Файл: Задача данной статьи заключается в ознакомлении читателя с базовыми понятиями теории игр. Из статьи читатель узнает, что из себя представляет теория игр, рассмотрит краткую историю теории игр,.pdf

1
Использование теории игр в
практике принятия управленческих решений
Струков
А
В
Санкт
-
Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий
, механики и
оптики
Санкт
-
Петербург
,
Россия
Using game theory in the practice of management decision making
Strukov A.V.
Saint-Petersburg National research University of Information Technologies, Mechanics and Optics
Saint-Petersburg, Russia
Предисловие
Задача данной статьи заключается в ознакомлении читателя с базовыми понятиями теории игр. Из статьи читатель узнает, что из себя представляет теория игр, рассмотрит краткую историю теории игр, познакомится с основными положениями теории игр, включая основные типы игр и формы их представления. В статье будет затронута классическая задача и фундаментальная проблема теории игр. Заключительный раздел статьи посвящен рассмотрению проблем применения теории игр для принятии управленческих решений и практического применения теории игр в управлении.

2
Введение.
21 век. Век информации, бурно развивающихся информационных технологий, инноваций и технологических новшеств. Но почему именно век информации? Почему информация играет ключевую роль практически во всех процессах, происходящих в обществе? Все очень просто. Информация даёт нам бесценное время, а в некоторых случаях даже возможность его опередить. Ведь ни для кого не секрет, что в жизни часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределённости, в условиях отсутствия информации об ответных реакциях на твои действия т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнёра. Такие ситуации возникают каждый день. Например, при игре в шахматы, шашки, домино и так далее.
Несмотря на то, что игры носят в основном развлекательный характер, по природе своей они относятся к конфликтным ситуациям, в которых конфликт уже заложен в цели игры – выигрыш одного из партнёров. При этом, результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют разнообразный характер, а количество их настолько велико, что невозможно подсчитать все конфликтные ситуации, возникающие на рынке хотя бы за один день. К конфликтным ситуациям в экономике относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех вышеперечисленных примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнёров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целями партнёра, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнёры будут принимать. Для грамотного решения задач в конфликтных ситуациях необходимы научно обоснованные методы. Такие методы разработаны математической теорией конфликтных ситуаций, которая носит название теории игр.

3
Чтотакоетеорияигр?
Теория игр представляет из себя сложное многоаспектное понятие, поэтому представляется невозможным привести толкование теории игр, используя лишь одно определение. Рассмотрим три подхода к определению теории игр.
1.Теория игр — математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их ресурсах и их возможных поступках.
2.Теория игр — это раздел прикладной математики, точнее — исследования операций.
Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках — социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с
1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение теория игр имеет для искусственного интеллекта и кибернетики.
3.Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации — конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр — метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов.

4
Историятеорииигр
Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в
XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и
Ж.Бертраном. В начале XX в. Э.Ласкер, Э.Цермело, Э.Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.
Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение».
Джон Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами — бакалавра и магистра — поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Нэш разработал принципы «управленческой динамики».
Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия.
Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Нэша сделали серьезный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Джон Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А.Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других. В 1949 году Джон Нэш пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике.
Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

5
В 1960 – 1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние
20 – 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.
Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т.Шеллинг рассматривает различные
«стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии и в управлении конфликтами в организации.

6
Основныеположениятеорииигр
Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте - игроками . Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить ее участников (игроков). Это условие легко выполнимо, когда речь идет об обычных играх типа шахмат и т.п. Иначе обстоит дело с “рыночными играми”. Здесь не всегда просто распознать всех игроков, т.е. действующих или потенциальных конкурентов. Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, надо обнаружить наиболее важных. Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личныйход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайныйход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). Действия могут быть связаны с ценами, объемами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т.д. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапамиигры. Выбранные на каждом этапе ходы в конечном счете определяют “платежи” (выигрыш или убыток) каждого игрока, которые могут выражаться в материальных ценностях или деньгах. Еще одним понятием данной теории является стратегия игрока.Стратегиейигрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определённую стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Иначе говоря, под стратегией понимаются возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определенного количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему “лучшим ответом” на действия других игроков. Относительно концепции стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков;
2) объём информации каждого игрока о поведении партнёров; 3) выигрыш, к которому

7 приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулём, выигрыш – единицей, а ничью - ½. Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т. е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить а – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -а, поэтому достаточно рассматривать, например а. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае. Для того чтобы решить игру, или найти решениеигры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальныйвыигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальныйпроигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре. Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а среднийвыигрыш (проигрыш) во всех партиях. Целью теорииигрявляется определениеоптимальной стратегиидлякаждогоигрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

8
Типыигр
Кооперативныеинекооперативные
Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, беря на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.
Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.
Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом.
Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр.
Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.
Симметричныеинесимметричные
Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков — симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя». В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так — ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А,
А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.
А
Б
А
1, 2 0, 0
Б
0, 0 1, 2
Несимметричнаяигра

9
Снулевойсуммойисненулевойсуммой
Игры с нулевой суммой — особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо — числа означают платежи игрокам — и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.
Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играхсненулевойсуммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме — это делается введением фиктивногоигрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.
Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. Сюда также относятся шашки и шахматы; в двух последних игрок может превратить свою рядовую фигуру в более сильную, получив преимущество. Во всех этих случаях сумма игры увеличивается. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.
Параллельныеипоследовательные
В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже несовсемполной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точноне выбрал пятую, ничего не узнав о других.
Различия в представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше.
Первые обычно представляют в нормальной форме, а вторые — в экстенсивной.
А
Б
А
−1, 1 3, −3
Б
0, 0
−2, 2
Играснулевойсуммой

10
Сполнойилинеполнойинформацией
Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр — с неполной информацией. Например, вся «соль» Дилеммызаключённого заключается в её неполноте.
Примеры игр с полной информацией: шахматы, шашки и другие.
Часто понятие полной информации путают с похожим — совершеннойинформации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.
Игрысбесконечнымчисломшагов
Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.
Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии.
Дискретныеинепрерывныеигры
Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т. п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно — шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе.
Дифференциальные игры находят своё применение в технике и технологиях, физике.