Файл: Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление.pdf

µ
a
x
x
:
∑
∑
∑
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
j
j
j
n
i
i
i
n
i
i
i
da
a
L
dx
x
L
dt
t
L
dx
x
L
dt
t
L
dL
1 1
1 1
1 1
1 0
0 0
0
. (130)

З а м е ч а н и е . Если
)
(
),
(
1 1
0 0
a
a
t
t
t
t
=
=
, то
j
r
j
j
da
a
t
dt
∑
=
∂
∂
=
1 0
0
)
(a
,
∑
=
∂
∂
=
r
j
j
j
da
a
t
dt
1 1
1
)
(a
. В силу независимости величин
1 0
1 0
,
,
,
i
i
dx
dx
dt
dt
условие (129) эквивалентно 2n + 2 + r равенствам вида
)
,
1
(
0
,...,
0 1
1 1
1 1
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=






∂
∂
+
=








∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (131)
)
,
1
(
0
...,
,
0 0
1 0
0
n
i
dx
x
L
F
dt
t
L
F
x
F
i
t
t
i
x
t
t
n
i
x
i
i
i
=
=






∂
∂
+








∂
∂
+
−
=
=
=
∑
&
&
&
; (132)
)
,
1
(
0 1
0
n
i
da
dt
a
F
a
L
j
t
t
j
j
=
=








∂
∂
+
∂
∂
∫
, (133) число которых достаточно для того, чтобы совместно с уравнениями (118), (119), (124) определить недостающие значения
)
,
1
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
)
(
),
,
1
(
,
0
r
j
a
n
i
t
x
m
j
t
k
j
i
j
k
=
=
=
ρ
=
λ
µ
µ
9.3. Второе необходимое условие минимума функционала
в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая
f
≡ 0, f
k
≡ 0
Для допустимой кривой С: {x = x(t), a}, реализующей минимум в задаче Больца, всегда существует такая система мно- жителей
)
,
1
(
)
(
),
,
0
(
m
j
t
k
j
k
=
ρ
=
λ
µ
, что для кривой С с этими множителями выполняется правило множителей (см. п. 9.2), а для всякого элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x &
t
(в том числе и в угловых точках) кривой С функция Вейерштрасса
)
,
,
,
,
(
X
λ
x
x
E
&
&
t
:
∑
=
−
−
−
=
n
i
x
i
i
t
F
x
X
t
F
t
F
t
i
1
)
,
,
,
(
)
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
,
,
,
,
(
λ
x
x
λ
x
x
λ
X
x
X
λ
x
x
E
&
&
&
&
&
&
&
&
(134) удовлетворяет неравенству
0
)
,
,
,
,
(
≥
X
λ
x
x
Е
&
&
t
. (135)
Неравенство (135) имеет место при всех возможных допустимых элементах
)
,
,
,
(
λ
X
x
&
t
, не совпадающих с элементами
)
,
,
,
(
λ
x
x
&
t
кривой С, но удовлетворяющих условиям
)
,
1
(
0
)
,
,
,
(
m
j
t
F
j
=
=
a
x
x &
Если минимизирующая кривая C: {x = x(t), a} нормальна, то система множителей
)
,
1
,
,
1
(
)
(
λ
,
µ
,
1
µ
0
ρ
=
=
=
k
m
j
t
j
k
– единственна и условие Вейерштрасса для этой системы выполняется.
9.4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца
(условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0
Если кривая С: {x = x(t), a} реализует минимум в задаче Больца, то всегда найдется такая система множителей
µ
0
,
µ
k
)
,
1
(
ρ
=
k
,
)
,
1
(
)
(
λ
m
j
t
j
=
, что для этой кривой С удовлетворяется правило множителей, а для всякого ее элемента
)
,
,
,
,
(
λ
µ
x
x
&
t
выполняется неравенство
0
ξ
ξ
)
,
,
,
(
1 1
≥
∑∑
=
=
n
i
n
k
k
i
x
x
t
F
k
i
λ
x
x
&
&
&
(136) при любых
)
0
...,
,
0
,
0
(
)
...,
,
,
(
2 1
≠
ξ
ξ
ξ
=
n
ξ
, удовлетворяющих уравнениям
)
,
1
(
0
)
,
,
(
1
m
j
t
F
i
n
i
x
j
j
=
=
∑
=
ξ
x
x
&
&
, (137) где
k
i
x
x
i
j
jx
x
x
F
F
x
F
F
k
i
i
&
&
&
&
&
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
2
;
В рассматриваемой задаче важную роль играет матрица







=








α
γ
0
)
(
0
T
x
x
x
x
F
F
F
F
F
F
k
i
k
i
x
x
x
x
&
&
&
&
&
&
&
&
(138)
)
,
1
,
(
;
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
),
,
1
,
(
2 2
1 2
1
m
x
x
F
F
x
x
x
F
F
F
F
n
k
i
k
i
n
m
=
γ
α








∂
∂
∂
=
∂
∂
=
=
&
&
&
&
&
&
&
&
x
x
x
Определитель этой матрицы называется определителем Гильберта. Вариационные задачи с отличным от нуля опреде- лителем Гильберта называется регулярными (невырожденными).
9.5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца
(условие Якоби–Майера–Кнезера)
Условие Якоби–Майера–Кнезера носит нелокальный (интегральный) характер и характеризует экстремальность всей кривой в целом на основе рассмотрения поведения экстремалей, лежащих в малой окрестности от данной экстремали.
Условие Якоби–Майера–Кнезера
.
Чтобы экстремаль C: {x(t)} доставляла на отрезке
]
,
[
1 0
t
t
минимум функционалу в задаче Больца, необходимо, чтобы отрезок
]
,
[
1 0
t
t
не содержал точек, сопряженных с
0
t
Сопряженная точка. Считается, что экстремаль C: {x(t)} имеет на интервале
)
,
(
1 0
t
t
точку
t
,
1 0
t
t
t
<
<
, сопряженную с
0
t
, если существует последовательность экстремалей, выходящих из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
и бесконечно близких к данной экстремали x(t), такая, что каждая из этих экстремалей пересекает данную экстремаль x(t) и последова- тельность точек пересечения имеют точку
t
своим пределом. Сопряженная точка
))

(
,

(
t
t
x
является точкой касания экстре- мали x(t) с огибающей семейства экстремалей, в которое данная экстремаль x(t) включена (заметим, что огибающая может вырождаться в точку). Это показывает, что в сопряженной точке ))

(
,

(
t
t x
расстояние между данной экстремалью x(t) и про- извольной близкой экстремалью
)
(
t
x
, выходящей из той же начальной точки
))
(
,
(
0 0
t
t
x
, есть величина выше первого поряд- ка малости по сравнению с указанным расстоянием вне сопряженной точки
))

(
,

(
t
t
x
(т.е. при
t
t
t

0
<
≤
).
Методы определения сопряженных точек весьма трудоемки. В частности, они могут основываться на вычислении опре- делителей Майера–Кнезера.
Для задачи Майера (см. п. 9.1) с закрепленными концами
,
),
,
1
(
0
)
,
,
(
1 0
t
t
t
m
j
t
F
j
≤
≤
=
=
x
x &
(139) где
1 0
, t
t
– заданные числа,
))
(
...,
),
(
(
ˆ
)
(
ˆ
,
)
(
1 1
1 1
1 1
0 0
t
x
t
x
t
t
n
−
=
=
=
x
x
x
x
, (140) где
1 0
ˆ
,
x
x
– заданные векторы, и с функционалом
)
(
)
,
,
,
(
1 1
0 1
0
t
x
t
t
J
n
=
Φ
=
x
x
(141) сопряженная точка
t
может быть вычислена как момент времени, в который обращается в нуль определитель Кнезера:
0
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
)
,

(

0
,
1 0
1 10 0
1 0
,
1 0
1 10 0
1

0
,
1 20 10 1
2 1
0
=
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
∂λ
λ
∂
=
λ
λ
λ
∂
∂
=
λ
=
−
−
−
−
=
−
−
t
t
n
n
n
n
t
t
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
x
x
x
t
D
L
L
L
L
L
,
(142)
T
n
)
...,
,
,
(
0
,
1 20 10 0
−
λ
λ
λ
=
λ
; (143) где
))
,
(
...,
),
,
(
(
)
,
(
0 1
0 1
0
λ
λ
λ
x
t
x
t
x
x
n
−
=
)
– экстремаль, удовлетворяющая при
0
λ
λ
=
заданным условиям (140).
З а м е ч а н и е . При применении численных методов решения краевой задачи иногда [например, в методе Ньютона] од- новременно с основной экстремалью x(t) вычисляется (n – 1) дополнительных экстремалей
)
(
1
t
n
−
x
, лежащих в близкой окре- стности к основной и выходящих из той же точки (начальной)
)
,
(
0 0
x
t
по линейно-независимым направлениям (соответст- вующим линейно-независимым начальным условиям для множителей Лагранжа
0
λ
). В этом случае можно утверждать, что точка
t
будет сопряженной с точкой
0
t
в сформулированной выше задаче, если в точке
t
определитель

t
t
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t

1 1
1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
)
2
(
1 1
)
2
(
2 2
)
2
(
1 1
)
1
(
1 1
)
1
(
2 2
)
1
(
1 1
0
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
(
)
(
,
),
(
)
(
),
(
)
(
)
,

(
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
λ
∆
L
L
L
L
L
L
L
(144) представляет бесконечно малую величину более высокого порядка, чем при
t
t
t

0
≤
≤
Контрольные вопросы
1. Задачи Больца, Майера, Лагранжа; привести формулировки.
2. Первое необходимое условие экстремума функционала в задаче Больца.
3. Второе необходимое условие минимума функционала в задаче Больца (условие Вейерштрасса) для случая f
≡ 0, f
k
≡
0.
4. Третье необходимое условие минимума в задаче Больца (условие Лежандра–Клебша) для случая f = 0, f
k
= 0.
5. Четвертое необходимое условие в задаче Больца (условие Якоби–Майера–Кнезера).
Г л а в а 1 0
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
Для ряда технических систем, в частности механики полета (особенно для ракетодинамики) важен случай, в котором допускаются конечные разрывы (разрывы первого рода) в фазовой траектории (например, мгновенный «сброс» массы после отделения ступени). При расчете ступенчатых ракет, химических реакторов, а также целого ряда химико-технологических и информационных процессов, полезны результаты следующей задачи с фиксированным заранее числом разрывов и варьи- руемой переменной величиной «скачка» в точке разрыва.
10.1. Краткая формулировка задачи
Пусть q – 1 – число интервалов, внутри которых траектория непрерывна;
)
,
1
(
q
j
t
j
=
– моменты времени, в которые на- ступают разрывы фазовых координат. Точки
j
t считаются в общем случае неизвестными. Индекс j указывает, что функции рассматриваются на j-ом отрезке времени
1
+
≤
≤
j
j
t
t
t
На каждом j-ом отрезке задана система связей
0
))
(
),
(
,
(
)
(
=
t
t
t
j
x
x
F
&
, (145) где
,
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
)
(
)
(
2
)
(
1
)
(
T
n
T
n
T
j
m
j
j
j
x
x
x
x
x
x
F
F
F
&
&
&
& =
=
=
x
x
F
и краевые условия в точке разрыва функций
)
(t
x
i
0
))
(
),
(
,
(
=
−
+
s
r
j
t
t
t
x
x
g
, (146) где
)
1
(
2
;
;
2
;
;
1 1
;
;
,
1
;
)
...,
,
,
(
2 1
2 1
q
n
q
p
t
t
t
t
q
j
j
s
q
j
j
r
q
j
g
g
g
q
j
T
p
+
−
≤
<
<
<
<
<
≤
≤
=
−
≤
≤
=
=
=
g
Требуется минимизировать функционал
))
(
),
(
,
(
−
+
Φ
=
s
r
j
t
t
t
J
x
x
. (147)
З а м е ч а н и е . Здесь величины
)
(
+
r
t

1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   15