1. Иван составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Иван использует все пятибуквенные слова в алфавите {A, B, C, D, E}, удовлетворяющие такому условию: кодовое слово не может начинаться с буквы E и заканчиваться буквой A. Сколько различных кодовых слов может использовать Иван?

Решение. Подсчитаем число возможных кодовых слов: на первом месте может стоять любая из четырёх букв, на втором, третьем и четвёртом местах любая из пяти букв, на пятом  — любая из четырёх букв: 4 · 5 · 5 · 5 · 4 = 2000.

 

Ответ: 2000.

 

2. Все четырёхбуквенные слова, составленные из букв П, А, Р, У, С, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Начало списка выглядит так:

1.  АААА

2.  АААП

3.  АААР

4.  АААС

5.  АААУ

6.  ААПА

       …

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы У?

Решение. Заменим буквы на цифры следующим образом: А  — 0, П  — 1, Р  — 2, С  — 3, У  — 4. Получаем список:

1.  0000

2.  0001

3.  0002

4.  0003

5.  0004

6.  0010

...

Для нахождения первого слова, которое начинается с буквы У, нужно найти номер УААА, то есть 4000. Используется пятибуквенный алфавит, значит, нужно найти значение числа 4000₅ в десятичном виде. Им является число 500₁₀, но поскольку номер в списке на единицу больше самого числа, то остаётся добавить к получившемуся числу единицу. Получаем 501.

 

Ответ: 501.

 

3. Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 5. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно три раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Решение. Количество способов поставить три 1 на пять позиций  — 

После того, как определили позиции трёх 1, на оставшиеся две позиции можем поставить любое из четырёх чисел, это можно сделать   способами.

---

Итого всего   кодов.

 

4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

 

1.  ААААА

2.  ААААО

3.  ААААУ

4.  АААОА

……

 

Укажите номер первого слова, которое начинается с буквы О.

Решение. Из трёх букв можно составить 3⁵ = 243 пятибуквенных слова. Т. к. слова идут в алфавитном порядке, то первая треть (81 шт) начинаются с «А», вторая треть (тоже 81) – с «О», а последняя треть – с «У», то есть первая буква меняется через 81 слово. Т. е. со слова с номером 82 первой буквой будет О.

 

Ответ: 82.

 

5. Полина составляет 6-буквенные коды из букв П, О, Л, И, Н, А. Каждую букву нужно использовать ровно 1 раз, при этом нельзя ставить подряд две гласные или две согласные. Сколько различных кодов может составить Полина?

Решение. Заметим, что поскольку гласных и согласных поровну, слово может начинаться с как с согласной, так и с гласной. Также учтём то, что каждую букву нужно использовать только один раз.

Поставим на первое место любую из трёх согласных. На второе  — любую из трех гласных. На третье  — любую из двух оставшихся согласных. На четвертое  — любую из двух оставшихся гласных. На пятое  — одну оставшуюся согласную. На шестое  — одну оставшуюся гласную. По правилу произведения, соответствующие количества способов перемножаем. Учитывая, что на первое место можно поставить как согласную, так и гласную, Полина может составить 2 · 3 · 3 · 2 · 2 · 1 · 1  =  72 различных кода.

 

Ответ: 72.

 

6. Шифр кодового замка представляет собой последовательность из пяти символов, каждый из которых является цифрой от 1 до 4. Сколько различных вариантов шифра можно задать, если известно, что цифра 1 встречается ровно два раза, а каждая из других допустимых цифр может встречаться в шифре любое количество раз или не встречаться совсем?

Решение. Количество способов поставить две 1 на пять позиций  — 

После того, как определили позиции двух 1, на оставшиеся позиции можем поставить любое из трёх чисел, это можно сделать   способами.

Итого всего 

---

 кодов.

 

Ответ: 270.

 

7. Все 4-буквенные слова, составленные из букв В, И, Р, Т, записаны в алфавитном порядке.

 

Вот начало списка:

1.  ВВВВ

2.  ВВВИ

3.  ВВВР

4.  ВВВТ

5.  ВВИВ

……

Запишите слово, которое стоит на 249-м месте от начала списка.

Решение. Заменим буквы В, И, Р, Т на 0, 1, 2, 3 (для них порядок очевиден – по возрастанию).

 

Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры:

1.  0000

2.  0001

3.  0002

4.  0003

5.  0010

...

Полученная запись есть числа, записанные в четверичной системе счисления в порядке возрастания. Тогда на 249 месте будет стоять число 248 (т. к. первое число 0). Переведём число 248 в четверичную систему (деля и снося остаток справа налево):

 

248 / 4 = 62 (0)

62 / 4 = 15 (2)

15 / 4 = 3 (3)

3 / 4 = 0 (3)

 

В четверичной системе 248 запишется как 3320. Произведём обратную замену и получим ТТРВ.

 

Ответ: Т Т Р В.

8. Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, D, X, причём буква X может появиться на первом месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей?

Решение. На первом месте может быть 5 букв, на втором 4, на третьем 4, на четвёртом 4.

То есть всего различных комбинаций 

 

Ответ: 320.

 

9. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Н, П, записаны в алфавитном порядке.

Вот начало списка:

1.  ААААА

2.  ААААН

3.  ААААП

4.  АААНА

5.  АААНН

……

Запишите слово, которое стоит на 201-м месте от начала списка.

Решение. Заменим все буквы на цифры по правилу А=0, Н=1, П=2. Получим такой список:

1.  00000

2.  00001

3.  00002

...

Можно заметить, что теперь это ряд чисел, записанный в троичной системе счисления. Тогда на 201-м месте стоит число 200. Осталось только перевести его в троичную систему счисления, после чего записать с помощью букв в начальном алфавите.

200₁₀ = 21102₃

21102 = ПННАП

 

Ответ: П Н Н А П.

 

10. Алексей составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Алексей использует 5-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, X, причём буква X может появиться на первом месте или не появиться вовсе. Сколько различных кодовых слов может использовать Алексей?

---

Решение. На первой позиции в слове могут быть все четыре буквы А, В, С и Х, а со второй по пятую  — 3. Значит, всего можно составить 4 · 3 · 3 · 3 · 3 = 324 слова.

 

Ответ: 324.

 

11. Все 5-буквенные слова, составленные из букв Л, Н, Р, Т, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

 

1.  ЛЛЛЛЛ

2.  ЛЛЛЛН

3.  ЛЛЛЛР

4.  ЛЛЛЛТ

5.  ЛЛЛНЛ

 

Запишите слово, которое стоит на 150-м месте от начала списка.

Решение. Заменим буквы Л, Н, Р, Т на 0, 1, 2, 3 соответственно.

 

Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры:

 

1.  00000

2.  00001

3.  00002

4.  00003

5.  00010

...

Полученная запись есть числа, записанные в четверичной системе счисления в порядке возрастания. Тогда на 150-м месте будет стоять число 149 (т. к. первое число 0). Переведём число 149 в четверичную систему:

 

149 / 4 = 37 (1)

37 / 4 = 9 (1)

9 / 4 = 2 (1)

2 / 4 = 0 (2)

 

В четверичной системе 149 запишется как 2111. Поскольку слова 5-буквенные, добавим в начале числа незначащий нуль, получим 02111. Произведём обратную замену и получим ЛРННН.

 

Ответ: ЛРННН.

 

12. Ольга составляет таблицу кодовых слов для передачи сообщений, каждому сообщению соответствует своё кодовое слово. В качестве кодовых слов Ольга использует 4-буквенные слова, в которых есть только буквы A, B, C, D, E, X, причём буква X появляется ровно 1 раз и только на первом или последнем месте. Каждая из других допустимых букв может встречаться в кодовом слове любое количество раз или не встречаться совсем. Сколько различных кодовых слов может использовать Ольга?

Решение. Слова, используемые Ольгой имеют вид Х*** или ***Х, где на месте * может стоять любая из 5 букв, кроме буквы Х. На это есть 5³  =  125 вариантов в первом случае и столько же во втором. Всего 250 вариантов.

 

Ответ: 250.

 

---

Смотрите также файлы

• Жураев голибжон бешимович.doc

• ЮгоВосточный периклинальный сегмент складчатого сооружения Большого Кавказа.docx

• 1. Образование представляет собой сферу общественной жизни, где самым тесным образом переплетаются интересы государства и граждан.docx

• Оверченко Наталия Алексеевна москва 2023 задача.docx

• Политические и правовые учения эпохи европейского просвещения. ЖанЖак Руссо Об общественном договоре, или Принципы политического права.pdf