Файл: 1. Числовые множества.pdf

18
В дальнейшем будем, для сокращения записи, использовать следующие обозначения: – «предположим противное»,
(?!)
– «получили противоре- чие».
Рассмотрим непустое ограниченное сверху множество. Для наимень- шей из верхних границ множества вводится специальный термин: супремум.
Аналогично, для наибольшей из нижних границ непустого ограниченного снизу множества вводится термин: инфимум. Дадим определение этих поня- тий на языке кванторов.
Определение 3. Пусть
– непустое ограниченное сверху множество.
Число называется точной верхней границей , , если
1)
2)
Пусть
– непустое ограниченное снизу множество. Число называется точ- ной нижней границей
, , если
1)
2)
Если множество не ограничено сверху, то полагают
. Если множество не ограничено снизу, то полагают
. Для пустого мно- жества используется следующее соглашение:
Теорема 1. У любого непустого ограниченного сверху множества су- ществует супремум, причём ровно один. У любого непустого ограниченного снизу множества существует инфимум, причём ровно один.
Доказательство (для случая супремума). Пусть множество огра- ничено сверху. Введём множество верхних границ для этого множества
{ }
Это множество непустое, поскольку ограничено сверху. Согласно аксиоме непрерывности
.

19
Следовательно,
. Покажем, что . Первый пункт определения выполнен, поскольку является верхней границей . Осталось доказать, что
, т.е. .
(?!)
Докажем единственность супремума.
. Пусть, для определённости,
. Выберем . По определению супре- мума
Далее,
(?!)
Теорема доказана.
Замечание. Для случая инфимума доказательство полностью аналогич- но, оставляем его в качестве упражнения.
Определение 4. Отрезки
, образуют систему вложенных отрезков, если
Если зафиксировать
, то получим цепочку вложенных неравенств
Теорема 2 (принцип вложенных отрезков). Система вложенных отрез- ков имеет хотя бы одну общую точку. Если
, то такая точка единственная.
Доказательство. Введём множества
{
} {
}
Покажем, что для любых
. Пусть, например, . Тогда
Следовательно, для множеств и справедлива аксиома непрерывности:
.
Мы нашли общую точку, принадлежащую всем отрезкам. Покажем, что такая точка единственна в случае, когда

20
Пусть
. Выберем . Поскольку
, то
(?!)
Что требовалось доказать.
1.6 Счётные и несчётные множества
Для сравнения двух множеств по количеству элементов вводится поня- тие мощности множеств. Если множество содержит конечное число эле- ментов, то его мощностью называется количество элементов. В случае бес- конечных множеств, например
, требуется другой подход.
Определение 1. Говорят, что между множествами и установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу соответствует ровно один элемент
, а каждому элементу – ровно один элемент .
Установление взаимно-однозначного соответствия равносильно зада- нию отображения
(действующего из множества в множество ), удовлетворяющего следующим условиям:
1)
( );
2) Если
(
) (
), то
Определение 2. Множества называются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
Определение 3. Множество, равномощное с
, называется счётным.
Другими словами, элементы счётного множества можно перенумеро- вать натуральными индексами.
Множество натуральных чисел имеет наименьшую мощность среди бесконечных множеств, поскольку любое бесконечное множество содержит подмножество, равномощное
. Перейдём к рассмотрению примеров.
1)
– счётное множество. Для доказательства укажем способ установ- ления взаимно-однозначного соответствия между и
:
0 1
2 3
…
:
1 2
3 4
5 6
7
…

21
Заметим, что
, а мощности этих множеств одинаковы. В теории множеств используется следующая терминология: является собственным
подмножеством
(первое множество принадлежит второму, но не совпада- ет с ним).
2)
– счётное множество. Напомним, что множества рациональных чисел задаётся следующим образом:
{
}
Приведём один из возможных способов установления взаимно-однозначного соответствия между и . Запишем все рациональные числа в бесконечной таблице, номер столбца задаётся числителем дроби
, номер строки – зна- менателем
. Будем нумеровать рациональные числа, двигаясь по таблице
«змейкой», начиная с нулевого элемента. Номер элемента указывается в таб- лице рядом с дробью, в скобках. При этом одинаковые, но по-разному запи- санные, числа будем пропускать, например, из чисел нумеруем только одно. Данное обстоятельство служит причиной того, что нет явной формулы для нумерации рациональных чисел.
…
1 2
3
…
1 …
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
…
2 …
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
…
3 …
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
…
4 …
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
…
5 …
…
…
…
…
…
…
…
…
3)
– не является счётным множеством. Это утверждение мы оставля- ем без доказательства. Для мощности множества действительных чисел ис-

22 пользуется термин континуум. Множество комплексных чисел, множества точек на плоскости и в пространстве также имеют мощность континуум. Су- ществуют множества и большей мощности, но их рассмотрение выходит за рамки математического анализа.