Файл: Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях.pdf

но, неравенство (9) справедливо. (Заметим, что граница, получен­

жительных переменных фиксировано, то максимальное значение

396 ГЛ. 19. л и н е й н о е и ц е л о ч и с л е н н о е п р о г р а м м и р о в а н и е

и в силу (106) х%—оптимальное решение задачи (5).

Поскольку t*—оптимальное решение задачи (7), для произ­

то из соотношения (14) заключаем, что (хв, х%) —оптимальное решение (2в). Этот результат можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 19.7. Если t* — оптимальное решение задачи (7), то соответствующее ему решение х* = (В - 1 (Ь — Nxjy), х%) являет­ ся оптимальным решением задачи (2 в) при условии, что

В' 1 (Ь—N xft)>0.

Исследуем теперь, в каких случаях

xs = B 1b —B-Wxjv^O .

Мы знаем, что хв = В-1Ь является решением задачи линейного программирования. Вектор В _1Ь неотрицателен, если b принадле­ жит конусу, порожденному столбцами из В. Обозначим этот конус через Кв- Если b — Nxn также принадлежит конусу К в, то В -1 (b — Nx^) ^ 0. Геометрически, если точка b расположена достаточно далеко от любой граничной точки конуса К в и если длина вектора Nxw достаточно мала, то разность b — Nx^ также лежит внутри конуса Кв- Если через К в (d) обозначим подмноже­ ство точек конуса К в, удаленных в евклидовой метрике не меньше чем на d от любой граничной точки конуса К в, то К в — К в { 0 )

Следующая теорема дает достаточное условие неотрицательности xjg.

где хв = В_1(Ъ —Nxfr), х% соответствует t* согласно (86 ), а t* —

оптимальное решение задачи (7).

задачи (7) соответствует оптимальному решению задачи целочис­ ленного программирования (2 а).

Пусть дана задача целочисленного программирования (2а). Рассмотрим матрицу А и вектор с как фиксированные, а правую часть — как вектор, который может принимать одно из значений Ь1, Ьа, . . ., bft. Для любой заданной правой части Ь* существует оптимальный базис В* соответствующей задачи линейного про­ граммирования. Можно разбить m-мерное пространство точек, удовлетворяющих ограничениям, на несколько конусов, соот­

оптимальный базис и для Ь'. Теорема 19.8 показывает, что конус К в имеет полосу фиксированной ширины Zmax ( | det В | — 1).

Если b и Ь' — точки, не принадлежащие полосе, то оптимальное решение задачи (2 а) находится по оптимальному решению зада­

чи (7). Пусть оптимальное решение задачи (2а) при правых частях

оптимального базиса В соответствующей задачи линейного про­ граммирования х).

Каждое Ь, для которого соответствующая задача линейного программирования имеет решение, принадлежит некоторому конусу К в- Этот конус может быть, например, одним из конусов, изображенных на рис. 19.2 (б). Это означает, что b можно выра­

На рис. 19.2(a) показан случай к = 2. Это означает, что задача целочисленного программирования с ограничением Ах = кЪ может быть решена при достаточно большом к, если решение соответствующей задачи линейного программирования не вырож­ дено. Поэтому настоящий параграф называется «асимптотический

Из соотношения (8 6 ) для небазисных компонент задачи (2а) следует

Когда D = | det В | = 1 (матрица А унимодулярна), из соот­ ношения (16) получаем, что Xj = 0 для всех /. В этом случае d = = ^max (D — 1) = 0 и оптимальное целочисленное решение совпа­ дает с решением задачи линейного программирования, которое имеет не больше чем т ненулевых компонент. Поскольку D воз­ растает начиная с 1 , то полоса уже не будет при этом иметь нуле­

вой ширины, а оптимальное решение будет, вообще говоря, отли-

!) Имеется в виду, что ХдТявляется периодической функцией от вектора

га

компонент оптимального решения задачи (2а) также справедливо, если соот­ ветствующая точка t(g) — неприводима.— Прим, перее.