Задача 2

Точка А движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями и . При этом координаты х и у выражены в сантиметрах, а время t – в секундах. Найти уравнение траектории точки, изобразить траекторию на рисунке; для момента времени t = 1 с определить и указать на рисунке скорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны траектории.

Решение.

Для определения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Используем формулу . В данном случае .

Из уравнения получаем Из уравнения получаем ,

а так как =2 , получим – 1 или

, умножим обе части уравнения на 4 получим

у+2 = выразим из уравнения у, получим у = или

у = это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина смещена на -6см по оси у. Изобразим найденную траекторию. Для более точного изображения найденной траектории по заданным уравнениям движения определим положение точки в различные моменты времени.



·1=12

·0,866=10,39

·0,5= 6

---

·0 = 0

·(-0,5_) = - 6

·(-0,866) = -10,39

·(-1)= -12

·(-0,866) = -10,39

·(-0,5)= - 6

·0 = 0

·0,5 = 6



= 4·1 – 2 = 2

= 4·0,5 – 2 = 0

= 4·(-0,5) – 2 = - 4

= 4·(-1 ) – 2 = - 6

= 4·(-0,5) – 2 = - 4

= 4·0,5 – 2 = 0

= 4·1 – 2 = 2

= 4·0,5 – 2 = 0

= 4·(-0,5) – 2 = -4

= 4·(-1) – 2 = - 6

= 4·(-0,5) – 2 = -4

Заполним таблицу координат точки в различные моменты времени

t, с	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х, см	12	10,39	6	0	-6	-10,39	-12	-10,39	-6	0	6
у, см	2	0	-4	-6	-4	0	2	0	-4	-6	-4

---

( , Т=12 Точка движется по параболе с периодом 12 секунд, через 6 секунд она начинает обратное движение.)

Рисунок 3. Траектория движения точки

Скорость точки найдем через её проекции на координатные оси:



где Ʋ_х - проекция вектора скорости на ось х, а Ʋ_у - проекция вектора скорости на ось у.

Проекция вектора скорости на ось х равна первой производной по времени от уравнения движения для координаты х: Ʋ_х =

Ʋ_х = ^’ = -12 -

Найдем значение Ʋ_х при t=1;

Ʋ_х= - = -2 = -3,14

Проекция вектора скорости на ось у равна первой производной по времени от уравнения движения для координаты y: Ʋ_y = y^’

Ʋ_у = ^’ = - 4

Найдем значение Ʋ_у при t=1;

Ʋ_у = -4 = - = -3,6257

= = 4,7964

Ускорение точки найдем через её проекции на координатные оси:

где ɑ_х - проекция вектора скорости на ось х, а ɑ_у - проекция вектора скорости на ось у. ɑ

Проекция вектора ускорения на ось х равна первой производной по времени от проекции вектора скорости на ось х: ɑ_х = Ʋ_х^’

ɑ_х = - ^’ = -2

---

-

Найдем значение ɑ_х при t=1;

ɑ(1)_х = - = - = -2, 8461 см/с²

Проекция вектора ускорения на ось у равна первой производной по времени от проекции вектора скорости на ось у: ɑ_у = Ʋ_у^’

ɑ_у = ^’ = - 4 = - 4

Найдем значение ɑ_у при t=1;

ɑ_у = -4 = - = -2,1910 см/с²

= = 3,5917см/с²

Касательное ускорение определяем по формуле:

.

Для момента времени t=1 получаем

= = 3,5194см/с².

Нормальное ускорение определяем по формуле:

. Для момента времени t=1 получаем

=

= = 0,6189 cм/с².

По полученным данным изобразим α_х и α_у - составляющие вектора ускорения и α - вектор полного ускорения точки А.

Вектор нормального ускорения всегда направлен перпендикулярно траектории в сторону её вогнутости (к центру окружности проходящей через точку А). Вектор касательного ускорения всегда располагается по касательной к траектории в ту сторону, чтобы выполнялось уравнение ᾱ = ᾱ_n + ᾱ_τ В нашем случае направление вектора ᾱ _τ совпадает с направлением вектора Ʋ, следовательно, точка А движется ускоренно.

---

Рисунок 4. Траектория движения и кинематические параметры точки

Радиус кривизны траектории определяем по формуле .

Для момента времени t=1с получаем: = 37,17см.

Изображаем радиус кривизны траектории как радиус окружности, которая проходит через точку А, а центр окружности находится на нормали к траектории. (Радиус окружности проведенный к точке А и вектор нормального ускорения в точке А совпадают)

Ответ: Ʋ = ; α = 3,5917см/с²; см/с²;

см/с²; 37,17см.

---

Смотрите также файлы

• Лабораторная работа 36 Определение степени поляризации частично поляризованного света Преподаватель Нижний Новгород 2023.doc

• Made in gym флотилия.doc

• Иот ржд4100612цди0562015 Общие требования охраны труда.docx

• Основы экономики.pdf

• 3. Воспитывать у детей любознательность к окружающей природе.docx