Файл: Зыбин А.Ю. Двухосное растяжение материалов для верха обуви.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.08.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Варианты напряженных состояний

плоских образцов листовых материалов

Ш

ІГ

1 : 1/2

 

 

1 : 3/4

а

 

Двухосное сложное

 

= Сті cos2 ф +

а 2

sin2 ф

 

 

 

 

 

 

 

 

0 °

 

-

 

О Ч

so'-Щ -а а ’

M'tßjSgrj-SO’-

 

0*

45

^тах-^б,

fmax-g

б,

 

1 - 0,8

/■ ■ 0,9 -

Т а б л и ц а 2

У

й

: 1

Двухосное симметричное

аф= Ö! = о3

т = О

I

/ х

\

 

І,'

\\

 

90 /

Cl

------\-

v W

у \ /

j

 

Ч \ /

у/

 

8ь

/:/

15

форму. Для упрощения дальнейших выводов необходимо сде­ лать допущение, позволяющее рассматривать сложное напря­ женное состояние заготовки как сумму определенных плоско­ напряженных состояний. Конечно, при этом нарушается связь между «натурой» и образцом, но те закономерности, которые будут выяснены в дальнейшем, могут быть перенесены и на сложную пространственную форму обуви [9].

В общем случае, как отмечается в работе Я- Б. Фридмана [2], сила, действующая на какой-либо определенной площадке, не перпендикулярна к этой площадке (кроме ср = 90° и ср = 0), а направлена под некоторым углом к ней (рис. 3). Эту силу, как всякий вектор, можно разложить на две составляющие: нор­ мальную силу, вызывающую нормальные напряжения сгф (дей­ ствующие перпендикулярно к площадке), и касательную силу, вызывающую касательные напряжения тф (действующие в пло­ скости площадки).

Разложение полного усилия для данной площадки на нор­ мальную и касательную составляющие оказалось целесообраз­ ным, так как механические свойства материалов в значительной мере определяются удельными величинами этих составляющих.

Если бы напряжения всегда определялись только для како­ го-либо одного определенного сечения, то в данной точке был бы единственный вектор и отличие напряжения от силы, дейст­ вующей на всю площадку сечения, заключалось только бы в величине.

В действительности дело обстоит значительно сложнее, так как в общем случае необходимо знать полностью значения на­ пряжений не только для какого-либо одного, но и для любого сечения, проходящего через данную точку тела. Но так как че­ рез данную точку тела, очевидно, можно провести бесчисленное множество различно ориентированных площадок, то, следова­ тельно, при данных внешних нагрузках каждой ориентированной площадке будут соответствовать определенные величины и на-

Продолжение табл. 2

О

со

1 : 0 , 9

I : 1

с /''JL/*

да”{Ж}

з о Щ

8

Іі

О

 

 

°^тах

3 0

dmax

 

 

 

 

 

 

 

правления нормальных и касательных составляющих напряже-

В теории сопротивления материалов путем несложных мате­ матических операций выводятся формулы для определения нор­ мальных и касательных составляющих напряжения в зависи­ мости от ориентировки рассматриваемой площадки относительно

главных напряжений:

а = Ci cos2 cp -г стг sin2 cp;

Тф = - Ь ( аі — a2)sin2cp.

В табл. 2 показано несколько вариантов напряженных со­ стояний. Принцип построения таблицы взят из работ Я -Б . Фрид­

мана [2

15] В первой строке табл. 2 даны схемы

нескольких

вариантов элементарной1 Р ч-t

частицы, мысленно выделенной из маР\­

териала

и

Ррастягиваемой

в перпендикулярных направленияхР 2

усилиями

и

соотношение которых

различно.

Усилие

во всех пяти вариантах принято равным

1, а усилие

меняет­

ся от 0

до

1 так,

как показано в следующей строке табл. 2.

В каждом варианте показаны также площадки, наклоненные под некоторым углом ср к направлению приложения главного

растягивающего усилия, а на этих площадках

нормальные оф

и касательные тф

составляющие напряжения.

Эпюры

их изме

нения в зависимости от угла ориентировки сечения

построен­

ные по формулам

(4), также показаны в табл. 2.

Надо еще

раз отметить, что формулы справедливы для изотропного, од­

нородного и линейно-упругого тел.

Далее показаны также пять вариантов окружностей, нане сенных на материал. Деформация окружностей при разных способах нагружения должна быть различной. О формоизменении,

окружности, отмеченной

на

материале, говорится на с. ö

В последней строке табл.

2

показаны изменения некоторых ха­

рактерных параметров эллипсов, которые возникают при дефор-

мировании окружности, отмеченной на материале. Об этом будет подробнее сказано на с. 19—21.

В зависимости от отношения растягивающих усилий Р\ и Р2, т. е. от степени двухосиости, характеристика напряженного состоя­

ния листового

изотропного

материала

будет

различной [16].

При отношении

Р \'.Р2 —

1: 0 имеет место одноосное растяжение

(колонка РI),\ 'Рпри2 = увеличении

Р2

от 0 до

1— сложное двухосное

несимметричное напряженное состояние, которое в крайнем слу­

чае при

 

1:1 будет

характеризоваться

как двухосное

симметричное

напряженное

состояние (колонка V ).

В случае

одноосного напряженного

состояния, показанного

в колонке I, оз = 0, поэтому оф =oiCos2cp, Полная картина распре­ деления нормальных и касательных напряжений для площадок, наклоненных под различными углами ср к оси приложения глав­

ного растягивающего усилия

Р и

является довольно сложной.

Величина нормального напряжения достигает максимального

значения при coscp=l, т. е. при

ср = 0. При этом

оФ =Оь

а ка­

сательное напряжение

тФ= 0 , так как

sin0° = 0.

Касательное

напряжение

достигает

максимального

значения

при sin 2ср = 1,

т. е. при ф= 45°. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

В

 

Ттр.х — -^ -sin 2 •45° =

 

9

 

уси­

случае0 увеличения второго

главного

растягивающего

лия,

когда

< / 3 <

1

,

возникает

сложное

напряженное состоя­

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

ние. Эпюры изменения нормальных и касательных составляю­ щих напряжения в зависимости от угла ср ориентировки сечения меняются, что показано в колонках II— IV табл. 2.

Ясно видно, что сложное напряженное состояние является суммарным результатом наложения двух одноосных напряжен­ ных состоянии, возникающих на рассматриваемой площадке от взаимно перпендикулярных растягивающих усилий Р\ и Р 2. При ср = 0 Оф = сг1, а при ф= 90° аФ— а2.

Максимальные касательные напряжения, как и в случае одноосного напряженного состояния, будут возникать при

siп2ср =

1,

т. е. при угле 45°, но в случае сложного напряженного

состояния

величина их будет определяться разностью

щ и

о2

 

При

 

Тгпах —

2

^ 2^'

 

напря­

возрастании второго

главного растягивающего

жения

до

первого главного,

когда

а2-+Оі,

картина распределе­

ния нормальных и касательных напряжений упрощается.

В край­

нем случае при двухосном симметричном напряженном состоя­

нии СТФ

= 0 1

=

a2

=

const.

о2^ - а

 

Касательные

напряжения при

і уменьшаются, и при

о1— 02 т ф

0.

 

 

 

 

 

18

Можно сделать вывод, что при двухосном симметричном на­ пряженном состоянии получается наиболее простая характерис­ тика его: Стф = const, Тф = 0.

Такое напряженное состояние в любых направлениях харак­ теризуется лишь одним параметром, в то время как даже одно­ осное растяжение (или сжатие), несмотря на простоту его получения, имеет сложную картину изменения нормальных и касательных напряжений. Поэтому симметричное двухосное растяжение может быть положено в основу новых объективных методов определения и контроля качества материалов.

ВЛИЯНИЕ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ НА ИЗМЕНЕНИЕ ФОРМЫ ОКРУЖНОСТИ ПРИ ПЛОСКОНАПРЯЖЕННОМ ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ

В табл. 2 показано, как изменяются касательные напряже­ ния в зависимости от степени двухосности и угла ориентировки

сечения площадки, для ко­

 

 

 

 

 

торой

они

определяются.

 

 

 

 

 

Рассмотрим

роль

касатель­

 

 

 

 

 

ных напряжений в процессе

 

 

 

 

 

деформации

материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

Как

видно,

 

касательные

 

 

 

 

 

напряжения

изменяются

от

 

 

 

 

 

максимального

 

значения

до

 

 

 

 

 

нуля в зависимости от сте­

 

 

 

 

 

пени двухосности. Известно,

 

 

 

 

 

что касательные напряжения

 

 

 

 

 

ведут

 

к

изменению углов

 

 

 

 

 

между прямыми, отмечен­

 

 

 

 

 

ными на материале.

 

 

 

 

 

 

 

 

На

рис. 4 дана схема к

 

 

 

 

 

расчету угла

а

между ради­

 

 

 

 

 

ус-вектором и нормалью эл­

 

 

 

 

 

липса.

В

любой

точке

 

ок­

 

 

 

 

 

ружности

радиус-вектор

 

OL

 

 

 

 

 

II

нормаль

LB

совпадают.

радиус-вектором

и нормалью

 

эллипса

 

 

а

При

деформации

окружно­

 

сти

в

эллипс

 

картина

 

М

Рис.

4. Схема к

расчету угла

 

между

 

 

ме­

 

 

 

 

 

няется.

В

каждойM N

точке

 

 

 

 

 

 

эллипса

радиус-вектор

ОМ

а.

Этот угол

равен нулю только

и нормаль

 

 

образуют угол

в местах пересечения эллипса с осями Л' и У (радиус-вектор и

нормаль совпадают),

где-то между осями угол принимает мак­

симальное значение.

Также изменяется и касательное напря­

жение (см. табл. 2):

при угле ср = 0 и ср = 90°; т<р = 0 ; при угле

Ф = 45° оно имеет максимальное значение.

2*

19

 

Рассмотрим

подробнее характер

изменения угла

а в зависи­

мости

от

угла

t.

 

 

 

 

 

Угол между двумя прямымиКопределяется так:

5

 

 

 

 

 

 

 

Кі

 

( )

 

К\

 

К2 -

tga =

о -КіК.

’

где

и

1+

 

 

 

— соответствующиеугловые коэффициенты пере­

 

 

 

 

секающихся

прямых.

 

tg^, поэтому

 

Угловым коэффициентом

 

радиус-вектора будет

К ,= tgf.

Угловой коэффициент нормали Кг найдем через угловой ко­ эффициент /<з касательной в точке М эллипса, так как угол между перпендикулярными прямыми, а в данном случае между нормалью и касательной выражается так:

1

 

 

 

 

 

 

 

 

К3

 

 

(6 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

эллипса ~'с[х~ '

Угловой коэффициент Къ есть производная

Как отмечено выше,X уравнение эллипса в параметрической

форме выглядит так:

у

=

b

 

 

t,

 

 

 

 

 

 

 

 

acost;

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

sin

 

t

 

b

,

,

 

 

 

 

 

Ь

 

 

поэтому

 

 

 

 

а

 

cosI

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

— ctg Л

По формуле

(6) получаем

Кг = —

tg£.

 

 

 

 

 

ь

 

 

Подставляем

значения

К\

и

Кг

в формулу (5) и, упрощая

выражение, получаем

 

 

 

 

(а

 

b) igt

 

(7)

 

 

 

 

 

 

 

Ь -—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у a tg2t

 

 

 

Задаваясь различными значениями угла t, можно вычислить угол между радиус-вектором и нормалью.

а : В табл. 2 показаны эпюры изменения угла между радиус-

вектором и нормалью.

аВидно.

, что чем

меньше

отношение

Ь,

т. е. чем меньше

вытянут эллипс, тем

меньше и макси­

мальное значение угла

С другой стороны, чем

меньше раз­

ность между взаимно перпендикулярными растягивающими усилиями, тем меньше изменяется форма окружности, нанесен­ ной на материал, и тем меньше величина ттахЗдесь опять вы­ ступает роль касательных напряжений. Характер изменения касательных напряжений совпадает не только с изменением угла между радиус-вектором, но и по максимальным значе­ ниям: чем больше величина Ог приближается к сц, тем меньше касательное напряжение, тем меньше окружность меняет свою

20

Смотрите также файлы