Файл: Минобрнауки россии фгбоу во мирэа российский технологический университет иптиИП.pdf

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФГБОУ ВО «МИРЭА –
Российский технологический
университет»
ИПТиИП Кафедра ВМиП
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 00
Дисциплина: Математический анализ
Для всех направлений подготовки
Форма обучения: очная
Курс 2 Семестр 3
Утверждено на заседании кафедры
(протокол № 1 от 28.08.22г.)
Заведующий кафедрой
А.А. Кытманов
2022-23 учебный год
Задание. Исследовать числовой ряд на сходимость
1. ∑
????!
3
????
√????
∞
????=1 2. ∑
????
3 4????
2
+ 5
∞
????=1
???????????? (
4
????
2
+ 5
) 3. ∑ (
5???? + 1 5???? + 3
)
2????+1
∞
????=1
Необходимо знать следующие теоремы и определения:
1. Необходимое условие сходимости числового ряда и его следствие.
2. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признак сравнения,
предельный признак сравнения, признак Даламбера, признаки Коши радикальный и интегральный.
3. Определения: сходящегося ряда, расходящегося ряда, суммы ряда.
Задание 4. Исследовать знакочередующийся ряд на сходимость ∑
(−1)
????+1
????????????
2
????
5????
2
+ 5
∞
????=1
Необходимо знать следующие определения и теоремы:
определения абсолютной и условной сходимости знакочередующегося ряда. Достаточное условие сходимости
знакочередующегося ряда: признак Лейбница.
Задание 5. Найти область сходимости ряда ∑
(???? + 4)
????−1 4
????
∙ √????
4
+ 4
∞
????=1
???????????? (
4
????
2
+ 5
)
Необходимо знать следующие определения: степенного ряда, радиуса сходимости степенного ряда, интервала
сходимости и области сходимости.
Задание 6. Разложить в ряд Тейлора функцию
????(????) = (???? − 1)
4
∙ ????
5+????
+ ln(3???? + 5) по степеням (???? − 1).
Задание 7. Вычислить сумму ряда, используя, разложение элементарных функций в ряд Тейлора:
1 5
+
1 2 ∙ 5 2
+
1 3 ∙ 5 3
+
1 4 ∙ 5 4
+
1 5 ∙ 5 5
+ ⋯
Необходимо знать разложения в ряд Маклорена следующих функций:
????
????
, cos ???? , sin ???? , ????ℎ ???? , ????ℎ ???? , ???????????????????? ????, ????????(1 + ????), (1 + ????)
????
,
1 1 + ????
,
1 1 − ????
Определение ряда Тейлора, ряда Маклорена в общем виде.
Задание 8. Разложить периодическую функцию ????(????) в ряд Фурье:
????(????) = {
2????, − ???? < ???? ≤ 0
−????,
0 < ???? ≤ ????
Необходимо знать определение ряда Фурье функции
????(????),
для четной функции, нечетной функции, функции
общего вида, периодичной с периодом 2????, 2???? . Уметь раскладывать функцию, заданную на полупериоде, по
синусам или косинусам.
Выучить теорему Дирихле о разложимости функции
????(????)
в ряд Фурье. Равенство Парсеваля.
Задание 9. Теоретический вопрос.
Необходимо знать вышеперечисленные определения и теоремы и так же:
определение числового ряда, функционального ряда, равномерной сходимости функционального ряда, теорему
Вейерштрасса, определение мажоранты, свойства абсолютно сходящихся рядов, равномерно сходящихся рядов.

Образец оформления решения задач на экзамене по математическому анализу ИРИ 3 семестр
(это тот минимум, который обязательно должен быть написан в решении)
Исследовать ряд на сходимость ∑ √????
9 4
∙ ????????
2 5????
????
4
+ 3
∞
????=1
Решение:
Предельный признак сравнения
∑ √????
9 4
∙ ????????
2 5????
????
4
+ 3
∞
????=1
= ∑ ????
????
∞
????=????
и ∑ ????
????
∞
????=????
= ∑
1
????
15 4
∞
????=1
− обобщенный гармонический ряд или ряд Дирихле, ряд сходится, так как
15 4
> 1,
lim
????→∞
????
????
????
????
= lim
????→∞
√????
9 4
∙ ????????
2 5????
????
4
+ 3 1
????
15 4
= lim
????→∞
√????
9 4
∙ ????????
2 5????
????
4
+ 3 1
????
15 4
=
= |
учитывая , что
????????
2 5????
????
4
+ 3
(
5????
????
4
+ 3
)
2
при ???? → ∞
| = lim
????→∞
√????
9 4
∙ ????????
2 5????
????
4
+ 3
∶
1
????
15 4
=
= lim
????→∞
√????
9 4
∙ (
5????
????
4
+ 3
)
2
:
1
????
15 4
= lim
????→∞
25 ∙ ????
17 4
(????
4
+ 3)
2
:
1
????
15 4
= lim
????→∞
25 ∙ ????
17 4
∙ ????
15 4
(????
4
+ 3)
2
=
= lim
????→∞
25 ∙ ????
8
(????
4
+ 3)
2
= lim
????→∞
25
(1 +
3
????
4
)
2
= 25 |
≠ 0
≠ ∞
ряды ведут себя одинаково, в данном случае сходятся
Ответ: ряд ∑ √????
9 4
∙ ????????
2 5????
????
4
+ 3
∞
????=1
сходится.
Исследовать числовой ряд на сходимость ∑
????!
3
????
√????
∞
????=1
Решение:
Признак Даламбера lim
????→∞
????
????+1
????
????
= lim
????→∞
(
???? + 1
)
!
3
????+1
∙
√
???? + 1
∙
3
????
∙
√
????
????!
= lim
????→∞
(
???? + 1
)
3
∙
√
????
√
???? + 1
=
= lim
????→∞
(
???? + 1
)
3
⏟ стремится к ∞
∙
√
????
√
???? + 1
⏟ стремится к 1
делим числитель и знаменатель на √????
= [∞ ∙ 1] = ∞ > 1, следовательно исследуемый ряд расходится.
Ответ: ряд ∑
????!
3
????
√????
∞
????=1
расходится.

Исследовать ряд на сходимость ∑ (
5???? + 1 5???? + 3
)
2????+1
∞
????=1
Решение:
Проверим необходимое условие сходимости числового ряда: lim
????→∞
????
????
= lim
????→∞
(
5???? + 1 5???? + 3
)
2????+1
= lim
????→∞
(1 +
−2 5???? + 3
)
5????+3
−2
⏟
2−ой замечательный предел стреммится к 1 1
1
∙
−2 5????+3
∙(2????+1)
=
= ????
lim
????→∞
−2 5????+3
∙
(
2????+1
)
= |
делим числитель и знаменатель на ????
| = ????
−4 5
≠ 0,
не выполняется необходимое условие сходимости, следовательно исследуемый ряд расходится.
Ответ: ряд ∑ (
5???? + 1 5???? + 3
)
2????+1
∞
????=1
расходится.
Исследовать ряд на сходимость ∑ (
3???? + 1
???? + 3
)
−2????+1
∞
????=1
Решение:
Радикальный признак Коши: lim
????→∞
√????
????
????
= lim
????→∞
(
3???? + 1
???? + 3
)
−2????+1
????
=
3
⏟ делим числитель и знаменатель на ????
−2
⏞ делим числитель и знаменатель на ????
=
1 9
< 1,
следовательно исследуемый ряд сходится.
Ответ: ряд ∑ (
3???? + 1
???? + 3
)
−2????+1
∞
????=1
сходится.
Исследовать ряд на сходимость 4. ∑
(−1)
????
????
4
+ 3????
∞
????=1
Решение:
1. Составим ряд из модулей членов ряда и оценим его сходимость
∑ |
(−1)
????
????
4
+ 3????
| =
∞
????=1
∑
1
????
4
+ 3????
∞
????=1
предельный признак сравнения
∑
1
????
4
+ 3????
∞
????=1
= ∑ ????
????
∞
????=1
и ∑ ????
????
∞
????=1
= ∑
1
????
4
∞
????=1
− обобщенный гармонический ряд или ряд Дирихле, ряд сходится, так как 4 > 1,
lim
????→∞
????
????
????
????
= lim
????→∞
1
????
4
+ 3????
1
????
4
lim
????→∞
????
4
????
4
+ 3????
= |
делим числитель и знаменатель на
????
4
| = 1 |
≠ 0
≠ ∞
ряды ведут себя одинаково, в данном случае сходятся .

Ряд из модулей сходится и следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
(по теореме: если сходится ряд составленный из модулей
∑|(−1)
????
????
????
|
∞
????=1
, то знакочередующийся ряд ∑(−1)
????
????
????
∞
????=1
тоже сходится, причем абсолютно.)
Ответ: ряд ∑
(−1)
????
????
4
+ 3????
∞
????=1
сходится абсолютно.
????. Найти область сходимости ряда ∑
7 ∙ (???? − 3)
????
5
????
∙ √7???? + 3 7
∞
????=1
Решение:
1) степенной ряд, для нахождения области сходимости воспользуемся: lim
????→∞
|
????
????+1
(????)
????
????
(????)
| = lim
????→∞
|
7 ∙ (???? − 3)
????+1 5
????+1
∙ √7(???? + 1) + 3 7
∙
5
????
∙ √7???? + 3 7
7 ∙ (???? − 3)
????
| =
= lim
????→∞
|???? − 3|√7???? + 3 7
5√7???? + 10 7
=
|???? − 3|
5
lim
????→∞
√7 +
3
????
7
√7 +
10
????
7
=
|???? − 3|
5
область сходимости степенного ряда, по признаку Даламбера:
|???? − 3|
5
< 1 => |???? − 3| < 5 => радиус сходимости равен 5 и интервал сходимости:
−5 < ???? − 3 < 5 => −2 < ???? < 8 2) осталось проверить ряд на сходимость в концах области или в точках
???? = −2 и ???? = 8
при ???? = 8 числовой ряд с положительными членами
∑
7 ∙ (8 − 3)
????
5
????
∙ √7???? + 3 7
∞
????=1
= ∑
7
√7???? + 3 7
∞
????=1
при ???? = −2 числовой знакочередующийся ряд
∑
7 ∙ (−2 − 3)
????
5
????
∙ √7???? + 3 7
∞
????=1
= ∑
7 ∙ (−1)
????
√7???? + 3 7
∞
????=1
начнем с ряда с положительными членами
∑
7
√7???? + 3 7
∞
????=1
предельный признак сравнения
∑
7
√7???? + 3 7
∞
????=1
= ∑ ????
????
∞
????=1
и ∑ ????
????
∞
????=1
= ∑
1
√????
7
∞
????=1
− обобщенный гармонический ряд

или ряд Дирихле, ряд расходится , так как
1 7
< 1,
lim
????→∞
????
????
????
????
= lim
????→∞
7
√7???? + 3 7
1
√????
7
= lim
????→∞
7 ∙ √????
7
√7???? + 3 7
= |
делим числитель и знаменатель на √????
7
| = 7 |
≠ 0
≠ ∞
ряды ведут себя одинаково, в данном случае расходятся. ряд ∑
7
√7???? + 3 7
∞
????=1
− расходится или ряд ∑
7 ∙ (8 − 3)
????
5
????
∙ √7???? + 3 7
∞
????=1
расходится при ???? = 8
Рассмотримзнакочередующийся ряд, получаемый из степенного ряда при
???? = −2
∑
7 ∙ (−1)
????
√7???? + 3 7
∞
????=1
Проверим абсолютную сходимость данного знакочередующегося ряда. Для этого составим ряд из модулей
∑ |
7 ∙ (−1)
????
√7???? + 3 7
|
∞
????=1
= ∑
7
√7???? + 3 7
∞
????=1
знаем, что ряд расходится, следовательно у знакочередующегося ряда
∑
7 ∙ (−1)
????
√7???? + 3 7
∞
????=1
нет абсолютной сходимости.
Исследуем, сходится ли данный ряд условно, для этого применим признак
Лейбница, проверяем выполнение двух условий:
1. lim
????→∞
????
????
= lim
????→∞
7
√7???? + 3 7
= 0 условие выполнено
2. ????
????
> ????
????+1
или
7
√7???? + 3 7
>
7
√7???? + 10 7
второе − условие выполнено , так как чем больше знаменатель, тем меньше дробь, следовательно, по признаку Лейбница ряд сходится. Учитывая, что ряд из модулей расходится, то знакочередующийся ряд, получаемый из степенного ряда при ???? = −2
∑
7 ∙ (−1)
????
√7???? + 3 7
∞
????=1
− сходится условно
Ответ:
область сходимости ряда
[
−2; 8
)
и радиус сходимости равен 5.

6. Разложить функцию ????(????) = ????????(5???? + 2) в ряд по степеням (???? − 3) и найти область сходимости ряда
Решение:
Разложить функцию ????(????) = ????????(5???? + 2) в ряд по степеням (???? − 3)
значит нужно получить ряд, в степенях которого присутствует (???? − 3)
Сделаем замену ???? = (???? − 3) или ???? = ???? + 3 , тогда
????(????) = ????????(5???? + 2) = ????????(5(???? + 3) + 2) = ????????(5???? + 17) = ???????? (17 ∙ (1 +
5????
17
)) =
= ????????17 + ???????? (1 +
5????
17
)
Для функции ???????? (1 +
5????
17
)воспользуемся разложением в ряд Маклорена
????????(1 + ????) = ???? −
????
2 2
+
????
3 3
−
????
4 4
+ ⋯ +
(−1)
????+1
∙ ????
????
????
+ ⋯ = ∑
(−1)
????+1
∙ ????
????
????
∞
????=1
,
???? ∈ (−1; 1]
????(????) = ????????17 + ???????? (1 +
5????
17
) = ????????17 + ∑
(−1)
????+1
∙ (
5????
17
)
????
????
∞
????=1
=
= ????????17 + ∑
(−1)
????+1
∙ (
5(???? − 3)
17
)
????
????
∞
????=1
= ????????17 + ∑
(−1)
????+1
∙ 5
????
17
????
∙ ????
∞
????=1
∙ (???? − 3)
????
Найдем область сходимости данного ряда, учитывая, что ???? ∈ (−1; 1]
−1 <
5
(
???? − 3
)
17
≤ 1 или
− 17 <
5
(
???? − 3
)
≤ 17
−
17 5
<
???? − 3 ≤
17 5
=> −
17 5
+ 3 <
???? ≤
17 5
+ 3
−
2 5
<
???? ≤
32 5
область сходимости
Ответ:
????
(
????
)
= ????????17 +
∑
(
−1
)
????+1
∙ 5
????
17
????
∙ ????
∞
????=1
∙
(
???? − 3
)
????
,
область сходимости ряда
(−
2 5
;
32 5
]
7. Вычислить сумму ряда, используя разложение элементарных функций в ряд Тейлора:
1 2 ∙ 5 2
+
1 3 ∙ 5 3
+
1 4 ∙ 5 4
+
1 5 ∙ 5 5
+ ⋯
Решение:
1 2 ∙ 5 2
+
1 3 ∙ 5 3
+
1 4 ∙ 5 4
+
1 5 ∙ 5 5
+ ⋯ =
(
1 5
)
2 2
+
(
1 5
)
3 3
+
(
1 5
)
4 4
+
(
1 5
)
5 5
+ ⋯ = ∑
(
1 5
)
????
????
∞
????=2
Рассмотрим ряд
????????(1 − ????) = −???? −
????
2 2
−
????
3 3
−
????
4 4
− ⋯ −
????
????
????
− ⋯ −= − ∑
????
????
????
∞
????=1

При
???? =
1 5
1 2 ∙ 5 2
+
1 3 ∙ 5 3
+
1 4 ∙ 5 4
+
1 5 ∙ 5 5
+ ⋯ =
(
1 5
)
2 2
+
(
1 5
)
3 3
+
(
1 5
)
4 4
+
(
1 5
)
5 5
+ ⋯ =
= −
(
−
1 5
− (
(
1 5
)
2 2
+
(
1 5
)
3 3
+
(
1 5
)
4 4
+
(
1 5
)
5 5
+ ⋯ )
⏟ нужная часть
)
⏟ разложение ????????(1−
1 5)
−
1 5
=
= −???????? (1 −
1 5
) −
1 5
= −
1 5
− ???????? (
4 5
) = ????????
5 4
−
1 5
Ответ:
1 2 ∙ 5 2
+
1 3 ∙ 5 3
+
1 4 ∙ 5 4
+
1 5 ∙ 5 5
+ ⋯ =
∑
(
1 5
)
????
????
∞
????=2
= −
1 5
+ ????????
5 4
8. Разложить периодическую функцию ????(????) в ряд Фурье:
????(????) = {
−????, − ???? < ???? ≤ 0 2????,
0 < ???? ≤ ????
Решение: ????(????)- функция общего вида, её график
Ряд Фурье функции ????(????)
????(????)
????
0 2
+ ∑ ????
????
∙ cos ????????
∞
????=1
+ ????
????
∙ sin ????????
????
0
=
1
????
∫ ????(????)????????
????
−????
,
????
????
=
1
????
∫ ????(????) ∙ cos ???????? ????????
????
−????
, ????
????
=
1
????
∫ ????(????) ∙ sin ???????? ????????
????
−????
Вычислим коэффициенты Фурье:

????
0
=
1
????
∫ ????(????)????????
????
−????
=
1
????
∫ −????????????
0
−????
+
1
????
∫ 2????????????
????
0
=
1
????
(
−????
2 2
|
0
−????
+ ????
2
|
????
0
) =
=
1
????
(
????
2 2
+ ????
2
) =
3????
2
= ????
0
????
????
=
1
????
∫ ????(????) ∙ cos ???????? ????????
????
−????
=
1
????
∫ −???? ∙ cos ???????? ????????
0
−????
+
1
????
∫ 2???? ∙ cos ???????? ????????
????
0
=
= |
|
интегрируем по частям
∫ ????????????
????
????
= ???? ∙ ???? |
????
????
− ∫ ????????????
????
????
|
| =
= |
???? = −???? ???????? = −????????
???????? = cos ???????? ???????? ???? =
sin ????????
????
| + |
???? = 2???? ???????? = 2????????
???????? = cos ???????? ???????? ???? =
sin ????????
????
| =
=
1
????
(
− ???? ∙
sin ????????
????
|
0
−????
⏟
=0
+ ∫
sin ????????
????
????????
0
−????
)
+
1
????
(
2???? ∙
sin ????????
????
|
????
0
⏟
=0
− ∫
2sin ????????
????
????????
????
0
)
=
=
1
????
(
−cos ????????
????
2
|
0
−????
− 2 ∙
−cos ????????
????
2
|
????
0
) =
1
???? ∙ ????
2
(−1 + (−1)
????
+ 2(−1)
????
− 2) =
=
3 ∙ ((−1)
????
− 1)
???? ∙ ????
2
= {
0, ???? = 2????
−6
???? ∙ ????
2
, ???? = 2???? − 1
????
????
=
1
????
∫ ????(????) ∙ sin ???????? ????????
????
−????
=
1
????
∫ −???? ∙ sin ???????? ????????
0
−????
+
1
????
∫ 2???? ∙ sin ???????? ????????
????
0
=
= |
|
интегрируем по частям
∫ ????????????
????
????
= ???? ∙ ???? |
????
????
− ∫ ????????????
????
????
|
| =
= |
???? = −???? ???????? = −????????
???????? = sin ???????? ???????? ???? =
−cos ????????
????
| + |
???? = 2???? ???????? = 2????????
???????? = sin ???????? ???????? ???? =
−cos ????????
????
| =

=
1
????
(???? ∙
cos ????????
????
|
0
−????
− ∫
cos ????????
????
????????
0
−????
) +
1
????
(2???? ∙
−cos ????????
????
|
????
0
+ ∫
2cos ????????
????
????????
????
0
) =
=
1
???? ∙ ????
(
???? ∙ (−1)
????
−
sin ????????
????
|
0
−????
⏟
=0
)
+
1
???? ∙ ????
(
−2???? ∙ (−1)
????
+ 2
sin ????????
????
|
????
0
⏟
=0
)
=
=
(−1)
????+1
????
= ????
????
Ответ:
????
(
????
)
=
3????
4
+
∑
−6
???? ∙
(
2???? − 1
)
2
∙ cos
(
2???? − 1
)
????
∞
????=1
+
(
−1
)
????+1
????
∙ sin ???????? при всех ????, к которых функция ????(????) непрерывна ( ∀ ???? ≠ ???? ∙ (2???? + 1), ???? ???? ????).
8. Разложить периодическую функцию ????(????) в ряд Фурье:
????(????) = {
2????, − ???? < ???? ≤ 0
−????,
0 < ???? ≤ ????
Решение: ????(????)- функция общего вида, её график
Ряд Фурье функции ????(????)
????(????)
????
0 2
+ ∑ ????
????
∙ cos ????????
∞
????=1
+ ????
????
∙ sin ????????
????
0
=
1
????
∫ ????(????)????????
????
−????
,
????
????
=
1
????
∫ ????(????) ∙ cos ???????? ????????
????
−????
, ????
????
=
1
????
∫ ????(????) ∙ sin ???????? ????????
????
−????
Вычислим коэффициенты Фурье:
Дальше сами)