуждение, содержащие много фононов. Таким образом, коллективные движения атомов в кристалле представляют собой звуковые волны, а соответствующие им возбуждения – кванты звука или фононы.
Фонон – это квант колебательной энергии кристалла.
Статистика фононов
Являются бозонами, так как для них принцип Паули не существует.
В трехмерном пространстве все аналогично. Акустические колебания – элементарная ячейка колеблется в целом – три степени свободы, три типа акустических колебаний, фононов. Оптические колебания – элементарная ячейка покоится, атомы колеблются навстречу друг другу.
В трёхмерном кристалле 3s типов колебаний. Из них три акустические ветви, а остальные (3s-3) – оптический ветви.
Температура Эйнштейна – температура, при которой начинается быстрый спад теплоемкости.
Температура Дебая – температура максимальных акустических колебаний.
Циклические условия
Условие цикличности
Элементы зонной теории
Если потенциал периодичен, то волновые функции и допустимые энергии обладают целым рядом уникальных свойств.
Теорема Блоха:
Где
– блоховская амплитуда, которая имеет тот же период, что и потенциал (2а)
Подходящим выбором системы координат движение любой системы частиц, совершающих малые колебания, может быть сведено к движению независимых осцилляторов. Для этого введём так называемые нормальные координаты.
Полная энергия колебаний атомов всей цепочки равна сумме кинетической и потенциальной энергии всех осцилляторов + потенциальная энергия в состоянии равновесия.
Полная тепловая энергия колебаний атомов в цепочке складывается из энергии нормальных колебаний, ведущих себя подобно линейным гармоническим осцилляторам с собственной частотой Количество таких осцилляторов равно количеству степеней свободы у всех атомов, если в одномерной цепочке N атомов, то и осцилляторов будет N штук.
Квантово-механические обобщения
Энергия гармонических колебаний осциллятора квантована. Даже при 0 К атомы не могут находиться в положениях равновесия, то есть совершают колебания. Точная локализация атомов невозможно в силу соотношения неопределённости Гейзенберга.
Фонон – квазичастица, которая сопоставляется каждому нормальному коллективному колебанию с фиксированной частотой и длиной волны.
Мы не можем говорить о независимых колебаниях каких-либо атомов. Движение всех атомов взаимозависимо. Но мы можем говорить о распространении по кристаллу волн смещений атомов с фиксированной частотой – эти волны есть фононы. Поэтому возбуждение какого-либо нормального колебания есть на языке квазичастиц рождение фонона с такой-то частотой и волновым вектором.
Фонон несёт наименьшую энергию, его рассматривают как элементарное возбуждение. «Сложное» возбуждение есть просто возбуждение, содержащие много фононов. Таким образом, коллективные движения атомов в кристалле представляют собой звуковые волны, а соответствующие им возбуждения – кванты звука или фононы.
Фонон – это квант колебательной энергии кристалла.
Статистика фононов
Являются бозонами, так как для них принцип Паули не существует.
В трехмерном пространстве все аналогично. Акустические колебания – элементарная ячейка колеблется в целом – три степени свободы, три типа акустических колебаний, фононов. Оптические колебания – элементарная ячейка покоится, атомы колеблются навстречу друг другу.
В трёхмерном кристалле 3s типов колебаний. Из них три акустические ветви, а остальные (3s-3) – оптический ветви.
Температура Эйнштейна – температура, при которой начинается быстрый спад теплоемкости.
Температура Дебая – температура максимальных акустических колебаний.
Циклические условия
Условие цикличности
Элементы зонной теории
Если потенциал периодичен, то волновые функции и допустимые энергии обладают целым рядом уникальных свойств.
-
Потенциал периодичен, а они вовсе не обязательно должны быть периодичными. А что должно быть периодичным так это электронная плотность. -
Однородное дифференциальное уравнение при заданных граничных условиях имеет единственное решение. Такое возможно только если эти две волновые функции отличаются максимум на константу
Теорема Блоха:
Где
– блоховская амплитуда, которая имеет тот же период, что и потенциал (2а)
