Файл: Тригг Дж. Решающие эксперименты в современной физике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.07.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
В ОЗ НИКНОВ ЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О КВАНТЕ |
17 |
ми, находящимися при одинаковой температуре Т. (Возмож ность неравенства этих величин при какой-либо одной дли не волны, что компенсировалось бы обратным неравенством при другой, также исключается, поскольку в этом случае можно было бы воспользоваться надлежащим образом по добранными селективными отражателями.) Таким образом, в принятых обозначениях,
Ях = е>,-
Как мы увидим, возможность экспериментального измере ния величины ех фактически основывается на этой идентич ности .
Предположим теперь, что в полость помещено обычное, т. е. не черное, тело, находящееся при температуре Т. Мощ ность падающего на него излучения, приходящаяся на еди ницу площади поверхности и на единичный интервал длин волн, по-прежнему равна Rx. Но теперь поглощается не все излучение. Поглощенная телом относительная доля излу чения с длиной волны К называется коэффициентом погло щения11 и обозначается через ах. Он может зависеть как от температуры тела, так и от свойств материала поверхности. Поглощаемая единицей площади поверхности тела мощность излучения с длиной волны X, приходящаяся на единичный интервал длин волн, очевидно, равна axRx. С другой сторо ны, приходящаяся на единичный интервал длин волн мощ ность, излучаемая единицей площади поверхности на длине волны X есть, по определению, Ех. Эти величины должны быть равны, т. е.
axRx — Ех,
или
Воспользовавшись установленным ранее равенством, полу чим
Таким образом, мы пришли к выводу, что для реального тела отношение спектральной плотности к коэффициенту
11 Другое название для этой величины — «поглощательная способ ность». — Прим. ред.
18 ГЛАВА 2
поглощения при данной длине волны и температуре не за висит от свойств материала.
Это соотношение еще раз подчеркивает то значение, ка кое имеет излучение черного тела. Вот как трактуют его О. Люммер и Э. Прингсгейм, экспериментальные работы которых, посвященные исследованию излучения черного тела, будут описаны ниже:
Следовательно, если мы знаем излучение черного тела как' функ цию температуры, то знаем и законы излучения для всех тел, для кото рых известна зависимость их поглощательной способности от длины волны и температуры. Экспериментально, вероятно, легче решить обратную задачу, а именно определить поглощательную способность А по величине Е , найденной путем исследования излучения тела.
Вышеприведенные рассуждения определили тот огром ный интерес, который проявлялся в конце XIX в. к проб леме излучения черноготела. Однако большая часть наиболее интересных результатов носила характер эмпирических выводов, базирующихся на данных, полученных при наблю дении спектрального распределения излучения реальных тел. Так, например, в 1896 г. Ф. Пашен, сообщая результаты своих собственных исследований подобного типа, цитировал около полудюжины более ранних работ. Пашен предложил одно из простейших выражений для спектрального распре деления излучения: Е-к—Ск~ае~^ХТ, где С, а и с — кон станты, зависящие от природы материала, а Т — абсолют ная температура11. Единственный эмпирический результат того времени, сохранивший свою справедливость и, следо вательно, полезность до наших дней,— это результат, по лученный Й. Стефаном в 1879 г. Стефан установил, что полная мощность (для всего спектра длин волн), излучае мая единицей площади поверхности, пропорциональна чет вертой степени абсолютной температуры излучающего тела.
В теоретических исследованиях также не было недо статка. Так, в 1884 г. Людвиг Больцман опубликовал две работы, в которых показал, что эмпирическое соотношение,
11 Основание натурального логарифма 2,71828... мы обозначаем прямой буквой е, хотя это не является общепринятым. Так сделано для того, чтобы читателя не смущало применение одного и того же символа для обозначения различных величин, поскольку курсивная буква е уже использовалась для обозначения спектральной плотности, а в даль нейшем применяется и для обозначения заряда электрона.
к '
В ОЗ НИКНОВ ЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О КВАНТЕ |
19 |
полученное Стефаном, должно быть справедливым и для черного тела. (Упомянутое соотношение впоследствии получило название закона Стефана —: Больцмана.) Девятью годами позже Вильгельм Вин получил два весьма важных соотношения. Он заметил, что если объем полости умень шать, скажем вдвиганием в нее соответствующего поршня, то энергия излучения, приходящаяся на единицу объема полости, будет возрастать — и не только за счет ее локали зации в меньшем объеме, но также потому, что излучение оказывает давление на поршень и, следовательно, при дви жении поршня, сжимающего излучение, совершается работа по преодолению этого давления. Плотность энергии может также возрастать за счет повышения температуры в полости. Приращения плотности энергии, обусловленные этими двумя причинами, связаны вторым законом термодинамики, при чем соотношение между ними должно быть справедливым не только для полной плотности энергии, но также и для плотности энергии в бесконечно малом интервале длин волн. Но, с другой стороны, движение поршня в силу эффекта Доплера приведет к изменению длины волны отраженного от него излучения, и, следовательно, изменение температуры должно сопровождаться также изменением распределения плотности энергии по длинам волн. Из этих рассуждений вытекают количественные выводы двоякого рода. Во-пер вых, если необходимо сопоставить значения двух зависящих от длины волны физических величин при двух различных температурах, то нельзя брать эти значения при одной и той же длине волны. Так, если физическая величина, опре деленная при температуре Т и длине волны %, сравнивается с другой величиной, определенной при температуре Т', то необходимо брать ее значение при длине волны К’, которая задается условием
К'Т' = КТ. |
(2.1) |
Во-вторых, спектральные плотности, отвечающие этим дли нам волн, должны изменяться с температурой согласно соот
ношению
е> _ ( 2. 2) •
~т'ъ-
Вчастности, если величина ех (при фиксированной абсо лютной температуре Т) имеет максимальное значениеех, макс
20 |
ГЛАВА 2 |
при некоторой длине волны Хт, то значение ех,накс при дру гих значениях температуры удовлетворяет соотно пению
ех, макс т~ъ= const, |
(2.2а) |
тогда как Хт удовлетворяет соотношению
ХтТ = const. |
(2.1а) |
Соотношения (2.1) и (2.2) известны под названием законов смещения Вина. Хотя сам Вин и не отмечал это, но совмест но они означают, что выражение для ех в общем случае дол жно иметь вид
ex = l - ‘ f(XT), |
(2.3) |
или, что то же самое,
ex= r°F (КТ),
где F (XT)=(XT)~5f(XT). Эти соображения не определяют явный вид функций f (КТ) и F (XT), однако устанавливают, что они зависят от X и Т лишь через произведение XT. Заметим, что с помощью любого из этих соотношений мож но вывести закон Стефана — Больцмана.
Вышеприведенные соотношения исчерпывают все, что могло быть установлено на основе классической теории без привлечения более детальных гипотез. Правда, Вин в своей более поздней работе (1896 г.) пошел несколько дальше и получил явное выражение для величины ех, сделав опреде ленные предположения о процессе излучения молекулып. Выражение, полученное Вином,
ex = CX-'°e-cFT |
(2.4) |
не противоречит выражению (2.3) и согласуется с эмпири ческой формулой Пашена. Однако оно не получило всеоб щего признания, так как ряд физиков сомневался в справед ливости сделанных Вином предположений.
Единственным человеком, не только принявшим этот вывод, но и предложившим дополнительные соображения в его пользу, был Макс Планк. Проблема излучения черного1
11 В известном смысле использование представлении о молекулах для исследования черного тела выводит эту работу за рамки классиче ской физики (ср. гл. 1).
В ОЗ НИКНОВ ЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О КВАНТЕ |
21 |
тела привлекла Планка тем, что соответствующий закон распределения носит «абсолютный» характер, т. е. не за висит от материала стенок полости. Планк использовал это обстоятельство в своей работе, представив стенки в виде ан самбля гармонических осцилляторов. Его подход к пробле ме черного тела всегда основывался на термодинамике ан самбля, причем особое внимание уделялось термодинами ческой величине, называемой энтропией0. Здесь нет нужды давать точное определение этой величины. Для нас сущест венно лишь то, что она является мерой беспорядка в системе н что, согласно второму закону термодинамики, с которым Планк был основательно знаком, изменения во всякой изо лированной системе происходят таким образом, что ее энт ропия возрастает. Из этого вытекает, что равновесным со стоянием системы является состояние, для которого энтро пия максимальна. Как уже упоминалось, состоянием равно весия для полости является состояние, в котором полость наполнена излучением черного тела. Следовательно, зада ча, стоявшая перед Планком, заключалась в том, чтобы вы числить энтропию введенного им ансамбля гармонических осцилляторов.
Первая работа Планка была опубликована в 1899 г. (когда он еще не был знаком с интерпретацией энтропии как меры «беспорядка»), В ней Планк рассматривал энтропию отдельного осциллятора и пытался найти ее связь с энергией осциллятора U. Он нашел, что основной величиной является кривизна R кривой*2’ зависимости энтропии от энергии, и, исходя из ошибочного предположения, сделал вывод, что
* = - £ , |
М |
где а — положительная величина, которая в общем случае может зависеть от частоты. Закон излучения, к которому приводит это равенство, совпадает с выражением (2.4) при
а=\/с.
11 Подробнее о понятии энтропии см. книгу: М . W. Zemansky, Tem peratures Very Low and Very High, Momentum Book, № 6, Amsterdam, 1964, Ch. 2. (На русском языке см. Ф. Кемпфер, Путь в современную физику, изд-во «Мир», М., 1972, гл. 12 и 13.— Прим, ред.)
2> Кривизна в любой точке гладкой кривой определяется как обрат ная величина радиуса окружности, которой можно наиболее точно ап проксимировать кривую в этой точке.
22 |
ГЛАВА 2 |
Заслуживает упоминания еще одна теоретическая работа, хотя в действительности она была опубликована позднее соответствующей экспериментальной работы. В 1900 г. лорд Рэлей предположил, что при колебаниях полости ча стота колебаний, обусловливающих возникновение стоячих волн внутри нее, не может быть произвольной — она опре деляется геометрией полости, подобно тому как частота ко лебаний струны определяется ее длиной. Если это так, то излучение в полости должно представлять собой суперпо зицию стоячих волн с частотами, возможными для данной полости. Можно вычислить число различных типов колеба ний с длиной волны от к до k-\-dk, приходящееся на единицу объема полости. (Символ dk здесь не означает бесконечно малую величину в математическом смысле, а используется лишь для того, чтобы подчеркнуть, что рассматриваемый интервал длин волн мал по сравнению с полной ширимой спектра). Согласно известному принципу классической ста тистической механики — закону равномерного распределе ния энергии по степеням свободы — на каждый из этих ти пов колебаний приходится одна и та же средняя энергия, равная kT, где Т — абсолютная температура полости, а k — универсальная постоянная. На основе этого рассмот рения можно получить выражение для энергии, приходя щейся на единицу объема полости и на единичный интервал длин волн, т. е. для спектральной плотности; оно имеет вид
e^ = 8nckTk~4. |
(2.6) |
Это выражение согласуется с общей формулой (2.3). Однако оно имеет один существенный недостаток: полная энергия излучения в полости, вычисленная по этой формуле, ока зывается равной бесконечности11. Причина этого заключа ется в том, что вклад коротковолнового излучения в спек тральную плотность очень быстро возрастает с уменьшени ем длины волны. Поскольку малые длины волн тогда ассо циировались с ультрафиолетовым излучением, эта расходи мость получила название «ультрафиолетовой катастрофы».
11 Интересно отметить, что это было не первым указанием на на рушение закона равномерного распределения энергии. Еще в 1859 г. Максвелл отмечал, что на основе этого закона нельзя дать адекватного объяснения отношения удельных теплоемкостей газа.
