Файл: MATLAB. Довідник для користувача.pdf

X =

Отрицательные и дробные степени

Если А является квадратной и невырожденной, то A^(-p) эквивалентно умножению inv(A) на себя p раз.

Y = B^(-3)

Y =

0.0053 -0.0068 0.0018 -0.0034 0.0001 0.0036 -0.0016 0.0070 -0.0051

Дробные степени, например A^(2/3), также допускаются; результаты при этом зависят от распределения собственных значений матрицы А.

Поэлементное возведение в степень

Оператор .^ (с точкой !) осуществляет поэлементное возведение в степень. Например,

X = A.^2

Вычисление корня квадратного из матрицы и матричной экспоненты

Для невырожденных квадратных матриц А функция sqrtm вычисляет главное значение квадратного корня , т.е. если X = sqrtm(A) , то X*X = A . Буква m в sqrtm означает, что выполняется матричная операция. Это отличает данную функцию отsqrt(A), которая, подобно A.^(1/2) (обратите внимание на точку!), выполняет операцию извленчения корня поэлемен-

тно.

Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде

dx/dt = Ax

где x = x(t) есть векторная функция от t, а A есть постоянная матрица не зависящая от t. Решение данной системы может быть выражено в виде матричной экспоненты.

x(t) = ℮Atx(0)

Функция expm(A) вычисляет матричную экспоненту. Рассмотрим пример системы дифференциальных уравнений со следующей 3х3 матрицей коэффициентов

A =

36

и начальными условиями x(0)

x0 = [ 1 1 1]’.

Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравнения в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ≤ t ≤ 1 записывается в виде

X = [ ];

for t = 0 : 0.01 : 1

X = [X expm(t*A)*x0];

end

Трехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи специальной функции

plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), '-o')

Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Такое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициентов А.

Собственные значения и собственные векторы

Собственным значением и собственным вектором квадратной матрицы А называются скаляр λ и вектор v, удовлетворяющие условию

Av = λv

37

Диагональная декомпозиция

Имея диагональную матрицу Λ, составленную из собственных значений λ матрицы А и матрицу V , составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записать

AV = VΛ

Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А

А = VΛV-1

Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше матрица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения

lambda = eig(A)

дает следующий вектор-столбец собственных значений(два из них являются комплексносопряженными)

lambda =

-3.0710 -2.4645 + 17.6008i -2.4645 - 17.6008i

Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечивает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.

При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выдает собственные значения в виде диагональной матрицы

.

Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.

Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице D.

38

Дефектные матрицы

Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает

V =

-0.4741 -0.4082 -0.4082

D =

Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-

висимых собственных векторов не существует(и поэтому не существует обратная матрица

V-1).

Сингулярное разложение матриц

Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-

трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотношения

Av = σu ATu = σv

Имея диагональную матрицу сингулярных чиселΣ и две ортогональные матрицыU и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать

AV = U Σ

ATU = V Σ

Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-

ного разложения

A = U ΣVT

Полное сингулярное разложение матрицыА размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столбцов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столбцов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая

39

экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матрицы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.

Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда последняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рассмотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений относятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло- жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной матрицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.

Для матрицы

A =

полное сингулярное разложение задается в форме

[U,S,V] = svd(A)

и приводит к следующим результатам

U =

-0.6105 0.7174 0.3355 -0.6646 -0.2336 -0.7098 -0.4308 -0.6563 0.6194

S =

V =

-0.6925 0.7214 -0.7214 -0.6925

Вы можете убедиться, что матрица U*S*V' равна А с точностью до ошибок округления. Для этого примера экономичная декомпозиция дает незначительный эффект.

[U,S,V] = svd(A,0)

U =

-0.6105 0.7174 -0.6646 -0.2336 -0.4308 -0.6563

S =

V =

40