Файл: Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин Рейтинговая работа.docx

Кафедра математических и естественно-научных дисциплин


Рейтинговая работа __Контрольная работа_______________________
по дисциплине Математика_____________________________________
Задание/вариант № 6

Тема* ______________________________________________________________

Выполнена обучающимся группы Розиковой Еленой____________________

(фамилия, имя, отчество)
Преподаватель ____________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Москва – 2022 г.

Оглавление

Задание 1. Даны матрицы и число . Найти матрицу .

,

1 действие: А*В =
2 действие: q*C =( -2)*
3 действие:D=AB+qC=
Литература
Линейная алгебра : учеб. пособие / Н.В. Гредасова, М.А. Корешникова, Н.И. Желонкина [и др.] ; Мин-во науки и высш. образования РФ.— Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019.— 88 с.

Задание 2. Дана система линейных алгебраических уравнений

Найти решение этой системы любым методом.



А – основная матрица

В – матрица (столбец) свободных членов

С- расширенная матрица

А = B =

---

C =

Решаем методом Крамера

1 действие. Вычислим определитель основной матрицы системы:

= (-6)*3*(-8) + 2*(-4)*4 + 5*5*(-5) - (-5)*3*4 –

(-4)*5*(-6) - 5*2*(-8) = 144-32-125+60-120+80=7

2 действие. Вычислим определитель ∆₁. Для этого в матрице А заменим 1 столбец на столбец свободных членов и вычислим определитель получившейся матрицы.

₁ = = (-5)*3*(-8)+3*5*(-5)+2*(-4)*2-(-5)*3*2-2*3*(-8)-(-4)*5*(-5)= 120-75-16+30+48-100=7

3 действие. Вычислим Δ2. Для этого в матрице A заменим 2-й столбец на столбец свободных членов и вычислим определитель этой матрицы.

∆₂ = (-6)*3*(-8)+5*2*(-5)+(-5)*(-4)*4 – (-5)*3*4-(-4)*2*(-6)- (-5)*5*(-8) = 144-50+80+60-48-200 = -14

4 действие. Вычислим Δ3.
Для этого в матрице A заменим 3-й столбец на столбец свободных членов и вычислим определитель этой матрицы. 

∆₃ = = (-6)*3*2+5*5*(-5)+2*3*4- (-5)*3*4-5*3*(-6)-5*2*2 = -36-125+24+60+90-20 = -7

Вычисляем значения переменных:

X₁ = = = 1

X_{2 =} = = -2

X3 ₌ = = -1

Ответ: x_{1 =} 1; x_{2 =-} 2; x₃ = -1

Задание 3. Известны координаты

в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник

---

в этой прямоугольной системе координат и найти:

3.1 координаты векторов , и их длины;

AB = {х_B-х_A;у_B-у_A}={1-(-2); 6-(-3)} = {3;9}

АС = { х_С-х_A;у_С-у_A} = {6-(-2);1-(-3)} = {8;4}

|АВ| =
|АС| =

3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

АВ*АС = 3*8+9*4 = 24+36 = 60

= = =

= = 45º

= 45º

3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника ;

Найдем вектора по координатам точек

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {1 - (-2); 6 - (-3); 0 - 0} = {3; 9; 0}

AC = {Cx - Ax; Cy - Ay; Cz - Az} = {6 - (-2); 1 - (-3); 0 - 0} = {8; 4; 0}

S=  |AB × AC|

Найдем векторное произведение векторов

c = AB × AC

АB × AC = = = i* (9·0 - 0·4) - j *(3·0 - 0·8) + k* (3·4 - 9·8) = i *(0 - 0) - j *(0 - 0) + k* (12 - 72) = {0; 0; -60}

Найдем длину (модуль) вектора

|c| =

---

 =   =  =   = 60

Найдем площадь треугольника:

S =  · 60 = 30

3.4 значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны;

3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;

3.6 каноническое уравнение стороны ;

Воспользуемся формулой канонического уравнения



Подставим в формулу координаты



Упростим выражение, выразив y через X

y = - 2

3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

Литература

Ермилова, Н.А., Павельчук, А.В. Е73 Матрицы, определители, системы линейных уравнений: Учебно-методи- ческое пособие / Н.А. Ермилова, А.В. Павельчук. – Благовещенск: Амурский гос. ун-т, 2013. – 68 с.

Задание 4. Известны координаты

6

---

в прямоугольной системе координат вершин пирамиды .

4.1. Найти смешанное произведение векторов и объем пирамиды ;

Найдем вектора по координатам точек:

A₁А₂ = {А_2x - A_1x; А_2y - A_1y; А_2z - A_1z} = {2 - 0; -1 - 7; 5 - 1} = {2; -8; 4}

A₁А₃ = {А_3x - A_1x; А_3y - A_1y; А_3z - A_1z} = {1 - 0; 6 - (-7); 3 - 1} = {1; 13; 2}

A₁А₄ = {А_4x - A_1x; А_4y - A_1y; А_4z - A_1z} = {3 - 0; -9 - 7; 8 - 1} = {3; -16; 7}

Найдем смешанное произведение векторов:

A₁А₂ · (A₁А₃ × A₁А₄) =   =2·13·7 + (-8)·2·3 + 4·1·(-16) - 4·13·3 - (-8)·1·7 - 2·2·(-16) =

= 182 - 48 - 64 - 156 + 56 + 64 = 34

Найдем объем пирамиды:

V =   · 34 = 

4.2. Найти каноническое уравнение прямой ;

Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой





В итоге получено каноническое уравнение прямой:



4.3. Найти общее уравнение плоскости ;

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

=0

Подставим данные и упростим выражение:

= 0
=0
(x – 0)*(-8·2-4·(-1) )- (y – 7)*(2·2-4·1 )+ (z – 1)*(2·(-1)-(-8)·1) = 0

(-12)*x - 0 + 0*y - 7 + 6*z - 1 = 0

 - 12x + 6z - 6 = 0

2x - z + 1 = 0
Литература
Линейная алгебра и аналитическая геометрия : учеб.-метод. пособие / авт.-сост.: В. А. Феофанова, Ю. Г. Мартышенко; М-во образования и науки РФ ; ФГАОУ ВПО «УрФУ им. первого Президента России Б.Н.Ельцина», Нижнетагил. технол. ин-т. (фил.). – Нижний Тагил : НТИ (филиал) УрФУ, 2013. – 148 с.

---