Файл: Федорова Т.К. Закономерности формирования химического состава линз пресных вод пустынь.pdf

Нормальное распределение вероятностей является дифференци­

При исследовании положительно асимметричных распределе­ ний обычно применяется логарифмирование случайных величин (Vislelius, 1960, Смирнов, 1963, Родионов, 1964). Если логарифмы случайной величины распределены нормально, то распределение самой случайной величины называют логарифмически нормальным. Функция логарифмически нормального закона описывается урав­ нением

где y = \ga;

а, о2— математическое ожидание и дисперсия lg х.

О ц е н к а п а р а м е т р о в э м п и р и ч е с к и х р а с п р е д е л е ­ ний. Эмпирический ряд распределения характеризуется частотой П[, показывающей сколько раз наблюдалось то или иное значение случайной величины. Сумма всех частот дает объем ряда п

П

( 14)

л -1

где п — объем ряда; га,-—частота в і-м интервале.

При п, стремящемся к бесконечности, ряд частот будет прибли­ жаться к распределению вероятности случайной величины, которое описывается соответствующими функциями распределения. Пара­ метрами нормально распределенной случайной величины х являют­ ся а и а2.

Статистической оценкой х параметра а, представляющего сред­

;>27

нее значение случайной величины, является среднее арифметиче­ ское из имеющихся значений xt

Статистическая оценка s2 параметра а2, который характеризует степень рассеяния единичных значений случайной величины xt во­

круг среднего х, вычисляется по уравнению

П

1-1

где X — среднее арифметическое случайной величины х\ п — объем ряда; х {—значение случайной величины.

Основные ошибки среднего значения s* и стандартного откло­

веряемую гипотезу принято называть нулевой. Для проверки необ­ ходимо предположить, что эмпирический ряд может быть описан одной из известных функций распределения. С этой целью вычисля­ ются теоретические (выравнивающие) частоты п, идеального рас­ пределения с параметрами, тождественными оценкам эмпирическо­ го ряда (Митропольский, 196]). Оценка 'расхождения наблюденных и теоретических частот производится при помощи критериев соот­ ветствия. Мы используем критерий Пирсона, который вычисляется по формуле

П^

Нулевая гипотеза не отвергается и расхождение считается слу­ чайным, если теоретическая величина %2р при выбранном уровне значимости Р и соответствующем числе степеней свободы превы­ шает эмпирическую величину %2. Уровень значимости Р определяет вероятность, которой можно пренебречь при исследовании. Обычно применяют Р=0,05 уровень значимости, который достаточно велик для отбрасывания ложных гипотез и мал для отбрасывания пра­ вильных (Митропольский, 1961).

28

Число степенен свободы раві-iö

где к — число классов распределения;

т— число наложенных связей.

Для нормального (или логарифмически нормального) распре­ деления т = 3.

Применение критерия %2 обоснованно только в случае, если ни одна из разрядных частот т не будет очень мала (Митропольский, 1961). Поэтому критерий %2 не применяется при оценке соответствия малых выборок. Для них используется графический метод соответ­ ствия, предложенный Н. В. Смирновым, И. В. Дуниным-Барковским (1955).

С р а в н е н и е р а с п р е д е л е н и й . Если функции распределе­ ния случайных величин имеют один и тот же вид, то проверка ги­ потезы о тождестве распределений представляет собой проверку гипотез о равенстве соответствующих им параметров распределе­ ния. Так как нормальная (и логнормальная) функция распределе­ ния зависит от двух параметров (а и о2), то проверка гипотезы о ра­ венстве распределений представляет собой проверку правдоподо­ бия двух гипотез: 1) об однородности ряда статистических оценок дисперсий и 2) о равенстве центров распределения содержаний (Родионов, 1963). Если имеется т сравниваемых групп значений концентраций, то для проверки нулевых гипотез необходимо выяс­ нить, что:

Проверку однородности дисперсии в т логарифмически нормаль­ но распределенных выборках можно выполнять, пользуясь крите­ рием Бартлета %2

29

здесь т — количество выборок (или районов); rij— число анализов в і-оі-і выборке;

N — общее число анализов.

Величина %2 распределена по закону Пирсона %2с т — 1 степеня ми свободы. Если вычисленное значение %2 превысит допустимое Z2O,Ü5 при заданном уровне значимости 0,05 и степенях свободы J— m — 1, то нулевая гипотеза Я0 об однородности ряда статистиче­ ских оценок дисперсий логарифмов отвергается.

Если нулевая гипотеза 1 не отвергается, то переходим к провер ке нулевой гипотезы 2 о равенстве центров распределения логариф­ мов содержаний. Проверка этой гипотезы проводится при помощи критерия, аналогичного критерию Стыодента, заключающегося в нахождении т величин tt

Величины ti распределены по закону Стыодента с N — 2 сте­ пенями свободы. Нулевая гипотеза о равенстве центров распреде­ ления логарифмов содержаний отвергается, если хотя бы одно зна­

Если распределения двух величин описываются функцией одно­ го типа, то между этими величинами может существовать вероят­ ностная связь.

Для выяснения зависимости между двумя случайными величи­ нами, распределение которых отвечает однотипным законам (Смир­ нов, Дунин-Барковский, 1959), применяется выборочный, или эмпи­ рический, коэффициент корреляции г. При нормальном законе рас­ пределения случайных величин х и у:

где хі и Уі — значения случайных величин х и у,

X, у — средние значения случайных величин; п — число наблюдений;

sx и Sy — средние квадратичные отклонения случайных вели­ чин X и у.

30