Файл: Б. Паскаль П. Ферма Х. Гюйгенс Основатели теории вероятностей.pptx

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.04.2024

Просмотров: 13

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».

Дж. Сильвестр

Б. Паскаль

П.Ферма

Х. Гюйгенс

Основатели теории вероятностей

Я. Бернулли

С. Н. Бернштейн

А. Н. Колмогоров

Отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу случаев называют вероятностью события.

P(A)=m/n,

где n-число всех исходов,

а m – число исходов, благоприятствующих событию А.

Вероятность

Решите задачи (устно):
  • В урне 25 шаров, 13 из которых – белые. Какова вероятность, что случайно взятый из урны шар будет белым?
  • В фирме «Такси» в данный момент свободны 2 черных, 5 белых и 7 желтых машины. Найдите вероятность, что к заказчику приедет белое такси.
  • На экзамене по биологии всего 30 билетов, в 18 из них встречается вопрос о клетке. Найдите вероятность того, что наугад выбранный билет содержит вопрос о клетке.

Достоверное событие

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате данного опыта.
  • Например, закат солнца

Например,

свободный полет человека в условиях земли

Невозможное событие

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет в результате данного опыта.

Например, попадание молнии в дерево

Случайным называют событие, которое при осуществлении данного опыта

может либо произойти, либо не произойти.

Случайное событие

Откуда пришло название «Блиц-турнир»
  • Греческий 1/11
  • Латинский 2/9
  • Английский 1/9
  • Немецкий 1/10
  • Французский 2/10
  • Для ответа на этот вопрос решите задачу и по таблице определите: Катя забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Катя попала к своей знакомой?

Что означает «Блиц-турнир» в переводе

М 1.Найдите вероятность того, что при одном бросании монеты выпала решка.

Л 2.Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпало число очков равное 6.

И 3. Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпало число очков, меньшее 5.


О 4. Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпало число очков большее 4.

Н 5. Какова вероятность того, что при подбрасывании двух монет, выпадут две решки?

Я 6. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпало число очков меньшее 6.

1/2

1/3

1/6

1/4

2/3

5/6

несовместные

I группа « Несовместные события».

События A и B называются несовместными, если в результате испытания они никогда не могут наступить вместе.

Теорема сложения. Вероятность (P) суммы двух несовместных случайных событий A и B равна сумме их вероятностей:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Задача №2

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение

Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A -батарейка действительно неисправна и забракована справедливо или В - батарейка исправна, но по ошибке забракована. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей эти событий. Имеем: 

Ответ: 0,0296.

 

совместные

II группа «Совместные события»

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же опыте.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

P (A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)



Задача №1

 В торговом центре два разных автомата продают кофе. Вероятность того, к концу дня закончится кофе в первом автомате, равна 0,32, что закончится кофе во втором автомате – 0,24. Вероятность того, что закончится кофе в обоих автоматах, равна 0,133. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. 


Решение: 

Обозначим через событие A - кофе закончится в первом автомате, а через B - кофе закончится во втором автомате.

Эти события не являются независимыми по условию, так как вероятность их произведения не равна произведению вероятностей.

События совместные, тогда вероятность суммы двух событий A и B равна P (A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.32+0.24−0.133=0.427.

P (A+B) = P(A)+P(B)−P(AB)=0.32+0.24−0.133=0.427. 

Искомая вероятность равна 1−0.427=0.573.

Ответ 0.573.

Задача №2

 Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение: 

Вероятность успешно сдать экзамены на лингвистику - P1=0.6∙0.8∙0.7=0.336. Вероятность успешно сдать экзамены на коммерцию -P2=0.6∙0.8∙0.5=0.24. Вероятность успешно сдать экзамены на обе специальности - P3=0.6∙0.7∙0.8∙0.5=0.168. Успешная сдача на одну и на вторую специальность - события совместные.

Тогда вероятность их суммы определяется суммой вероятности

каждого минус вероятность их произведения.  P=P1+P2−P3=0.408.

Ответ 0.408.

Задача №3

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.

Решение.

Рассмотрим события A - «в автобусе меньше 10 пассажиров» и В -«в автобусе от 10 до 17 пассажиров». Их сумма — событие A + B - «в автобусе меньше 18 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

 

P(A + B) = P(A) + P(B).

 

0,82 = 0,51 + P(В), P(В) = 0,82 − 0,51 = 0,31.

 

Ответ: 0,31.

Задача №1

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение

Пусть A - «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В - «чайник прослужит больше двух лет», С - «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С - «чайник прослужит больше года».


События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года - строго в тот же день, час и секунду - равна нулю. Тогда:

 P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),

0,93 = P(A) + 0,87. 

P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.

 

Ответ: 0,06.

Задача №3

На экзамен пришли 2 студента. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, составляет 0,9. Вероятность того, что второй студент сдаст экзамен — 0,8. Какова вероятность того, что хотя бы один из них экзамен сдаст?

Решение.

Пусть событие A заключается в том, что первый студент сдаст экзамен, а событие B — второй студент сдаст экзамен. В задаче требуется найти вероятность суммы событий A + B, причем эти события совместны, так как возможна ситуация, когда оба студента сдадут экзамен. Используя формулу для вероятности суммы совместных событий и предполагая независимость этих событий (что вполне естественно), имеем:.



Ответ: 0,98.

III группа «Независимые события»

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Теорема. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

.

Задача №1

Вероятность того, что Катя решит задачу, равна 0,8; а вероятность того, что её решит Антон – 0,7. Найти вероятность того, что задачу решат оба ученика.

Решение

 

Обозначим события – Катя решит задачу; B – Антон решит задачу. По условию вероятности этих событий соответственно равны P(A) = 0,8  и P(B) = 0,7 . События A и B – независимы. Тогда, по следствию из теоремы умножения, вероятность того, что задачу решат оба ученика, равна:

  P(AB)=P(A)P(B)

  Ответ:  0,56.

.

Задача №2

Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (вероятность безотказной работы) первого узла равна   ; второго  ; третьего    . Найти надежность прибора в целом.

Решение. Обозначая: A – Безотказная работа приборов, A1 - безотказная работа первого узла, A2 - безотказная работа второго узла, A3 - безотказная работа третьего узла, имеем:

откуда по теореме умножения для независимых событий .


Ответ: 0,504

.

Задача №3

В первой урне находятся 7 белых и 4 черных шара, во второй — 6 белых и 3 черных шара. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

 

Решение.

  Пусть событие A — «из первой урны извлечен белый шар», событие В — «из второй урны извлечен белый шар», тогда событие  АВ — «оба  шара белые».   Вероятности  этих  событий:

  ,

 

События A и B независимы, применив теорему умножения, получим 

 

Ответ:

IV группа «Зависимые события»

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность появления события A зависит от того, произошло или не произошло событие B.

Вероятность появления события  A  при условии, что событие B произошло, называется условной вероятностью события  A  и вычисляется по формуле:

Задача №1

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение.

Для погоды на 4, 5 и 6 июля есть 4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х - хорошая, О - отличная погода). Найдем вероятности наступления такой погоды: 

P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128;

P(XOO) = 0,8·0,2·0,8 = 0,128;

P(OXO) = 0,2·0,2·0,2 = 0,008;

P(OOO) = 0,2·0,8·0,8 = 0,128. 

Указанные события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ООО) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

Ответ: 0,392.

Задача №2

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.