Файл: 1. Числовые множества.pdf

1
1. Числовые множества
Определим множества натуральных чисел
:
{ } целых чисел
:
{ } рациональных чисел
:
{
}
Возможно также представление рациональных чисел в виде десятичных дро- бей, конечных или бесконечных периодических. Арифметические операции с рациональными числами и их свойства предполагаются известными из школьного курса математики. Заметим, что
Наша задача – ввести множество действительных чисел
. Наиболее экономным по времени является аксиоматический подход. При формулиров- ке аксиом для сокращения записи удобно использовать специальные матема- тические символы – кванторы: квантор общности
: «для любого элемента», квантор существования
: «существует элемент».
Обозначения для кванторов представляют собой перевёрнутые первые буквы слов All и Exist.
Существуют и другие способы задания действительных чисел: с помо- щью сечений Дедекинда, с помощью бесконечных десятичных дробей, с по- мощью пополнения множества рациональных чисел.
1.1 Система аксиом для действительных чисел
Определим множество действительных чисел как множество, для любых двух элементов которого заданы операции сложения и умножения
, удовлетворяющие пяти группам аксиом.

2
I. Аксиомы сложения
1)
(коммутативность сложения);
2)
( ) ( ) (ассоциативность сложения);
3)
(существование нуля);
4)
( ) ( ) (существование обратного относитель- но сложения элемента).
II. Аксиомы умножения
1)
(коммутативность умножения);
2)
( ) ( ) (ассоциативность умножения);
3)
(существование единицы);
4)
(
) (
) (существование обратного относи- тельно умножения элемента).
Операции вычитания и деления вводятся следующим образом:
( )
(
)
Свойства этих операций будут уже не аксиомами, а требующими доказатель- ства теоремами.
III. Аксиома дистрибутивности
1)
( )
Благодаря данной аксиоме можно при перемножении скобок каждый элемент умножать на каждый и выносить общий множитель.
IV. Аксиомы порядка
Для любых двух чисел выполнено одно из трёх условий:
, или . При этом
1) Если
, , то (транзитивность отношения порядка);
2)
(прибавление к обеим частям неравенства произвольного числа);
3)
(умножение обеих частей неравенства на положительное число с сохранением знаки неравенства).

3
Аксиомы 2,3 из данного блока представляют собой, по сути дела, пра- вила работы с неравенствами. При умножении на отрицательное число нера- венство меняет знак.
V. Аксиома непрерывности
1) Пусть множества
, причём . Тогда
.
Говорят, что число
разделяет множества .
Замечание. Для множества рациональных чисел аксиома непрерыв- ности не верна, первые же четыре группы аксиом выполнены. Рассмотрим пример. Пусть
{
}
{
}
Разделяет множества число √ , но √ . Действительные числа, не являющиеся рациональными, образуют множество иррациональных чисел, которое может быть записано с помощью операции разности множеств
1.2 Числовая ось
Числовая ось – это прямая, на которой заданы начало, направление и масштаб (единичный отрезок). Каждой точке на оси соответствует действи- тельное число (координата точки), каждому действительному числу соот- ветствует точка на оси.
Определяется координата точки следующим образом: длина , если движение от к осуществляется по направлению оси; длина
, если движение от к осуществляется против направления оси.
Важную роль в математическом анализе играет понятие модуля числа
| | {
График
| | имеет следующий вид
0 1
M
????

4
Заметим, что |
| | | – это расстояние между точками , на оси:
Рассмотрим пример двойного неравенства с модулем
| |
Поскольку |
| | ( )|, то геометрически данное неравенство озна- чает, что расстояние от точки до точки больше , но не превосходит :
Это позволяет сразу выписать ответ:
) ( .
При работе с неравенствами, включающими модуль, удобно использо- вать следующие заготовки:
| | {
| | [
| | | |
( )( )
Рассмотрим чуть более сложный пример.
|
| |
|
|
Поскольку область допустимых значений неравенства (о. д. з.) представляет множество точек
, то |
| и неравенство сохраняет знак
|
| |
| (
)
(
)
Согласно третьей заготовке, получим эквивалентное неравенство
(
) (
)
????
????
0
????
????
????
-5 1
????
-2
-9 5

5 или, после приведения подобных слагаемых,
( )(
) (
) (
)
Осталось применить стандартный метод интервалов и выколоть, при необхо- димости, точки
:
Ответ: [
] [
)
Если неравенство содержит несколько модулей, то вся числовая ось разбивается на интервалы точками, в которых один из модулей обращается в ноль, и каждый интервал рассматривается отдельно.
1.3 Комплексные числа
Построение теории комплексных чисел начинается с введения мнимой
единицы
, удовлетворяющей равенству
. Поскольку то
. Определим комплексное число следующим образом:
Соответственно,
– это действительная часть , – мнимая часть
. Множество комплексных чисел будем обозначать символом .
Введём операции сложения, вычитания и умножения комплексных чи- сел следующим образом:
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
При раскрытии скобок в операции умножения мы фактически используем свойство дистрибутивности, перемножая каждый сомножитель с каждым.
В учебниках по линейной алгебре комплексные числа вводятся как пары дей-
????
0
-2 2

6 ствительных чисел
( ) , для которых операции сложения и умножения задаются следующим образом:
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
Действительные числа – это множество чисел вида (
), мнимая единица – это (
), поскольку
( ) ( ) ( )
Заметим, что
,
. В общем случае, т. е. любая натуральная степень принимает одно из четырёх значений:
. Например,
. Выпишем несколько формул сокращённого умножения:
( )
( )
(
)
( ) ( )
Последнее равенство можно записать в следующем виде:
| |
где
( ) – комплексное сопряжение к ( ), | | √
–
модуль комплексного числа. С помощью операции комплексного сопряжения определяется деление комплексных чисел (знаменатель предполагается от- личным от нуля):
(
)(
)
Два комплексных числа равны, если у них равны действительные и мнимые части, т. е.
Рассмотрим примеры умножения комплексных чисел, деления, извлечения корня квадратного, решения квадратных уравнений.

7
) ( )( )
)
( )( )
( )( )
) ( )
4) Извлечь корень квадратный из комплексного числа
. Пусть
√ . Тогда
( )
Из равенства двух комплексных чисел получим систему двух уравнений от- носительно двух действительных переменных
:
{
Сделаем замену переменной
Следовательно,
Ответ:
√ ( ).
5) Найти
√ . Пусть √ . Тогда
( )
{
√
√
√
√
( )
6) Для получения квадратных уравнений с «круглыми» ответами вос- пользуемся обратной теоремой Виета. Пусть, например,
– корни уравнения
. Тогда
( ) ( )

8
Получим квадратное уравнение
( )
( )
( )
( )
{
( )
Теперь можно выписать решения:
Перейдём к системам двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим вначале случай действительных коэффициентов. Исключим пе- ременную
:
{
|
Аналогично, исключим теперь переменную
:
{
|
Ответ:
, .
В общем случае схема решения такая же:
{
|
|
{

9
Для компактной записи решения удобно использовать понятие определителя
2 порядка:
|
|
Запись решения с помощью определителей называется правилом Крамера.
{
|
|
|
| |
|
Аналогичные формулы справедливы и для систем более высокого порядка, они изучаются в курсе линейной алгебры.
Перейдём к системе с комплексными коэффициентами:
{
( )
( )
( )
|
| ( )( ) ( )( )
|
| ( )( ) ( )( )
( )
Ответ:
,
Важную роль и математике и её физических приложениях играет гео- метрическая интерпретация комплексных чисел. Пусть
. Данному комплексному числу поставим в соответствие точку на плоскости с коорди- натами (
). Модуль разности
|
| √(
)
(
)
задаёт расстояние между точками и

10
Перейдём от декартовых координат точки (
) к полярным координа- там (
)
{
Здесь
√
, причём
(или
). Соответственно, получим тригонометрическую форму комплексного числа
( ) где
– модуль, – аргумент комплексного числа. Выражение называется алгебраической формой. Для модуль , в качестве ар- гумента можно выбрать любой угол, т.е. аргумент определён неоднозначно.
С помощью тригонометрической формы удобно выполнять умножение и деление комплексных чисел:
(
)
(
)
(
(
))
( (
) (
))
Таким образом,
( (
) (
))
( (
) (
))
(в формуле для деления используется тот факт, что у комплексно сопряжён- ного аргумент берётся с противоположным знаком). Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются, при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
????
???? ????
????
????
????
????

11
Из формулы для умножения непосредственно следует формула Муавра
( )
Справедлива также формула Эйлера доказательство которой будет дано при изучении степенных рядов.
В частности, из формулы Эйлера следуют равенства:
Поскольку то для и справедливы формулы, которые также называют форму- лами Эйлера
Покажем, как осуществлять для комплексных чисел извлечение корней степени
. Для этого надо решить уравнение
, где комплексное число задано, а надо найти. Пусть
( ) ( )
Применим формулу Муавра
( )
( )
Следовательно,
, т.е.
√
Таким образом, получили формулу
√
√
(
)
При корни начинают повторяться. Значит, из любого ненулевого ком- плексного числа можно извлечь ровно различных корней степени .
Пример. Извлечём корень третьей степени из
√

12
√
√
1.4 Бином Ньютона. Метод математической индукции
Бином Ньютона представляет собой формулу сокращённого умноже- ния для выражения (
)
в случае произвольного
. Частные случаи данной формулы известны из школьной программы:
( )
( )
Выведем формулу для (
)
:
( )
( ) ( )
( ) (
)
После приведения подобных слагаемых получим равенство
( )
Для разности формула получается следующим образом:
( )
( ( ))
( )
( )
( )
( )
Соответственно, (
)
( ) ( )
и так далее.
Коэффициенты разложения (
)
– биномиальные коэффициенты – при не очень больших могут быть посчитаны с помощью так называемого треугольника Паскаля:
1 1
1 1
2 1
1 3
3 1
1 4
6 4
1 1
5 10 10 5
1 1
6 15 20 15 6
1

13
По бокам в треугольнике пишутся единицы. Числа в двух соседних строках пишутся со сдвигом на полшага. Каждое число внутри треугольника равно сумме двух верхних чисел. В качестве примера выпишем (
)
:
( )
Далее формула бинома Ньютона будет доказана с помощью метода ма- тематической индукции. Опишем кратко этот метод. Пусть
( ) – это логи- ческое утверждение, принимающее одно из двух значений, истина или ложь.
Если
( ) верно, а из истинности ( ) следует истинность ( ) (краткая запись
( ) ( )), то утверждение ( ) верно для любого .
Нам понадобится факториал
( ) представляющий собой произведение всех натуральных чисел от 1 до
. Бу- дем использовать соглашение, что
. Для факториала справедливо ре- куррентное соотношение
( ) ( )
Обозначим через число сочетаний из по – количество способов выбрать элементов из . Это и будут биномиальные коэффициенты.
Например,
,
(для примера перечислим все комбинации по два элемента из четырёх 1, 2, 3, 4: 1–2, 1–3, 1–4, 2–3, 2–4, 3–4). В общем случае справедлива формула
( )
Для числа сочетаний также используется следующее обозначение:
(
)
Заметим, что
При вычислениях вручную удобнее использовать следующую формулу, по- лучающуюся после сокращения на ( )

14
( ) ( )
Например,
Решим следующую задачу: найти вероятность угадать 6 номеров из 45.
Считая все комбинации номеров равновероятными, получим формулу
Следовательно, искомая вероятность
Перейдём к доказательству формулы для бинома Ньютона. Вначале до- кажем вспомогательное утверждение. Для таких утверждений в математике используется специальный термин – лемма.
Лемма. Справедлива формула
Доказательство.
( )
( ) ( )
( )
( ) (( ) ( ))
Что требовалось доказать.
Заметим, что данная лемма представляет собой обоснование правила, по которому получается треугольник Паскаля: каждое нижнее число является суммой двух верхних.
Введём значки суммы и произведения, чтобы иметь возможность запи- сывать формулы в более компактном виде:
45 6
=
15 7 45 44 43 42 41 40 1 2 3 4 5 6
= 15 44 43 7 41 = 8145060.
+
+1
=
!
+1
! ( )!
+
!
( + 1)! ( 1)!
=

15
∑
∏
Теорема. Справедлива формула бинома Ньютона
( )
∑
Доказательство. Для формула верна, т. к.
( )
Предположим, формула верна для
, докажем её для .
( )
( )
( )
(
)( )
Сгруппируем слагаемые при
,
, и т.д. С учётом равенств получим требуемое утверждение
( )
( )
( )
∑
Теорема доказана.
Рассмотрим несколько примеров.
) ( )
(( ) )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )

16 2) В выражении
(√
√
)
найти слагаемое с
По формуле бинома Ньютона
(
)
∑
( )
( )
Найдём
, при котором степень равна :
( )
|
( )
Соответствующее слагаемое с равно
3) Доказать неравенство Бернулли:
( )
Доказательство. Применим метод математической индукции. В случае
– утверждение верно. Предположим, что неравенство выполнено при
. Надо доказать, что оно верно при :
( )
( )
Согласно условию,
. Следовательно,
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
Что требовалось доказать.
1.5 Супремум и инфимум множеств
Определение 1. Непустое множество называется ограниченным свер-
ху, если
Множество называется ограниченным снизу, если
13 4
( 2)
4 2
=
5 13 12 11 10 1 2 3 4 16 2
= 143 80 2
= 11440 2

17
Множество называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и сни- зу. Числа и называются, соответственно, верхней и нижней границами множества.
Определим также, что такое неограниченное множество.
Определение 2. Непустое множество называется неограниченным
сверху, если
Множество называется неограниченным снизу, если
Множество называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или снизу.
Заметим, что мы здесь видим правило построения отрицаний логиче- ских утверждений, сформулированных с помощью кванторов: надо поменять квантор существования на квантор общности, квантор общности – на квантор существования, а заключительное утверждение заменить его отрицанием, например, знак неравенства на знак , знак принадлежности на знак .
Рассмотрим примеры.
1) Множество ограничено. В качестве нижней границы мож- но взять любое число
, в качестве верхней границы – любое число
. То же самое относится к множеству ( ).
2) Множество
) ограничено снизу и не ограничено сверху.
3) Множество простых чисел не ограничено сверху. Другими словами, простых чисел бесконечно много. Приведём доказательство этого утвержде- ния, известное со времён Евклида.
Предположим противное, что простых чисел конечное число. Обозна- чим их
. Возьмём число
. Это число не де- лится ни на одно из чисел
. Следовательно, оно также простое.
Получили противоречие.