Файл: Аполлов, Б. А. Курс гидрологических прогнозов учебник.pdf

где п — число пар точек, удаленных друг от друга на расстояние /; функция характеризует внутреннюю статистическую связность изу­ чаемых элементов.

Если аналогично рассматривать поля только одного элемента, например поля ежегодных величии запаса воды в снежном по­ крове на определенную дату, то функция

M s ( [ ) = s ( x ]f )',)• s(x„ у2) (11.VII)

называется автокорреляционной, или просто корреляционной.

Из сказанного можно заключить, что на значение корреляцион­ ной функции влияет только расстояние I между точками, т. е. ее значение не зависит ни от положения двух точек на рассматривае­ мой территории, ни от азимута прямой, соединяющей эти точки. Другими словами, в каждом случае числовое значение корреля­ ционной функции зависит только от скалярного расстояния между точками. Поля, обладающие таким свойством, называются одно­ родными и изотропными по отношению к корреляционной функции.

Встречаются поля гидрометеорологических элементов, которые не являются однородными и изотропными, по крайней мере при рассмотрении не очень малых расстояний между точками. Иногда это является следствием только неоднородности поля средних зна­ чений элемента. В таких случаях, чтобы иметь дело с однородным и изотропным полем, достаточно рассматривать поле отклонений значений элемента от его средней величины в каждой точке. Обо­

будет, очевидно, одинаково и равно дисперсии D рассматриваемого метеорологического или гидрологического элемента. Если же вели­ чина дисперсии изменяется по площади, значит, и поле величин отклонений элемента от средних значении не является однородным и изотропным по отношению к корреляционной функции.

Практически наибольший интерес представляют поля тех эле­ ментов (или их отклонений от средних значений), которые в общем можно считать однородными и изотропными.

В качестве характеристики статистической структуры поля

Очевидно, функция rs (l) представляет собой коэффициент кор­ реляции между значениями элемента s в двух точках, отстоящих

друг от друга на расстоянии /=У(.ѵ'і— х 2)2+ ( у і — у 2)2 . С увеличе­ нием расстояния статистическая связь между значениями s в рас­ сматриваемых точках поля затухает и при достаточно большом I величина rs (l), очевидно, будет близка к нулю; значение же функ­ ции rs(0) будет равно единице.

188

Как говорилось выше, снежный покров залегает на местности очень неравномерно. Здесь будем рассматривать то поле снежного покрова, которое получаем по величинам запаса воды в снеге на маршруте снегомерной съемки па станциях. Его статистическая структура представляет значительный интерес при изучении поля стока за период половодья и при разработке методов прогнозов этого стока по данным о снежном покрове. Ома интересна также с точки зрения проектирования такой сети станций, которая при заданной точности отдельной съемки обеспечивает необходимую точность вычисления запаса воды в снеге в бассейне данной пло­ щади. Важное значение имеет и получение возможности ответить на вопрос, какова ошибка величины запаса воды в снеге в бас­ сейне, вычисляемой по данным существующей сети станций.

Как показывают исследования, поле запаса воды в смежном покрове в общем можно считать однородным и изотропным.

rs

Рис. 67. График нормированной корреляционной функции запаса воды в снежном покрове.

Однако этот вывод хотя и относится к большим площадям, но все же не к таким, как, например, Европейская территория СССР. Это станет вполне понятным, если учтем, что общее условие однород­ ности и изотропности поля какого-либо элемента сводится к тому, чтобы отдельные поля (ситуации) были в главном тождественны друг другу. В отношении снежного покрова в полной мере подоб­ ной тождественности нет, так как условия его формирования в от­ дельных частях достаточно большой территории имеют более или менее существенные особенности, приводящие не только к упоми­ навшемуся различию норм запаса воды в снеге.

На рис. 67 приведен график нормированной корреляционной функции запаса воды в снежном покрове. Ом был построен по ряду значений функций, вычисленных в соответствии с формулой (12.VII) по данным снегомерных съемок на станциях центральной части Европейской территории СССР во второй половине зимы. Аналитическое выражение функции

189

где I — расстояние между точками (станциями) в десятках кило­ метров; 10{а1)— Бесселева функция первого рода нулевого порядка; а — эмпирический коэффициент, равный 0,017.

Имея корреляционную функцию поля какого-либо элемента, можно вычислить корреляционную функцию осредненных по неко­ торой площади значений этого элемента. Например, функция (13.VII) может быть использована для вычисления корреляцион­ ной функции значений запаса воды в снежном покрове, осредиеиных по квадрату со стороной Ь. Заметим, что форма области осред­ нения, если только она не относится к категории сильно удлинен­ ных, в общем незначительно влияет на функцию. Понятно, что площади, по которым ведется осреднение, должны характеризо­ ваться достаточной общностью условий формирования снежного покрова. В противном случае выводы в отношении статистической структуры поля будут носить расплывчатый характер. Здесь,

в снежном покрове в бассейне по дискретным данным снегомерных съемок станций, расположенных в данном бассейне.

Будем исходить из того, что запас воды в снеге в бассейне (s) определяется как средняя арифметическая из величин, даваемых станциями

F

функция точечных величин s и величин s, осредненных по площади

F\ ~ p z \ \ \ \ r [1 (х — е)2+ (У — f l ) 2] d x d y d& dr\ — корреляционная

F F

функция величин s, осредненных по площади F, где х, у, е и г) — координаты точек, относящихся соответственно к первой и второй

190

сопоставляемым площадям; обе последние функции нормированы на дисперсию точечных величин.

Проанализируем физико-статистический смысл каждого из трех членов (слагаемых) формулы (15.V1I), стоящих под общим знаком корня в скобках.

Первый член характеризует дисперсию средней величины s, вы­ числяемой по выражению (14.VII). Ее значение зависит от распо­ ложения станции на данной площади F и при прочих равных усло­ виях будет тем больше, чем ближе станции друг к другу. Это прак­ тически означает, что сгущение сети станции в какой-либо части площади F в принципе должно приводить к увеличению рассмат­ риваемой ошибки.

Второй член характеризует взаимную корреляцию значений s на каждой станции со средним значением s на площади F. Вели­ чина этого члена в общем случае зависит как от размера и формы области осреднения, так и от расположения станций. При прочих равных условиях каждое из п слагаемых, объединенных под зна­ ком суммы, тем больше, чем ближе станция, которой отвечает это слагаемое, к центру тяжести области осреднения.

Третий член формулы представляет собой дисперсию истинной средней величины запаса воды в снеге на площади F. Эта диспер­ сия зависит уже лишь от формы и размера области осреднения F.

Таким образом, из формулы (15.VII) следует, что когда между величинами запаса воды в снеге на станциях существует связь, то ошибка вычисления средней на данной площади зависит как от количества, так и от расположения станций. Последнее поясним простым примером.

Пусть область осреднения F имеет форму квадрата со стороной, скажем, 100 км. На этой площади представим себе три станции — одну в центре, а две в первом случае в одном и том же углу квад­ рата, во втором — в противоположных углах. Тогда ошибка сред­ ней в первом случае будет больше за счет увеличения первого члена в формуле (15.ѴП) при сохранении без изменения величин двух других членов. Нетрудно видеть, что такое суждение могло бы быть обосновано и без рассмотрения статистической структуры поля величин s. Но, конечно, важно то, что формула (15.ѴП) по­

зволяет рассчитать ошибку вычисления s при любом расположении и количестве станций, а также учесть форму области осреднения. Заметим, что из формулы (15.ѴІІ) следует, что увеличение числа станций на площади в общем случае не гарантирует уменьшения ошибки вычисления средней. Пользуясь формулой (15.ѴП), можно оценить также изменение погрешности вычисления средней при ис­ ключении данных той или иной станции.

Формулу (15.VII) можно использовать для проектирования оптимальной сети станции. Поскольку в прогнозах половодья обычно пользуются величинами запаса воды в снежном покрове в бассейне в целом, то оптимальную сеть целесообразно проекти­ ровать, исходя из следующего положения. Сеть должна быть

191

такой, чтобы при минимальном числе станций была обеспечена за­ данная точность вычисления средней на заданной минимальной площади, например на площади 1000 км2.

Несмотря па наличие многократных интегралов в формуле (15.VII), вычисление по ней ошибок при пользовании ЭВМ не пред­ ставляет трудностей.

Если значения запаса воды в снеге в каждой точке измерения независимы, то средняя квадратическая ошибка Oj среднего за­

паса воды в снеге на данной площади вычисляется по формуле

(16.VII)

воды в снеге по съемке на

/-й станции; п — число станций на данной площади.

Даваемая этой формулой ошибка будет заметно преуменьшенной, если существует взаимная корреляционная связь величин запаса

fi отношение площади, тяготеющей к каждой станции, ко всей пло­ щади бассейна, то погрешности взвешенной средней в общем слу­ чае будут, конечно, значительно меньше погрешностей арифмети­ ческой средней (14.VII).

Хотя гидрологи давно и много занимаются изучением снежного покрова как основного фактора половодья, статистическая струк­ тура поля этого покрова пока остается в общем недостаточно исследованной. Ко всему сказанному в отношении важности этого исследования добавим следующее. Знание структуры поля запаса воды в снеге необходимо также для объективного анализа карт этого элемента. Этот анализ выполняется с помощью ЭВМ и вклю­ чает оптимальную, в смысле получения минимальной средней квад­ ратической ошибки, интерполяцию в узлы некой регулярной сетки, отбраковку ошибочных данных и другие операции, вплоть до автоматизированного построения карты с изолиниями запаса воды в снеге. Исходными данными для объективного анализа слу­ жат величины запаса воды в снежном покрове, измеренные на станциях путем проведения обычной маршрутной снегомерной съемки.

Снегомерные съемки в лесу начались на станциях значительно позже, чем на открытой местности (на полях). В лесной и лесо­ степной зонах съемки производят лишь станции, где лес находится недалеко. Наконец, маршруты съемки в лесу нередко недостаточно репрезентативны. Все это привело к тому, что на практике запас

192