Контрольная работа № 9
Задание 1. Пользуясь определением сходимости числового ряда, исследовать на сходимость заданный ряд и в случае сходимости найти его сумму.


Решение:

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:



Откуда:



Находим n-ю частичную сумму:



Следовательно, согласно определениям сходимости ряда и его суммы, получаем:



Т.е. данный ряд сходится и его сумма равна:




Задание 2. Исследовать на сходимость знакопостоянные ряды

1.

Воспользуемся сходящимся рядом Дирихле . Так как:



Т.к. члены исследуемого ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, то согласно первому признаку сравнения, исследуемый ряд также сходится.
2.

Воспользуемся сходящимся рядом Дирихле . Так как:



Т.к. указанный предел имеет конечное значение, то согласно второму признаку сравнения оба ведут себя одинаково. Т.е. исследуемый ряд также сходится.
3.

Воспользуемся признаком Даламбера:



Т.к. указанный предел меньше 1, то, согласно признаку Даламбера, ряд сходится.

4.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:



Т.к. указанный предел меньше 1, то, согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится.
5.

Воспользуемся интегральным признаком Коши. Исследуем сходимость несобственного интеграла:

---

Т.е. несобственный интеграл сходится.

Согласно интегральному признаку Коши сходится и исследуемый ряд.

Задание 3.2. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:


Решение:

Воспользуемся признаком Лейбница.

Проверим выполнимость первого критерия. Очевидно, что с увеличением n знаменатель дроби увеличивается, следовательно, сама дробь уменьшается. Т.е. первый критерий выполняется:



Проверим выполнимость второго критерия



Оба критерия признака Лейбница выполняются. Следовательно, исследуемый ряд сходится.


Задание 4. Найти области сходимости степенных рядов:

1.
Находим радиус сходимости ряда:



Т.о. интервал сходимости ряда имеет вид:



Исследуем сходимость ряда на концах интервала:



Получили числовой знакочередующийся ряд, который сходится согласно признаку Лейбница:

1) очевидно, что с увеличением n модули членов ряда монотонно убывают:



2)


Получили числовой знакоположительный ряд, который сравним с рядом Дирихле:



Т.о. ряд расходится

Окончательно область сходимости ряда имеет вид:



2.
Находим радиус сходимости ряда:



Т.о. интервал сходимости ряда имеет вид:



Задание 5. Разложить в степенной ряд по степеням х заданные функции

1.
Воспользуемся разложением в ряд функции

---

Преобразуем исходную функцию:



Подставим вместо х выражение :



Тогда:



2.
Данная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов:



Откуда:



Воспользуемся рядом:



Откуда:



Задание 8. Пользуясь табличными (известными) разложениями элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена), вычислить (методом выделения главной части) предел заданной функции.


Решение:

Воспользуемся табличными разложениями:



Откуда:




Задание 10. Найти решение данного дифференциального уравнения в виде степенного ряда, удовлетворяющее заданным начальным условиям:


Решение:

Ищем решение данной задачи Коши в окрестности точки х = 0 в виде степенного ряда , где – коэффициенты, подлежащие определению

Продифференцируем ряд:



Используя начальные условия , находим:



Подставим в исходное уравнение значения х, у и у' с учетом найденных коэффициентов, получим:



Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х левой и правой частей

---

, будем иметь бесконечную систему уравнений:



Откуда:



Откуда решение уравнения имеет вид:



Задание 11. Разложить заданную функцию в тригонометрический ряд Фурье и определить для периодического продолжения функции на частотный, амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры.


Решение:

Запишем тригонометрический ряд Фурье, соответствующий данной функции



и найдем входящие сюда коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье


Т.о.



причем



Частотный, амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры представляют собой соответственно:



Контрольная работа № 10

1. Найти все значения корня из комплексного числа.


Решение:

Представим комплексное число z = -8 в тригонометрической форме:



По формуле Муавра находим корни:



2. Начертить область, заданную неравенствами.


Решение:

Пусть z = x+ yi. Тогда:



Строим область, определяемую полученными неравенствами:



3. Пользуясь условиями Коши-Римана выяснить, является ли данная функция аналитической или нет хотя бы в одной точке.


Решение:

Имеем z = x + yi. Следовательно,



Т.о.



Находим частные производные:

---

Условия Коши-Римана имеют вид:



Однако в точке х= 0, у = 0 производная не существует, т.к. знаменатель обращается в 0. Т.о. функция не дифференцируема ни в одной точке и нигде не аналитична.

4. Восстановить аналитическую в окрестности точки функцию по известной действительной или мнимой части и значению .


Решение:

Находим:



По первому условию Коши-Римана:



Находим u(x,y):



Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:



Т.о.



Исходная функция имеет вид:



Находим С:



Откуда:




5. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой.


Решение:

Кривая L представляет собой честь окружности радиуса R, лежащую в верхней полуплоскости:



Полуокружность задается параметрическими уравнениями:



Откуда:




7. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z.


Решение:

Найдем точки, в которых знаменатель дроби обращается в 0:



Тогда исходную функцию можно переписать в виде:

---

Смотрите также файлы

• Филиал ооо Китайская Национальная Химикая Инженерная и Строительная Корпорация Севен (кнр) в г. Омск.doc

• Конкурс ткізу орны Астана аласы кімдігіні 24 орта мектеп шж мкк,Есіл ауданы, Пригородный кенті, Арнасай кшесі 127.docx

• План работы по проекту Читающая школа читающая нация.docx

• Производственный менеджмент.docx

• Цель собрать и изучить информацию о снеге Подготовила воспитатель мадоу детский сад 57.ppt