Тема. Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

План.

1. Определение производной

2.Производная, ее геометрический и физический смысл.

3. Уравнение касательной к графику функции

3 Правила дифференцирования.

1. 
   Задачи, которые приводят к понятию производной
   

Задача 1 (о мгновенной скорости). Пусть некоторая материальная точка движется по оси x, так что x(t) есть координата точки в момент времени t. Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть



Задача 2 (о касательной к графику). Пусть кривая задана уравнением . Соединим две ее точки М₀( , ) и М( , ) секущей.

Тогда дробь = , где есть угол наклона секущей к оси OX (в треугольнике М₀МТ отношение катетов)

---

При точка M начинает двигаться к точке M₀. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M₀ и в пределе она превратиться в касательную к точке M₀. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что

,

где  угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX, k  угловой коэффициент касательной.

Поскольку с помощью предела решают кроме рассмотренных ещё и много других важнейших задач, то целесообразно всесторонне изучить данный предел, в частности, указать способы его вычисления. Этот предел в математике и носит название производной.

2. 
   Производная, ее геометрический и физический смысл
   

Определение: Производной данной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее стремится к нулю и такой предел существует и конечен.

Основные правила дифференцирования выражаются формулами:

1. 
   
   

• 
  
  

2. 
   
   

• 
  
  

3. 
   
   

• 
  
  
• 
  
  

4. 
   Таблица производных элементарных функций
   

---

Самостоятельная работа

1. Вопросы для самопроверки

1) Дать определения производной заданной функции.

2) Охарактеризовать символы

5) Геометрический и физический смысл производной?

2. Найти производные функций:

1.  в точке

2.  в точке

3.

4

Задание на дом

1. Ш.А. Алимов «Алгебра и начала математического анализа» праг.44-45

Упраж. №787№790

Дополнительные

1. 
   https://www.yaklass.ru/
   
2. 
   https://www.matematicus.ru/vysshaya-matematika/proizvodnaya/geometricheskij-i-fizicheskij-smysl-proizvodnoj
   

---

Смотрите также файлы

• Отчет о прохождении практики преддипломная практика. 38. 03. 02 Менеджмент (профиль Управление человеческими ресурсами) Лазарев Никита Владимирович.doc

• Предельные углеводороды, общая формула и химическое строение гомологов данного ряда. Свойства, получение и применение.docx

• ШЫыс азастан облысыны білім басармасы.docx

• Программа среднего профессионального образования 44. 02. 03 Педагогика дополнительного образования (в области социальнопедагогической деятельности) Дисциплина Русский язык и культура речи Практическое занятие 3.rtf

• Исполнитель Робот находится гдето внутри огороженного пространства, имеющего форму прямоугольника. Размеры прямоугольника неизвестны.docx