Файл: Законы сохранения лабораторный практикум Краснодар 2020.pdf

91
Рис. 7.1. Схема столкновения при абсолютно упругом центральном ударе двух шаров
На рис. 7.1 приняты следующие обозначения: ????
1
и
????
2
– соответствующие массы первого и второго шаров; ????⃗⃗
1
и
????
⃗⃗
2
– соответствующие скорости первого и второго шаров до удара;
????
⃗⃗
1
′
и
????
⃗⃗
2
′
– соответствующие скорости первого и второго шаров после удара. Тогда, согласно закону сохранения импульса ????⃗, учитывая, что общая кинетическая энергия (????) системы тел до и после удара одинакова, можно записать:
????⃗
1
+ ????⃗
2
= ????⃗
1
′
+ ????⃗
2
′
, (7.1)
????
1
????
⃗⃗
1
+ ????
2
????
⃗⃗
2
= ????
1
????
⃗⃗
1
′
+ ????
2
????
⃗⃗
2
′
, (7.2) где ????⃗
1
= ????
1
????
⃗⃗
1
и
????⃗
2
= ????
2
????
⃗⃗
2
,
????⃗
1
′
= ????
1
????
⃗⃗
1
′
и
????⃗
2
′
= ????
2
????
⃗⃗
2
′
– импульсы первого и второго шаров до и после удара соответственно.
????
1
+ ????
2
= ????
1
′
+ ????
2
′
, (7.3)
????
1
????
1 2
2
+
????
2
????
2 2
2
=
????
1
????
1
′2 2
+
????
2
????
2
′2 2
, (7.4)
????
1 2
2????
1
+
????
2 2
2????
2
=
????
1
′2 2????
1
+
????
1
′2 2????
2
. (7.5)
Здесь
????
1
=
????
1
????
1 2
2
=
????
1 2
2????
1
и
????
2
=
????
2
????
2 2
2
=
????
2 2
2????
2
,
????
1
′
=
????
1
????
1
′2 2
=
????
1
′2 2????
1
и
????
2
′
=
????
2
????
2
′2 2
=
????
2
′2 2????
2
– кинетические энергии первого и второго шаров до и после удара соответственно.
С учетом условий осуществления эксперимента можно провести прямую аналогию между идеализированной моделью в случае абсолютно упругого центрального удара двух шаров и

92 реальных двух вагонеток, движущихся по треку на воздушной подушке. Для нахождения импульсов первой и второй вагонеток после удара запишем их импульсы в проекциях на выбранную ось ????, в случае упругого соударения при ????
2
= 0 легко получить следующие соотношения:
????
теор 1
′
=
????
1
− ????
2
????
1
+ ????
2
????
1
= −
1 −
????
1
????
2 1 +
????
1
????
2
????
1
, (7.6)
????
теор 2
′
=
2????
2
????
1
+ ????
2
????
1
=
2 1 +
????
1
????
2
????
1
. (7.7)
Знак минус указывает на то, что после столкновения первая вагонетка, если ее масса меньше массы второй вагонетки, будет двигаться в противоположную сторону.
Рис. 7.2. График зависимостей импульсов вагонеток от отношения их масс при упругом ударе
Аналогично и для кинетических энергий вагонеток после упругого удара, учитывая, что импульс ???? и кинетическая энергия
???? связаны соотношением ???? = ????
2 2????
⁄
, можно написать:

93
????
теор 1
′
= (
1 −
????
1
????
2 1 +
????
1
????
2
)
2
????
1
, (7.8)
????
теор 2
′
=
4
(1 +
????
1
????
2
)
2
????
1
????
2
????
1
. (7.9)
Зависимости импульсов и энергий от отношения масс вагонеток после упругого соударения вагонеток для случая
????
2
= 0 изображены на рис. 7.2–7.3. Теоретические непрерывные кривые построены для значений импульсов вагонеток с использованием формул (7.6)–(7.7) при начальном импульсе первой вагонетки ????
1
= 0,16 кг∙м/с (изображен пунктирной линией на рис. 2).
Рис. 7.3. Графики зависимостей энергий вагонеток от отношения их масс при упругом ударе
С использованием формул (7.8)–(7.9) для значений кинетических энергий вагонеток при начальной кинетической

94 энергии первой вагонетки ????
1
= 0,0425 Дж (пунктирная прямая на нижнем графике) также построены непрерывные кривые значений кинетических энергий вагонеток. Точками изображены возможные результаты экспериментальных значений соответствующих величин.
Возможные отклонения полученных экспериментально значений импульсов и кинетических энергий вагонеток связаны со случайными и систематическими погрешностями, возникающими в процессе проведения экспериментов.
Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Происходит неупругая деформация тел и их слипание. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней. Схема абсолютно неупругого центрального удара двух шаров изображена на рис. 7.4.
Рис. 7.4. Схема столкновения при абсолютно неупругом центральном ударе двух шаров
При неупругом центральном столкновении двух шаров
(вагонеток) сохраняется только импульс. После удара шары
(вагонетки), объединившись, двигаются со скоростью ????⃗⃗
′
:
????⃗
1
+ ????⃗
2
= ????⃗
′
, (7.10)

95
????
1
????
⃗⃗
1
+ ????
2
????
⃗⃗
2
= (????
1
+ ????
2
)????
⃗⃗
′
, (7.11) где ????⃗
′
= (????
1
+ ????
2
)????
⃗⃗
′
– импульс объединившихся тел.
Для практических расчетов удобнее использовать проекции импульсов и скоростей на выбранную ось ????. Из условия равенства скоростей вагонеток после неупругого соударения имеем следующее соотношения для модулей импульсов вагонеток:
????
1
′
=
????
1
????
2
????
2
′
. (7.12)
Тогда, учитывая, что ????
2
= 0, имеем следующие выражения для модулей импульсов вагонеток, движущихся с одинаковой скоростью:
????
теор 1
′
=
1 1 +
????
2
????
1
????
1
, (7.13)
????
теор 2
′
=
1 1 +
????
1
????
2
????
1
. (7.14)
Кинетические энергии вагонеток до и после неупругого удара заданы следующими соотношениями:
???? = ????
1
+ ????
2
=
????
1
????
1 2
2
+
????
2
????
2 2
2
, (7.15)
????
′
= ????
1
′
+ ????
2
′
=
(????
1
+ ????
2
)
2
????
′2
, (7.16) где ???? и ????
′
– суммарные кинетические энергии вагонеток до и после неупругого соударения соответственно.
Используя формулу (7.11) в проекциях на выбранную ось ????, рассчитаем потери кинетической энергии вагонеток, равные работе деформации в процессе неупругого удара:
Δ???? = ???? − ????
′
=
????
1
????
2 2(????
1
+ ????
2
)
(????
1
− ????
2
)
2
. (7.17)
Если вторая вагонетка была неподвижна (????
2
= 0), то кинетические энергии вагонеток после неупругого столкновения равны соответственно:

96
????
теор 1
ˊ
= (
1 1 +
????
1
????
2
)
2
????
1
, (7.18)
????
теор 2
ˊ
= (
1 1 +
????
1
????
2
)
2
????
1
????
2
????
1
. (7.19)
Потеря кинетической энергии вагонетками при неупругом столкновении в случае ????
2
= 0:
Δ???? =
????
2
????
1
+ ????
2
????
1
=
1 1 +
????
1
????
2
????
1
. (7.20)
Зависимости импульсов от отношения масс вагонеток после неупругого соударения вагонеток для случая ????
2
= 0 изображены на рис. 7.5.
Рис. 7.5. Графики зависимостей импульсов вагонеток от отношения их масс при неупругом ударе

97
Теоретические непрерывные кривые построены для значений импульсов вагонеток с использованием формул
(7.13)–(7.14) при начальном импульсе первой вагонетки
????
1
= 0,16 кг∙м/с (изображен пунктирной линией на верхнем графике).
Зависимости кинетических энергий от отношения масс вагонеток после неупругого соударения для случая ????
2
= 0 изображены на рис. 7.6. С использованием формул (7.15)–(7.20) для значений кинетических энергий вагонеток при начальной кинетической энергии первой вагонетки ????
1
= 0,0425 Дж
(пунктирная прямая на графике) построены непрерывные кривые значений кинетических энергий вагонеток.
Рис. 7.6. Графики зависимостей кинетических энергий вагонеток от отношения их масс при неупругом ударе

98
Штрихпунктирная кривая характеризует потери кинетической энергии вагонетками в зависимости от отношения их масс при неупругом ударе. Точками изображены возможные результаты экспериментальных значений соответствующих величин.
Из рис. 7.6 видно, что потери кинетической энергии вагонетками находятся в сильной зависимости от отношения их масс. Если масса второй вагонетки много больше массы первой, потери кинетической энергии практически достигают 100%. Если массы вагонеток равны, то потери составляют около 50%, и с увеличением значения отношения ????
1
/????
2
масс вагонеток потери кинетической энергии уменьшаются.

99
Установка состоит из алюминиевого рельса (трека) 1 длиной 1,5 м, в котором есть отверстия для создания воздушной подушки. Воздух поступает в рельс через воздуховод 2 с помощью регулируемой воздуходувки. Рельс устанавливается горизонтально на лабораторном столе с помощью регулировочных опор 3, которые можно поворачивать вокруг своей оси для горизонтирования трека. Вдоль рельса могут скользить две вагонетки
4 на воздушной подушке, обеспечивающей малое трение. Масса каждой вагонетки 0,210 кг.
Для измерения скорости на каждой вагонетке сверху прикреплен легкий темный экран 5 длиной 0,1 м. При движении вагонетки экран на какое-то время перекрывает световой поток, идущий от источника к приемнику в фотоэлектрических датчиках 6. Время перекрытия светового потока регистрируется с помощью цифрового измерительного прибора Cobra 3 Basic Unit 7. Массу вагонеток можно менять при помощи набора гирь 8, которые надеваются на стержни, расположенные по бокам вагонеток.
Вагонеткам сообщается импульс с помощью спускового устройства 9.
Упругое и неупругое соударения вагонеток обеспечиваются с помощью набора насадок 10. В случае упругого удара насадки состоят из упругого шнура и штока, упруго ударяющегося о шнур. В случае неупругого удара насадки состоят из заполненного пластилином цилиндра и иглы, застревающей в пластилине при ударе.
Зная скорость вагонетки и массу, легко вычислить ее импульс. Масса вагонетки вычисляется суммированием массы самой вагонетки (0,210 кг) и суммарной массы закрепленных на ней гирь. Модуль скорости первой вагонетки до удара и второй вагонетки после упругого соударения (или обеих в случае неупругого удара) вычисляется следующим образом:
???? = ???? ????
⁄ ‚ (7.21) где ???? – длина темного экрана (0,1 м); ???? – время перекрытия светового потока в фотоэлектрических датчиках, которое считывается в соответствующем окне цифрового измерительного прибора Cobra 3 Basic Unit.

100
П
ОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Техника безопасности
При запуске, обслуживании и уходе за прибором следует соблюдать меры безопасности, согласно общим правилам по безопасности труда для устройств, в которых имеются напряжения до 250 В. Не допускать перегрева воздуходувки. Для этого необходимо не допускать работу воздуходувки на мощности, близкой к максимальной, более 2 минут.
Рекомендованный режим работы воздуходувки – регулятор мощности находится в среднем положении. Вагонетки следует запускать, используя только спусковое устройство.
Включение прибора, проведение измерений и любые другие
манипуляции с лабораторным оборудованием допускаются
только с разрешения преподавателя или лаборанта и только при
их личном присутствии в лаборатории.
Подготовка установки к работе
1.
Собрать установку, как показано на рис. 7.7, с насадками на тележках для упругих соударений. Расстояние между фотоэлектрическими датчиками должно быть около метра, режим работы Cobra 3 Basic Unit: 1⃗⃗⃖⃗ − 3⃖⃗⃗⃗.
2.
Поскольку движущиеся тележки могут нанести механические травмы и вызвать порчу лабораторного оборудования, необходимо перед запуском тележек убедиться, что на пути их движения нет посторонних предметов и экраны на тележках могут свободно проходить через фотоэлектрические датчики, не задевая их.
3.
Подключить воздуходувку и универсальный цифровой измерительный прибор Cobra 3 Basic Unit к сети и включить их.
4.
Установить вагонетки рядом с фотоэлектрическими датчиками. Включить установку и установить среднюю мощность работы. Если вагонетки начинают самопроизвольно перемещаться, необходимо отрегулировать горизонтальность рельса (воздушного трека) с помощью регулировочных опор.

101 5.
Провести серию калибровочных экспериментов с вагонетками одинаковых масс для упругих соударений: первую вагонетку установить вплотную к спусковому устройству, вторую установить между фотоэлектрическими датчиками.
Провести серию опытов и выяснить, совпадают ли времена
(соответственно скорости и импульсы до и после соударения) перекрытия световых потоков в первом и во втором фотоэлектрических датчиках. Если нет, то в последующих опытах учитывать эту поправку.
Задание 1. Проверить законы сохранения импульса и
кинетической энергии при упругом соударении вагонеток; на
основе полученных экспериментальных данных построить
графики зависимости импульсов и кинетических энергий от
отношения масс вагонеток.
1.
Надеть на вагонетки набор насадок для моделирования упругого удара.
2.
Надеть 10 гирь, каждая массой по 0,01 кг симметрично на штыри первой вагонетки.
3.
Поставить первую вагонетку на левый конец рельса вплотную к пусковому устройству, которое должно передавать ей один и тот же импульс при каждом толчке. Правую тележку установить посередине между световыми барьерами.
4.
Сообщить импульс нагруженной гирями (массой
0,21 + 0,1 кг) первой вагонетке, которая в процессе движения должна на время ????
1
заблокировать световой поток в первом фотоэлектрическом датчике до столкновения со второй неподвижной вагонеткой (массой 0,21 кг). После столкновения две тележки должны пройти через первый и второй фотоэлектрические датчики, которые теперь измеряют времена ????
1
′
и ????
2
′
блокировок световых потоков после столкновения первой и второй вагонеток соответственно. При необходимости провести эксперимент повторно.
5.
Перенести одну гирю с первой вагонетки на вторую.
6.
Повторять действия, описанные в пунктах 3–5, пока все гири не окажутся на второй вагонетке.

102 7.
По формуле (7.21) вычислить скорость ????
1
первой вагонетки до удара для всех времен, измеренных в экспериментах. Так же вычислить соответствующие импульсы ????
1
и кинетические энергии ????
1
для различных масс первой вагонетки до удара. Они должны быть приблизительно одинаковыми во всех экспериментах.
8.
По формуле (7.21) вычислить скорости ????
1
′
и
????
2
′
первой и второй вагонеток после соударения для всех времен, измеренных в экспериментах. Вычислить соответствующие импульсы ????
1
′
и
????
2
′
, кинетические ????
1
′
и
????
2
′
энергии вагонеток после соударения.
9.
По формулам (7.6)–(7.9) вычислить теоретические значения импульсов и кинетических энергий вагонеток после упругого соударения. Оценить погрешности полученных величин. Занести полученные значения в табл. 7.1.
10. Нанести полученные значения на графики зависимости импульса/энергии от отношения масс вагонеток при упругом ударе.
11. Провести анализ полученных результатов и сделать выводы.
Таблица 7.1
Значения физических параметров вагонеток при упругом ударе
Параметр
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
????
1
/
????
2
????
1
, кг·м/с
????
1
′
, кг·м/с
????
2
′
, кг·м/с
????
теор 1
′
, кг·м/с
????
теор 2
′
, кг·м/с
????
1
, Дж
????
1
′
, Дж
????
2
′
, Дж
????
теор 1
′
, Дж
????
теор 2
′
, Дж