Файл: Удк Численные методы решения дифференциальных уравнений.docx

УДК:

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Ковалев С.А.

Студент 2-го курса Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта, Россия,

Научный руководитель: Мотрюк Е.Н.

Зав. Кафедрой высшей математики, к. т. н., доцент ФГБОУ ВО Ухтинский государственный технический университет, г. Ухта, Россия,

Цель работы: Изучить, как с помощью численного метода решать дифференциальные уравнения с применением различных методов вычислений в программном средстве вычислений MathCAD.

Задачи:

1. 
   Изучить теоретический материал по теме: «дифференциальные уравнения»;
   
2. 
   Разобрать материал по теме: «численный метод дифференциальных уравнений»;
   
3. 
   Изучить различные методы вычисления дифференциальных уравнений;
   
4. 
   На основе теоретического материала составить конспект;
   
5. 
   Провести практику вычислений в программном средстве вычислений Mathad;
   
6. 
   Сформулировать выводы по проделанной работе.
   

«Числа правят миром» - слова известного философа Платона. Эти слова актуальны и по сей день, ведь весь наш мир состоит из математического моделирования и численных методов в самых различных областях жизни человека. Ведь считать человеку приходилось еще с древних времен. Начиная с египетских папирусов заканчивая многочисленными математическими таблицами. Так с появлением компьютерных технологий в жизни человека автоматизированные вычисления больших масштабов стали важным инструментом в науке и технике. От сюда началась новая область математики «Численный метод».

В эту область входит и способ решения дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения являются одним из основных методов решения задач. Ведь без вычисления дифференциальных уравнений не обойдется ни один инженер-исследователь. На дифференциальных уравнения строятся многие задачи механики, химии, физики и других отраслей науки.

В зависимости от числа независимых переменных дифференциальные уравнения делятся на две существенно различные категории: обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную, и уравнения с частными производными, содержащие несколько независимых перемен.

---

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции . Их мы и будем рассматривать с помощью вычисления численным методом.

Существует несколько видов методов вычисления численного дифференцирования.

• 
  Геометрическая интерпретация решения;
  
• 
  Метод Эйлера;
  
• 
  Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка);
  
• 
  Метод матричной экспоненты.
  

Для рассмотрения каждого из видов метода вычисления численного дифференцирования рассмотрим задачу Коши. Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения , где удовлетворяющие начальному условию . При численном решении поставленной задачи отрезок разбивают на частей (не обязательно равных) и определяют приближенные значения искомой функции в точках деления .[1, стр 59]

1. 
   Геометрическая интерпретация решения
   

Геометрический смысл решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка методом Эйлера (методом Рунге-Кутта первого порядка) состоит в том, что на малом отрезке интегральная кривая дифференциального уравнения заменяется отрезком ее касательной в точке .

2. 
   Метод Эйлера
   

Приближённое значение в точке находится по формуле:

3. 
   Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка)
   

Этот метод получил наиболее широкое распространение в практических расчетах. Его погрешность оценивается величиной

---

, что дает возможность получить более точные результаты, чем в методе Эйлера. Не давая полного описания вывода формул, приведем их в следующем виде:










Здесь символом так же, как и в выше описанном методе Эйлера, обозначается правая часть решаемого дифференциального уравнения, и - приближённые значения интегральной функции соответственно в точках и , .

4. 
   Метод матричной экспоненты
   

Экспонента матрицы — матричная функция от квадратной матрицы, аналогичная обычной экспоненциальной функции. Матричная экспонента устанавливает связь между алгеброй Ли матриц и соответствующий группой Ли.

Для вещественной или комплексной матрицы  размера , обозначаемая как  или , — это матрица, определяемая степенным рядом:

,где — k-я степень матрицы . Данный ряд всегда сходится, так что экспонента от всегда корректно определена.

Если — матрица размера , то матричная экспонента от  есть матрица размерности , единственный элемент которой равен обычной экспоненте от единственного элемента.
Рассмотрим пример решения задачи Коши в mathcad. Будем решать двумя способами: Рунге-Кутта и методом матричной экспоненты.

1 Метод Рунге-Кутта

Для решения систем дифференциальных уравнений используются функция rkfixed.

Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D) возвращает матрицу. Первый столбец этой матрицы содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – решения и его первые производные.
Аргументы функции:
y–вектор начальных значений (n элементов).
x1 и x2 – границы интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения.
npoints – число точек внутри интервала (x1,x2), в которых ищется решение. Функция rkfixed возвращает матрицу, состоящую из 1+npoints строк.
D – вектор, состоящий из n элементов, который содержит первые производные искомой функции.

---

2 Метод матричной экспоненты

Если матричная экспонента известна, то решение задачи Коши вычисляется по универсальной формуле с различными начальными условиями .

Матрицу системы можно привести к диагональной форме, если она имеет собственный базис – базис из собственных векторов, и тогда решение задачи Коши может быть записано в виде: , где С – матрица перехода от исходного базиса к собственному базису матрицы А, Λ – матричная экспонента, записанная в собственном базисе матрицы А. Матрицы жестких систем таковы, что погрешности вычисления С и С^-1 приводят к совершенно недостоверным результатам.[2,стр 334]

Рассмотрим фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий решение задачи Коши для жесткой системы по формуле .



Для точного выполнения работы воспользуемся и аналитическим способом решения задачи Коши.

Найти приближённое решение задачи Коши  



методом Эйлера на заданном отрезке   с шагом h = 0,1 .



Решение:
Для начала, найдем точное решение этого линейного уравнения первого порядка






















Тогда точное решение имеет вид :  
Теперь найдем численное приближенное решение методом Эйлера, с шагом 

---

h=0,1.

Общий вид: Уравнение , формула:  
В этом случае:  
Тогда формулы имеет вид:
 
Используя эту формулу решаем задачу. Полученные данные запишем в таблицу.

n			Точное значение
0	0	0	0
1	0,1	0	0,000334
2	0,2	0,001001	0,002688
3	0,3	0,005045	0,009246
4	0,4	0,014428	0,022743
5	0,5	0,032178	0,047215
6	0,6	0,062920	0,089359
7	0,7	0,114395	0,161115
8	0,8	0,200260	0,284779
9	0,9	0,345502	0,503741
10	1	0,597372	0,906094

---