Файл: Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса 5.pdf

Экзаменационные вопросы по высшей математике для студентов 2 курса 5
факультета, 3 семестр 2022
Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Примеры составления и решения дифференциальных уравнений. Основные определения: дифференциального уравнения, его порядка, решения.
2. Изоклины. Поле направлений. Геометрическое (качественное) исследование дифференциальных уравнений 1-го порядка. Общее, частное решения, решение задачи Коши, их геометрический смысл.
3. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши (без доказательства).
Понятие об особом решении.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка: уравнение с разделяющимися переменными, и уравнения, сводящиеся к уравнению с разделяющимися переменными: однородное уравнение 1-го порядка, с правой частью специального вида, линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определение и интегрирование уравнения в полных дифференциалах.
5. Определение дифференциальных уравнений высших порядков. Определение решения, общего решения, частного решения. Решение задача Коши и ее геометрическое истолкование для уравнений 2-го порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
(без доказательства).
6. Методы понижения порядка дифференциального уравнения дифференциальных уравнений высших порядков на примере неполных уравнений, не содержащих низших производных или не содержащих независимой переменной.
7. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка.
9. Определение линейной зависимости и независимости функций на интервале. Определитель
Вронского. Необходимое условие линейной зависимости системы функций. Достаточное условие линейной независимости системы произвольных функций. Примеры систем независимых функций.
10. Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Пространство решений линейных однородных дифференциальных уравнений.
11. Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка.
12. Структура общего решения неоднородного линейного уравнения n -го порядка.
13. Метод вариации произвольных постоянных – универсальный метод построения частного решения для произвольной правой части.
14. Линейные однородные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение фундаментальной системы решений.
15. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод неопределенных коэффициентов.
РЯДЫ

16. Числовые последовательности, способы их задания. Предел последовательности.
Арифметическая и геометрическая прогрессии.
17. Определение числового ряда. Классификация числовых рядов. Определение сходимости ряда. Частичная сумма. Остаток ряда. Сумма ряда. Примеры.
18. Необходимое и достаточное условие сходимости. Критерий Коши сходимости числовых рядов. Определение абсолютной и условной сходимости.
19. Признаки абсолютной сходимости: признаки сравнения и эквивалентности, признак
Даламбера, радикальный признак Коши. Интегральный признак сходимости Коши. Пример: сходимость гармонических рядов.
20. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Пример: сходимость обобщенных гармонических рядов. Теорема Римана ( без док-ва)
21. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость функциональных последовательностей. Сумма функционального ряда. Поточечная и равномерная сходимость функционального ряда.
20. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Пример: сходимость ряда геометрической прогрессии.
21. Теоремы о свойствах равномерно сходящихся рядов: о непрерывности суммы и о почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.
22. Определение степенного ряда. Центр и коэффициенты степенного ряда. Лемма Абеля и теорема Абеля о сходимости степенного ряда.
23. Степенные ряды. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
24. Разложение функции в степенной ряд. Теорема о разложении бесконечно дифференцируемой функции в ряд Тейлора. 25. Ряды Тейлора-Маклорена для функций: e
x
, sin
x . cos x , ln(1x), (1x)

25. Скалярное произведение в пространстве функций, заданных и интегрируемых со своим квадратом на интервале (а,b). Определение ортогональности функций на интервале. Пример ортогональной системы тригонометрических функций. Тригонометрические многочлены и ряды.
26. Ряды Фурье для функций, заданных на 
π,π. Единственность разложения. Периодические продолжения. Тригонометрические ряды Фурье для четных и нечетных функций.
27. Виды сходимости тригонометрических рядов Фурье. Теоремы о достаточных условиях сходимости ( без док-ва).
28. Периодические продолжения функций, заданных на 0,π
, при разложении в ряд Фурье по синусам и косинусам.
29. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на симметричном интервале 
-l,l.
30. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на произвольном интервале a,b.