Файл: MATLAB. Довідник для користувача.pdf

r =

-12 8

p =

-4 -2

k =

[ ]

Функция residue с тремя входными (r, p, и k) и двумя выходными (b2, a2) аргументами выполняет обратную функцию свертки имеющегося разложения на простые дроби, в дробнорациональную функцию отношения двух полиномов.

[b2, a2] = residue(r, p, k)

b2 =

-4 8

a2 =

1 6 8

т.е. из данных предыдущего примера мы восстановили исходную передаточную функцию. В случае кратных корней процедура несколько усложняется, но остается разрешимой.

Интерполяция

Интерполяция является процессом вычисления (оценки) промежуточных значений функций, которые находятся между известными или заданными точками. Она имеет важное применение в таких областях как теория сигналов, обработка изображений и других. MATLAB обеспечивает ряд интерполяционных методик, которые позволяют находить компромисс между точностью представления интерполируемых данных и скоростью вычислений и используемой памятью.

46

Одномерная интерполяция

Двумя основными типами одномерной интерполяции вMATLAB-е являются полиномиальная интерполяция и интерполяция на основе быстрого преобразования Фурье.

1. Полиномиальная интерполяция

Функция interp1 осуществляет одномерную интерполяцию– важную операцию в области анализа данных и аппроксимации кривых. Эта функция использует полиномиальные методы, аппроксимируя имеющийся массив данных полиномиальными функциями и вычисляя соответствующие функции на заданных(желаемых) точках. В наиболее общей форме эта функция имеет вид

yi = interp1(x, y, xi, method)

где y есть вектор, содержащий значения функции; x – вектор такой же длины, содержащий те точки (значения аргумента), в которых заданы значения y; вектор xi содержит те точки, в которых мы хотим найти значения вектораy путем интерполяции; method – дополнительная строка, задающая метод интерполяции. Имеются следующие возможности для выбора метода:

•Ступенчатая интерполяция (method = 'nearest'). Этот метод приравнивает значение функции в интерполируемой точке к ее значению в ближайшей существующей точке имеющихся данных.

•Линейная интерполяция (method = 'linear'). Этот метод аппроксимирует функцию между любыми двумя существующими соседними значениями как линейную функцию, возвращает соответствующее значение для точки в xi (метод используется по умолчанию).

•Интерполяция кубическими сплайнами (method = 'spline'). Этот метод аппроксимирует ин-

терполируемую функцию между любыми двумя соседними значениями при помощи кубических функций, и использует сплайны для осуществления интерполяции.

•Кубическая интерполяция (method = 'pchip' или 'cubic'). Эти методы идентичны. Они используют кусочную кубическую Эрмитову аппроксимацию и сохраняют монотонность и форму данных.

Если какой-либо из элементов вектора xi находится вне интервала, заданного вектором x, то выбранный метод интерполяции используется также и для экстраполяции. Как альтернатива, функция yi = interp1(x, y, xi, method, extrapval) заменяет экстраполированные значения теми, которые заданы векторомextrapval. Для последнего часто используется нечисловое значение NaN.

Все методы работают на неравномерной сетке значений вектора x .

Рассмотрение скорости, требуемой памяти и гладкости методов. При выборе метода ин-

терполяции всегда нужно помнить, что некоторые из них требуют большего объема памяти или выполняются быстрее, чем другие. Однако, вам может потребоваться использование любого из этих методов, чтобы достичь нужной степени точности интерполяции(гладкости результатов). При этом нужно исходить из следующих критериев.

•Метод ступенчатой аппроксимации является самым быстрым, однако он дает наихудшие результаты с точки зрения гладкости.

•Линейная интерполяция использует больше памяти чем ступенчатая и требует несколько большего времени исполнения. В отличие от ступенчатой аппроксимации, результирующая функция является непрерывной, но ее наклон меняется в значениях исходной сетки(исходных данных).

•Кубическая интерполяция сплайнами требует наибольшего времени исполнения, хотя требует меньших объемов памяти чем кубическая интерполяция. Она дает самый гладкий результат из всех других методов, однако вы можете получить неожиданные результаты, если входные данные распределены неравномерно и некоторые точки слишком близки.

47

• Кубическая интерполяция требует большей памяти и времени исполнения чем ступенчатая или линейная. Однако в данном случае как интерполируемые данные, так и их производные являются непрерывными.

Относительные качественные характеристики всех перечисленных методов сохраняются и в случае двухили многомерной интерполяции.

2. Интерполяция на основе быстрого преобразования Фурье _

Функция interpft осуществляет одномерную интерполяцию с использованием быстрого преобразование Фурье (FFT). Этот метод вычисляет преобразование Фурье от вектора, который содержит значения периодической функции. Затем вычисляется обратное преобразование Фурье с использованием большего числа точек. Функция записывается в форме

y = interpft(x, n)

где x есть вектор, содержащий дискретные значения периодической функции, заданной на равномерной сетке, а n - число равномерно распределенных точек, в которых нужно оценить значения интерполируемой функции.

Двумерная интерполяция

Функция interp2 осуществляет двумерную интерполяцию - важную операцию при обработке изображений и графического представления данных. В наиболее общей форме эта команда имеет вид

ZI = interp2(X, Y, Z, XI, YI, method)

где Z есть прямоугольный массив, содержащий значения двумерной функции; X и Y являются массивами одинаковых размеров, содержащие точки в которых заданы значения двумерной функции; XI и YI есть матрицы, содержащие точки интерполяции (то есть промежуточные точки, в которых нужно вычислить значения функции); method – строка, определяющая метод интерполяции. В случае двумерной интерполяции возможны три различных метода:

•Ступенчатая интерполяция (method = 'nearest'). Этот метод дает кусочно-постоянную поверхность на области значений. Значение функции в интерполируемой точке равно значению функции в ближайшей заданной точке.

•Билинейная интерполяция (method = 'linear'). Метод обеспечивает аппроксимацию данных при помощи билинейной поверхности (плоскости) на множестве заданных значений двумерной функции. Значение в точке интерполяции является комбинацией значений четырех ближайших точек. Данный метод можно считать «кусочно-билинейным»; он быстрее и требует меньше памяти, чем бикубическая интерполяция.

•Бикубическая интерполяция (method = 'cubic'). Данный метод аппроксимирует поверхность при помощи бикубических поверхностей. Значение в точке интерполяции является комбинацией значений в шестнадцати ближайших точках. Метод обеспечивает значительно более гладкую поверхность по сравнению с билинейной интерполяцией. Это может быть ключевым преимуществом в приложениях типа обработки изображений. Особенно эффективным данный метод является в ситуациях, когда требуется непрерывность как интерполируемых данных, так и их производных.

Все эти методы требуют, чтобы X и Y были монотонными, то есть или всегда возрастающими или всегда убывающими от точки к точке. Эти матрицы следует сформировать с использованием функции meshgrid, или же, в противном случае, нужно убедиться, что «схема» то-

48

чек имитирует сетку, полученную функцией meshgrid. Перед интерполяцией, каждый из указанных методов автоматически отображает входные данные в равномерно распределенную сетку. Если X и Y уже распределены равномерно, вы можете ускорить вычисления добавляя звездочку к строке метода, например, '*cubic'.

Сравнение методов интерполяции

Приведенный ниже пример сравнивает методы двумерной интерполяции в случае матрицы данных размера 7х7.

1. Сформируем функцию peaks на «грубой» сетке (с единичным шагом).

[x, y] = meshgrid(-3 : 1 : 3); z = peaks(x,y);

surf(x,y,z)

где функция meshgrid(-3:1:3) задает сетку на плоскостиx и y в виде двумерных массивов размера 7х7; функция peaks(x,y) является двумерной функцией, используемой в MATLAB-е в качестве стандартных примеров, а surf(x,y,z) строит окрашенную параметрическую поверхность. Соответствующий график показан ниже.

2. Создадим теперь более мелкую сетку для интерполяции (с шагом 0.25).

[xi,yi] = meshgrid(-3:0.25:3);

3. Осуществим интерполяция перечисленными выше методами.

zi1 = interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');

49

zi2 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bilinear');

zi3 = interp2(x,y,z,xi,yi,'bicubic');

Сравним графики поверхностей для различных методов интерполяции.

Интересно также сравнить линии уровней данных поверхностей, построенных при помощи специальной функции contour.

Отметим, что бикубический метод производит обычно более гладкие контуры. Это, однако, не всегда является основной заботой. Для некоторых приложений, таких, например, как обработка изображений в медицине, метод типа ступенчатой интерполяции может быть более предпочтительным, так как он не «производит» никаких «новых» результатов наблюдений.

Анализ данных и статистика

В данном разделе будут рассмотрены некоторые основные возможности системы MATLAB в области анализа данных и статистической обработки информации. Помимо базовых функций, в системе MATLAB имеется также ряд специализированных пакетов, предназначенных для решения соответствующих задач в различных приложениях(на английском языке даны названия пакетов) :

·Optimization – Нелинейные методы обработки данных и оптимизация.

·Signal Processing – Обработка сигналов, фильтрация и частотный анализ.

·Spline – Аппроксимация сплайнами.

50