Файл: Лекция Эквивалентные воздействия.pdf

Лекция 4. Эквивалентные воздействия
Эквивалентными воздействиями в теоретической механике называют воздействия, которые при замене одной системы воздействий на другую не изменяют движения (в частности, состояния покоя) тела.
Если рассматривается твердое тело, то есть тело, находящееся в покое или совершающее жесткое движение, то, как следует из законов механики, необходимыми условиями эквивалентности являются равенства главных векторов и главных моментов воздействий.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в учебных задачах статики случаи равномерно и линейно-распределенной нагрузки.
В случае равномерно - распределенной нагрузки ее линейная плотность (сила на единицу длины) ????????(????????) = ????????
0
, для линейно-распределенной ????????(????????) = ????????
????????
????????
????????
Найдем главные векторы и проекции на ось Z главных моментов относительно, например, точки А.
Имеем
????????
1
= ∫ ????????
0
???????????????? = ????????
0
????????, ????????
????????????????
1
= ∫
????????(????????
0
????????????????)
= ????????
????????
????????
2 2
????????
0
????????
0
≡ ????????
1
∙
????????
2
;
????????
2
= ∫ ????????
0
????????
????????
???????????????? =
????????
0
????????
2
, ????????
????????????????
2
= ∫ ???????? �????????
0
????????
????????
????????????????� = ????????
????????
????????
2 3
????????
0
????????
0
≡ ????????
2
∙
2 3
????????.
Полученные формулы показывают, что для быстрого составления уравнений равновесия удобно заменить распределенные нагрузки сосредоточенными силами ????????
1
и ????????
2
. Собственно говоря, применение эквивалентности на этом и заканчивается.
Замечание 1.
В учебных задачах на равновесие систем тел необходимым элементом является определение реакций в соединениях этих тел, например, в шарнирах.
A y
Z
z
????????
1
X
???????? 2
⁄
X
y
A
Z
????????
2 2
3
????????

Для получения правильного результата следует заменить распределенную нагрузку на участках по разные стороны от шарнира сосредоточенными силами ????????
1
и ????????
2
,
но не на одну силу ???????? (см. рис.).
Замечание 2.
Попытки придать понятию «эквивалентность» некий универсальный смысл, распространив его и на произвольную систему материальных точек и тем самым на деформируемое тело вообще лишены смысла, поскольку в этом случае понятие эквивалентности сводится лишь к замене одной силы в точке на сумму сил в этой же самой точке.
Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести.
Воздействия (силы и моменты) характеризуются главным вектором сил ???????? =
???????????????? и главным моментом ????????
????????
относительно произвольной опорной точки.
Запишем формулу, связывающую моменты относительно двух точек – опорной точки ???????? и так называемой точки приведения ????????:
????????
????????
= ????????
р
+ ???????????????? × ????????. (4.1)
Если есть такая точка приведения ????????, относительно которой главный момент
????????
р равен нулю, то говорят, что система приводится к равнодействующей,
приложенной в точке приведения. Из формулы(4.1) ????????
????????
= 0 + ???????????????? × ????????
следует,что приведение к равнодействующей возможно, только если главный
????????
1
????????
2
????????
A
????????
????????
???????? = ????????????????
???????? × ????????
????????
????????
2
⦁ P

момент ????????
????????
и главный век тор ???????? перпендикулярны. При этом множество точек приведения к равнодействующей находятся на прямой
???????????????? =
????????× ????????
????????
????????
2
+ ???????????????? , (4.2) где ???????? − произвольный параметр.
Рассмотрим систему параллельных сил { ????????
????????
= ????????�
????????
????????}, где ????????�
????????
− проекция ????????
????????
на направление, задаваемое вектором ???????? . Главный вектор ???????? = �∑ ????????�
????????
�???????? ≡ ????????� ???????? и главный момент
????????
????????
= ∑ ????????
????????
× �????????�
????????
????????� = (∑ ????????
????????
????????�
????????
) × ???????? перпендикулярны, поэтому система приводится к равнодействующей. Покажем, что в этом случае на прямой (4.2) существует такая точка приведения С, называемая центром параллельных сил, положение которой не изменяется при повороте всех сил на произвольный угол (точки приложения сил не изменяются).
Подставляя выражения ???????? и ????????
????????
в (4.2) и раскрывая двойное векторное произведение, получим
???????????????? =
????????� ????????×[(∑ ????????
????????
????????�
????????
)×????????]
????????�
2
+ ???????????????? =
1
????????�
∑ ????????
????????
????????�
????????
+ ???????? [???????? −
1
????????�
∑(????????
????????
∙ ????????
????????
)].
Чтобы это выражение не зависело от направления сил (вектора ????????), надо положить ???????? =
1
????????�
∑(????????
????????
∙ ????????
????????
) и тогда положение центра параллельных сил задается формулой
???????????????? ≡ ????????
????????
=
????????
????????�
∑ ????????
????????
????????�
????????
. (4.3)
Частный случай параллельных сил – силы тяжести, действующие на точки тела. Если тело небольшого размера, то можно пренебречь различием в направлении сил (к центру Земли) и различиями в величине сил ввиду разного расстояния до центра
Земли. Тогда центр тяжести совпадает с центром масс
????????
????????
=
∑(????????
????????
????????) ????????
????????
(????????????????)
=
∑ ????????
????????
????????
????????
????????
Оценим различие в положениях центра масс и центра тяжести «высокого» тела.
Пример. Центр тяжести небоскреба.
Обозначим ???????? =
????????
ℎ
−линейная плотность массы. Сила тяжести, действующая на элемент массы ???????????????? = ???????????????????????? равна ???????????????? =
????????????????????????????????????????
(????????+????????)
2
= ????????????????
????????????????
(1+
????????
ℎ
)
2
, где ???????? =
????????????????
????????
2
−ускорение на поверхности Земли. dz
R z

Суммарная сила тяжести
???????? = ???????????????? ∫
????????????????
(1+
????????
ℎ
)
2
ℎ
0
=
????????????????ℎ
(1+
ℎ
????????
)
Координата центра тяжести
????????
Т
=
1
????????
∫ ???????????????????????? =
(1+
ℎ
????????
)
ℎ
∙ ∫
???????? ????????????????
(1+
????????
ℎ
)
2
ℎ
0
=
(1+
ℎ
????????
)
ℎ
????????
2
[ln �1 +
ℎ
????????
� −
ℎ
????????
∙
1
�1+
ℎ
????????
�
].
Заменяя ln �1 +
ℎ
????????
� ≈
ℎ
????????
−
1 2
(
ℎ
????????
)
2
, получим ????????
Т
=
ℎ
2
−
ℎ
2 2????????
Для высоты ℎ =
0.5 км получим, что центр тяжести ниже центра масс на
0,25 2∙6370
км ≈ 2 см.