Файл: MATLAB. Довідник для користувача.pdf

function X = excise(X)

X(any(isnan(X')),:) = [ ];

Тогда. напечатав

X = excise(X);

вы выполните требуемое действие (excise по английски означает вырезать)

Удаление выбросов значений

Вы можете удалить выбросы значений или несовместимые данные при помощи процедур, весьма схожих с удалениемNaN-ов. Для нашей транспортной задачи, с матрицей данных count, средние значения и стандартные (среднеквадратические) отклонения каждого столбца матрицы count равны

mu = mean(count) sigma = std(count)

mu =

32.0000 46.5417 65.5833

sigma =

25.3703 41.4057 68.0281

Число строк с выбросами значений, превышающими утроенное среднеквадратическое отклонение от среднего значения можно получить следующим образом:

[n, p] = size(count)

outliers = abs(count - mu(ones(n, 1),:)) > 3*sigma(ones(n, 1),:);

nout = sum(outliers)

nout =

1 0 0

Имеется только один выброс в первом столбце. Удалим все наблюдение при помощи выражения

count(any(outliers'),:) = [ ];

Регрессия и подгонка кривых

Часто бывает полезным или необходимым найти функцию, которая описывает взаимосвязь между некоторыми наблюдаемыми (или найденными экспериментально) переменными. Определение коэффициентов такой функции ведет к решению задачи переопределенной системы линейных уравнений, то есть системы, у которой число уравнений превышает число неизвестных. Указанные коэффициенты можно легко найти с использованием оператора обратного деления \ (backslash). Допустим, вы производили измерения переменной y при разных значениях времени t.

56

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';

y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';

plot(t,y,'o'); grid on

В следующих разделах мы рассмотрим три способа моделирования(аппроксимации) этих данных:

·Методом полиномиальной регрессии

·Методом линейно-параметрической (linear-in-the-parameters) регрессии

·Методом множественной регрессии

Полиномиальная регрессия

Основываясь на виде графика, можно допустить, что данные могут быть аппроксимированы полиномиальной функцией второго порядка:

y = a0 + a1t + a2t2

Неизвестные коэффициенты a0 , a1 и a2 могут быть найдены методом среднеквадратической подгонки (аппроксимации), которая основана на минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели. Мы имеем шесть уравнений относительно трех неизвестных,

представляемых следующей матрицей 6х3:

57

Решение находится при помощи оператора \ :

a = X\y

a =

0.5318

0.9191 - 0.2387

Следовательно, полиномиальная модель второго порядка наших данных будет иметь вид

y = 0.5318 + 0.9191t – 0.2387 t2

Оценим теперь значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем кривую на график с исходными данными.

T = (0 : 0.1 : 2.5)';

Y = [ones(size(T)) T T.^2]*a;

plot(T,Y,'-',t,y,'o'); grid on

Очевидно, полиномиальная аппроксимация оказалась не столь удачной. Здесь можно или повысить порядок аппроксимирующего полинома, или попытаться найти какую-либо другую функциональную зависимость для получения лучшей подгонки.

58

Линейно-параметрическая регрессия1

Вместо полиномиальной функции, можно было-бы попробовать так называемую линейнопараметрическую функцию. В данном случае, рассмотрим экспоненциальную функцию

y = a0 + a1℮-t + a2t℮-t

Здесь также, неизвестные коэффициенты a0 , a1 и a2 могут быть найдены методом наименьших квадратов. Составим и решим систему совместных уравнений, сформировав регрессионную матрицу X, и применив для определения коэффициентов оператор \ :

X = [ones(size(t)) exp(- t) t.*exp(- t)];

a = X\y

a =

1.3974

-0.8988

0.4097

Значит, наша модель данных имеет вид

y = 1.3974 – 0.8988℮-t + 0.4097t℮-t

Оценим теперь, как и раньше, значения модели на равноотстоящих точках (с шагом 0.1) и нанесем эту кривую на график с исходными данными.

Как видно из данного графика, подгонка здесь намного лучше чем в случае полиномиальной функции второго порядка.

1 Данная терминология не совсем соответствует принятой в русско-язычных изданиях.

59

Множественная регрессия

Рассмотренные выше методы аппроксимации данных можно распространить и на случай более чем одной независимой переменной, за счет перехода к расширенной форме записи. Допустим, мы измерили величину y для некоторых значений двух параметровx1 и x2 и получили следующие результаты

Множественную модель данных будем искать в виде

y = a0 + a1x1 + a2x2

Методы множественной регрессии решают задачу определения неизвестных коэффициентов a0 , a1 и a2 путем минимизации среднеквадратической ошибки приближения. Составим совместную систему уравнений, сформировав матрицу регрессии X и решив уравнения относительно неизвестных коэффициентов, применяя оператор \ .

X = [ones(size(x1)) x1 x2];

a = X\y

a =

0.1018

0.4844 -0.2847

Следовательно, модель дающая минимальную среднеквадратическую ошибку аппроксимации имеет вид

y = 0.1018 + 0.4844x1 – 0.2847x2

Для проверки точности подгонки найдем максимальное значение абсолютного значения отклонений экспериментальных и расчетных данных.

Y = X*a;

MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr =

0.0038

Эта ошибка дает основание утверждать, что наша модель достаточно адекватно отражает результаты наблюдений.

60

Графический интерфейс подгонки кривых

MATLAB дает возможность осуществлять аппроксимацию данных наблюдений при помощи специального графического Интерфейса Подгонки Кривых (ИПК) (в английском оригинале - Basic Fitting interface). Используя данный интерфейс, вы можете легко и быстро решить множество задач подгонки кривых, получая при этом самую разнообразную информацию о результатах вашей подгонки. ИПК предоставляет следующие возможности:

·Аппроксимирует данные используя сплайновый интерполянт, эрмитовый интерполянт, или же полиномиальный интерполянт до 10 порядка включительно.

·Осуществляет множество графических построений для заданных наборов данных.

·Строит графики невязок (ошибок подгонки).

·Анализирует численные результаты подгонки.

·Осуществляет интерполяцию или экстраполяцию данных подгонки.

·Аннотирует графики численными результатами подгонки и нормами ошибок аппроксимации.

·Запоминает результаты подгонки и вычислений в рабочет пространстве MATLAB-а. Основываясь на ваших конкретных задачах и приложениях, вы можете использовать ИПК, возможности, предоставляемыми командным окном, или же комбинировать эти две возможности. Отметим, что ИПК предназначен только для работы с одномерными и двумерными данными.

Рассмотрение основных свойств ИПК

Общий вид ИПК показан ниже.

61

Для его вызова в подобном виде, нужно выполнить следующие три шага:

1.Построить какой либо график данных.

2.Выбрать опцию Basic Fitting из меню Tools вашего графического окна.

3.Нажать дважды на кнопку More в нижней части ИПК. В результате откроется окно c тремя панелями (см. рисунок), а сама надпись заменится на Less.

Рассмотрим основные опции ИПК.

Select data (Выбор данных) – В данном окне расположен список всех переменных, построенных на активном графике, с которым связан ИПК (на графике может быть построено несколько кривых). Используйте данный список для выбора требуемого(текущего) набора данных. Под текущим подразумевается тот набор данных, для которого вы хотите осуществить подгонку. За один раз вы можете осуществлять действия только с одним набором данных. С другой стороны, вы можете произвести различные подгонки для текущего набора данных за счет изменения названия этих данных. С этой целью можно воспользоваться так называемым Редактором Графиков (Plot Editor), который будет рассмотрен в дальнейшем.

Center and scale X data (Центрирование и масштабирование данных X) – Если данная опция выбрана, то данные центрируются (нуль переносится в среднее значение данных) и масштабируются к единичному стандартному отклонению (делятся на исходное стандартное отклонение). Это может потребоваться для повышения точности последующих математических вычислений. Если подгонка приводит к результатам, которые могут быть неточными, соответствующее предупреждение выводится на экран.

Plot fits (Подгонка кривых) – Эта панель позволяет визуально просмотреть результаты одной или более подгонок текущего набора данных.

·Check to display fits on figure (Отметьте методы для вывода на график) – Выберите методы подгонок, которые вы хотели бы использовать ивывести на график. Здесь имеются две основные возможности– выбор интерполянтов и выбор полиномов. Сплайновый интерполянт использует для аппроксимации сплайны, тогда как эрмитовый интерполянт использует специальную функцию pchip (Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial - Кусочно-кубический Эрмитовый Интерполяционный Полином). Полиномиальная подгонка использует функциюpolyfit. Вы можете одновременно выбрать любые методы подгонки для аппроксимации ваших данных. Если ваш набор данных содержит N точек, вам следует использовать для аппроксимации полиномы с не более чемN коэффициентами. В противном случае, ИПК автоматически приравнивает избыточное число коэффициентов нулю, что приводит к недоопределенности системы. Укажем, что при этом на дисплей выдается соответствующее сообщение.

·Show equations (Показать уравнения) – При выборе данной опции, уравнение подгонки выводится на ваш график.

·Significant digits (Значащие разряды) – Выберите число значащих разрядов для вывода на дисплей.

·Plot residuals (Построить графики разностей (невязок)) – При выборе данной опции, на график выводятся разности подгонок. Под разностью подгонки понимается разность между исходными данными и результатами подгонки для каждого значения аргумента исходных данных. Вы можете построить графики невязок как столбчатую диаграмму (bar plot), как график рассеяния (scatter plot), или же как линейный график. Построения можно осуществлять как в том же графическом окне, так и в отдельном.

При использовании подграфиков (subplots) для построения графиков многомерных данных, графики разностей могут быть построены только в отдельном графическом окне.

·Show norm of residuals (Показать норму разностей) – При выборе опции, на график выводятся также значения норм разностей. Норма разности является мерой качества

62