Файл: Миндели, Э. О. Разрушение горных пород учебное пособие.pdf

•случае они приобретают ясный физический смысл, определяя законы распространения поверхностей слабых возмущений в жидкостях и газе. Основная идея метода характеристик заключается в за­ мене уравнений газовой динамики в частных производных систе­ мой дифференциальных уравнений.

Для более наглядного представления о свойствах простых волн дернемся к знакомому примеру с трубкой, наполненной газом и огра­ ниченной с одной стороны порш­

диться.

При вдвигании поршня в трубку картина несколько изменяется. В этом случае при каждом ускорении поршня от него будут распро­ страняться отдельные волны сжатия (рис. 56), скорость распростра­ нения которых определяется наклоном характеристик С* к оси ордишат, который постоянно увеличивается. Это связано с тем, что каж­

152

дая последующая волна сжатия будет проходить по более плотному газу, вследствие него амплитуда волны будет непрерывно увеличи­ ваться.

Характеристики в этом случае будут пересекаться (точка Д). Однако, как установлено, пересечение характеристик невозможно- с физической точки зрения, поскольку скорость вдоль каждой из них является постоянной. Поэтому в точке пересечения характеристик

параметров, описывающих движение {и, с, р, р) зависит от аргу­ мента xlt, имеющего размерность скорости.

Если построить графики плотности и скорости движения газа за фронтом центрированной волны разрежения (рис. 57), то распреде­ ление всех параметров по координате х будет лишь растягиваться, в пространстве, оставаясь подобным себе.

Так как линейные параметры изменяются пропорционально вре­ мени £, картина движения будет все время одинаковой, что и является основным свойством автомодельного движения.

В общем случае автомодельное движение характеризуется вы­ ражением z = x/ta, в рассмотренном примере а = 1.

Примером простейшего автомодельного движения является дви­ жение газа в трубке, из которой выдвигается поршень с постоянной

155

•скоростью. В этом случае все характеристики, включая головную ОЛ н хвостовую ОВ липин волны разрежения, будут исходить из одной точки (рис, 58). Поэтому такие волны называются центрированными. Уравнение центрированной волны имеет вид

х = [u-f-c(n)] t.

Оно описывает начальную стадию движения газа при выдвижении поршня, даже если газ занимает конечный объем.

§45. Основы теории ударных воли

Впредыдущем параграфе был рассмотрен пример с поршнем, выдвигающимся из газа и образованием центрированной волны разре­ жения. Казалось бы, что аналогичное решение должно получиться при вдвнженнп поршня, т. е. при сжатии газа, ибо и то и другое движение автомоделыто. Однако, как показал Я. Б. Зельдович существование такой центрированной волны сжатия невозможно.

ного течения должна быть разделена областью простой центрирован­

что «хвост» волны движется быстрее «головы»:

к ;j 1 и -f-- Cq^ с0.

-Эта картина абсурдна. Следовательно, в данном случае непрерывного решения не существует и в действительности имеется р а з р ы в — у д а р н а я волна. Попытка найти непрерывное решенпе этой задачи приводит к физически бессмысленному результату.

Изучение ударных волн необходимо для понимания процессов, происходящих при взрыве, ибо уравнения ударных волн являются ключами к решению задач, связанных с детонацией газов и конден­ сированных ВВ.

Для вывода основных уравнений ударных волн воспользуемся классическим примером с поршнем, равномерно сжимающим газ в достаточно большом цилиндре, в котором стенки не сильно влияют на движение основной массы газа 1 (рис. 59).

Так как любое возмущение в среде имеет конечную скорость, перед поршнем образуется область сжатого вещества. На рис. 59 эта область заключена между поршнем в положении 2Х и поверх-

1 Я. Б. З е л ь д о в и ч и А. С. К о м п а н е й ц . Теория детонации. 31., Гостехтеориздат, 1955.

154

Переходя в сжатое состояние, масса p0tSD имеет скорость поршня и. По второму закону Ньютона произведение массы на изменениескорости равно импульсу силы. Обозначив давление в сжатом газе- р х, а давление в несжатом — р 0, найдем силу, (рх — р 0) S, действу­ ющую на вещество между поршнем и поверхностью АА х. Умноживэто выражение на t, получим значение импульса силы (рх — р 0) St. Приравнивая полученные выражения и сокращая на St, получаем уравнение закона сохранения количества движения при сжатии:.

pxDu = px—р0.

Из уравнения сохранения массы (XI.6) получим выражениескорости потока сжатого газа

155-