1. Метод хорд. Пусть уже известно, что вещественный корень

х — с уравнения (1) находится внутри отрезка |о, Ь] (и <'с <: Ь).

Предположим также, что на [a, ft] функция /'(л)'имеет непрерывные

производные f (х) и /" (,г) постоянного знака, а ее значения )' (а) и

f (ft) — противоположных знаков. Выполнение этих условий обычно

достигается за счет уменьшения отрезка [a, ft]. Постоянство знака

f (х) указывает на монотонность функции f (х) на [a, ft] (либо только

возрастание, либо только убывание). Следовательно, в обоих слу-

чаях кривая // = /'(*) иа участке [a, ft] пересекает ось ОХ только

один раз, то есть х = с будет единственным корнем на [a, ft].

Постоянство же знака /' (х) на [a, ft] указывает на то, что направ-

ление вогнутости на этом отрезке не меняется.

Дугу кривой y = f(x) на [a, ft] заменим хордой, соединяющей

точки А(а, /(a)) и B(ft, f(ft)) (рис. 131). Примем —абсциссу точки

пересечения хорды с осью ОХ—за первое приближение корня.

Очевидно, \с — xx|
Для этого достаточно составить уравнение прямой, проходящей

через две точки А и В:

х — а __ y—f(a)

Ь—а

f(b)—f(a)’ W

288 I

и подстановкой в это уравнение z/ = 0 найти точку пересечения

прямой (а значит, и хорды) с осью ОХ. Будем иметь:

х — а __ —f (а)

b — a f(b) — f [а)'

Отсюда

X1 = а (a) f

Эта формула, как ниже будет видно, является основной расчет-

ной формулой метода хорд. Случаи, отвечающие четырем комбина-

циям знаков f (х) и f” (х) изображены на рисунке 132 Как видно

из чертежей, во всех четырех случаях хг лежит между а и b с той

стороны от корня с, где fix') имее1 знак, противоположный знаку

f" (х) (последнее можно доказать и аналитически).

Практически в каждом из случаев определяем знак /(xj и,

сравнив его со знаками f (а) и f(b), выберем тот из двух отрезков

fa, xj и [хх, Ь}, на концах которого значения функции имеют

разные знаки. На кем и будет находиться искомый корень с.

Предположим для определенности, что на [а, Ь] производные

f (х) и /" (х) положительны (в остальных случаях рассуждения

ведутся аналогично). Тогда лу будет лежать между а и с. Следо-

вательно, корень с находится внутри отрезка [хх,Ь]. Применим

к этому отрезку снова формулу (3), положив в ней а = хх. Получим:

Ь -— Лл £. / .

Х2=Х1^_7^/(Х1).

Значение х2 оказывается между лу и с. Следовательно, с находится

внутри отрезка [х2, Применив к нему снова формулу (3), получим:

Х3 = х2 — f (-ч) >

и т. д. На п-м шагу (/г>1) будем иметь:

Хч == хл_1 - ’ f (x«-i) • (4)

В результате получится последовательность все более и более

точных значений корня. При этом, как видно из рисунка 131, все

они будут лежать с той же стороны от корня с, что и х1( то есть

а < < х% < х3
Заметим, что при сохранении знаков у f (х) и f" (х) можно

сделать следующий вывод: если значение f (хг) оказалось противо-

положного знака по сравнению с f(b), то f (х„) и при всех после-

дующих значениях п будет противоположного знака по сравнению

с /(&). Если же / (Xi)—противоположного знака по сравнению

с f(a), то этим же свойством обладают и все последующие зна-

чения f(xn).

Остается установить, что последовательность (5) сходится к с.

Действительно, эта последовательность возрастает и ограничена

с.

10 Бохан и др.

289

сверху. Значит, она имеет конечный предел d^c. Переходя

в равенстве (4) к пределу с учетом непрерывности f (х), получим:

d = df(b)-f(d)

Отсюда заключаем, что f(d) = O, то есть d— корень уравнения (1).

Но поскольку на [а, Ь] имеется только один корень, то d — c и

lim хп — с.

п -> со

Оценку погрешности приближения хп корня с можно получить

с помощью формулы Лагранжа:

f (хп) —f(c)= f (х0) (х„ — с), где х„ < х0 < с.

Так как с—корень уравнения (1), то f(c) = O, и мы получим:

V Iv л.1___ I f (Xn) I

л crw п Н/'(*») Г

Обозначим через т наименьшее значение \f (х)\ на [хп, Ь]. Тогда

If' (x0)|2sm, и мы получим следующую формулу для оценки откло-

нения приближенного значения корня хп от истинного значения с:

(6)

Замечание. Предупреждаем читателя, что хотя в остальных

трех случаях комбинаций знаков f'(x) 11 f" W (Рис- 132) рассуж-

дения ведутся аналогично, но для них сохранится только фор-

мула (3). Что же касается формулы (4), то она может измениться.

Именно, если предположить, что f (х) и f" (х) имеют разные знаки

на [а, Ь\, то для п>1 получим:

(вывод этой формулы предлагается сделать самостоятельно). Срав-

нивая (4) и (4'), видим, что произошла замена хп1 на а, b на xn_f

Пример 1. Решить уравнение х* — 5 = 0 методом хорд.

Эта задача равносильна задаче об извлечении квадратного корня из 5. Рас-

смотрим функцию ((х) = ха —5. Так как f (1) = — 4, f (2) =— 1, f (3) = 4, то корень

уравнения находится внутри отрезка [2, 3]. Положив в формуле (3) а = 2 и ft = 3,

получим первое приближение корня хх:

Ч__9 1

-х = 2-43=7=Ту -(-1)=2+у = 2,2-

Поскольку /(х1) = ( (2,2) = 4,84 — 5 < 0, a f (3) > 0, то корень находится внутри

отрезка [2,2; 3]. Применим к этому отрезку формулу (3), положив а = 2,2 и ft = 3.

Получим:

xa = 2,2-4_(^80J6) • (-0,16) =2,23076.

В силу того что f (х) = 2х и f" (х) = 2 постоянного знака на [2, 3], нет необ-

ходимости дальше определять знак / (хя); это значение будет отрицательным при

всех п.

290

Применим к отрезку [2,23076; 3] снова формулу (3). Получим:

ха = 2,23076 + ^g76 0,02372 = 2,23529.

Подсчитаем, какова будет погрешность приближения, если остановиться на

значении х3 Воспользуемся формулой (6). Производная f' (Х) = 2х есть возра-

стающая функция. Следовательно, на рассматриваемом отрезке [х3, ft] ее наимень-

шее значение равно значению па левом конце, то есть m = f' (х3) = 2 • х3 = 4,47058.

Найдем f (х3) — 0,00348. Тогда

I 0,0007 < о,ooi.

Если по условию конкретной задачи такая точность вычисления корня достаточна,

то можно остановиться па х3. В противном случае процесс приближения следует

продолжить.

Рассмотренный нами метод хорд иначе называют методом линей-

ной интерполяции. Такое название метод получил из-за того, что

в его основе лежит замена данной функции / (х) на каком-то участке

[а, й] линейной функцией у=

= f(a) + -5-2—^-7(х—а), полу-

чаемой из равенства (2). При

этом ее значения на концах [a, й]

совпадают со значениями функ-

ции /(х) (см. рис. 131).

2. Метод касательных.

Пусть на [а, Л] находится только

один корень с уравнения (1).

Предположим также, что на

Рис. 133.

этом отрезке существуют непре-

рывные производные f (х) и f" (х)

постоянного знака, а значения

функции /(а) и f (b) — противо-

положных знаков.

Идея метода касательных

состоит в том, что дуга кривой

у = f (х) на [а, й] заменяется

касательной к этой кривой,

проведенной в одной из точек

A (a, f (а)) и В (b, f (&)) (рис. 133),

и после этого абсцисса х(

точки пересечения касательной

с осью ОХ принимается за

первое приближение корня с.

При этом касательную следует

чтобы она пересекалась с осью

Рис. 134.

провести в той из точек А и В,

ОХ во внутренней точке [а, Ь], то

есть чтобы точка х) оказалась ближе к корню с, чем точки а и Ь.

В зависимости от комбинаций знаков /'(х) и f" (х) возможны

четыре случая, изображенные на рисунке 134. Как видно из черте-

10*

291

Жей, касательную нужно проводить в той из точек А и В, ордината

которой одного знака с f" (х), так как в этом случае касательная

всегда будет пересекать ось ОХ во внутренней точке [а, Ь]. Если

же провести касательную в точке, ордината которой имеет проти-

воположный знак с f" (х), то она может пересечь ось ОХ и вне

отрезка [a, й]

Для определенности рассмотрим снова случай, когда /' (х)>0

и f" (х)>0 (в других случаях рассуждения аналогичны). Тогда

касательную к кривой следует провести в точке В (b, f (Ь)). Соста-

вим ее уравнение: y-f(b) =

§ —f (b) (х— 6). Положив в этом

./7 уравнении у = 0, найдем аб-

7/ сциссу точки пересечения каса-

7/7 / h тельной с осью ОХ:

/77 ,// 1/1 ХЬ Т/У (7)

_______у ' I у Эта формула является основ-

Т| —ус *7 ной расчетной формулой метода

f/oii касательных.

Как видно из чертежа 135,

А точка х/ лежит между с и Ь.

Рис. 135. Следовательно, корень с нахо-

дится внутри отрезка [a, x'J.

Кроме того, значение f (х/) одного знака с f" (х). Применим к этому

отрезку формулу (7), приняв Ь = х\. Получим второе приближение

корня х'2:

/..../

Далее, точка х4 лежит между с и xj, a f (х'2) одного знака с f" (х).

Применим к отрезку [а, х2'| формулу (7), приняв Ь — х'%. Получим:

/____________________________х' f (*2)

и т. д. На п-м шагу (п>1) будем иметь:

/___/ f (Х 2-1) /о\

Xn-X^i Г(х,п1Г

В результате выделится последовательность все более и более точ-

ных приближений корня с:

Xj >х2

>х3'>

7 хп с.

Эта последовательность убывает и ограничена снизу. Следовательно,

она имеет какой-то конечный предел d/c. Осуществив в равенстве

(8) предельный переход с учетом непрерывности f (х) и f (х), полу-

чим равенство:

и и у •

292

Из последнего следует, что f (d) = 0, то есть d есть корень уравнения

(1), и, следовательно, c — d.

Формула (6), полученная нами для оценки погрешности прибли-

жения методом хорд, применима также и при приближении методом

касательных.

Пример 2. Решить уравнение V — 5 = 0 методом касательных.

Положим f(x) = xb — 5. Как уже установлено в примере 1, эта функция на

отрезке [2, 3] меняет знак с минуса на плюс и имеет на этом отрезке непре-

рывные положительные производные f {х) — 2х и f" (х) = 2. Следовательно, каса-

тельную к кривой у = х2— 5 нужно проводить в точке В (3; 4). Воспользуемся

формулой (7), положив в ней 6 = 3. Получим первое приближение корня, х\:

Применив к отрезку |2; 2yj снова формулу (7), найдем второе приближение

корня, х2':

' 3 21 21 •

Третье приближение корня получим, если применим формулу (7) к отрезку

х3' = 2 2,23607, и т. д.

& 1 Уо I

Определим с помощью формулы (6), какова будет погрешность вычисления

корня, если остановиться на х3'. Так как производная f'(x) = 2x есть возраста-

ющая функция, то наименьшим ее значением на отрезке |з; 2 g-p j будет значение

/'(2) = 4, то есть т = 4. Значение Длг3') = (2.23607)® —5 = 0,00001. Следовательно,

, , , 0,00001

| х’я — с\ <---—

0,0000025.

Полученное нами приближенное значение корня является, как легко видеть,

значением с избытком, то есть с <. х3' =2,23607, в то время как при решении

этого же уравнения методом хорд (пример 1) получено приближение с недостат-

ком х3 = 2,23529 <; с.

Заметим, что рассмотренные нами методы приближенного реше-

ния уравнений обладают тем общим недостатком, что каждый из

них приводит к последовательности приближений только с одной

стороны от истинного значения корня с. Поэтому не представляется

возможным хорошо оценить допускаемую погрешность. Кстати ска-

зать, формула (6), которой мы пользовались при оценке прибли-

жений в примерах 1 и 2, во многих случаях дает слишком грубую

оценку. Фактически погрешность часто оказывается гораздо меньше,

чем показывает формула (6).

Если же метод хорд объединить с методом касательных, то есть

приближаться к истинному значению корня с одновременно с двух

сторон (хорда и касательная пересекают ось ОХ по разные стороны

293

от корня), то на первом шагу (при f (х) > О и f" (х) > 0) получим,-

XiCccx/.

На втором шагу вместо отрезка [а, &] уже рассматриваем отре-

зок [хъ х/] (рис. 135). Для него найдем

по формуле (4):

X, = X, — ттА------F7T f (х1)>

2 /(*1)7(*1)

по формуле (8):

2 /(х/)

и снова х2<с<х2'. Затем рассматриваем отрезок [х2, х2'] и т. д.

На n-м шагу будем иметь: хп<с<хга', где для и>1 значения

хп и Хп вычисляются по формулам:

v __ v_______Х’п-1 ХП-1 f (v f (X'/l-l)

Хп'Хп^ f(x'„J)-/(x^1)-/^-i<’> Л<3)-

При этом lim х„ = lim х'„ = с.

Оценивая разность х„' — х„, получаем возможность сразу судить

о степени точности сделанных приближений. При таком комбини-

рованном методе приближений нет надобности ни в каких специаль-

ных формулах для оценки допускаемых погрешностей.

Пример 3. Найти все корни уравнения 2х — 4х = 0 с точностью до 0.0005.

Прежде всего заметим, что данное уравнение не имеет отрицательных корней,

так как при всех значениях х<0 будет 2* —4х>0.

Рассмотрим функцию f (х) = 2х — ix. Она непрерывная и имеет производные:

f (х) = 2Jf In 2 —4, f" (х) = 2* (In 2)“.

Из выражения производных видно, что функция убывает до некоторого зна-

чения аргумента х,„ при котором 2Ха 1п2 = 4 х0 = —— 2-—j , а потом посто-

янно возрастает; ее график вогнут вверх. Отсюда заключаем, что в точке х0

функция имеет минимум и пересечение ее графика с осью ОХ возможно не более

чем в двух точках. Это значит, что данное уравнение имеет не более двух

вещественных корней.

Для определения промежутков, содержащих корни, произведем последовательно

вычисления; /(0) —1, /(1)=—2, f(2)—4, f (3) = — 4, f (4) — 0, f (5) — 12. Даль-

нейшие вычисления излишни, так как оба корня уравнения уже обнаружены:

один корень С] находится на отрезке [0, 1], а другой с2 = 4.

Найдем приближенное значение q с требуемой точностью.

На отрезке [0, 1] /'(х)<0, а /" (х)>0. Следовательно, функция на этом

отрезке убывает (от 1 до — 2) и ее график направлен вогнутостью вверх. В таком

случае (смотри соответствующий чертеж на рисунках 132 и 134) приближения по

методу хорд будут с избытком (справа от корня q), а приближения по методу

касательных —с недостатком (слева от q).

Положив в формуле (3) а = 0 и &=1, получим:

Х1 = 0---т-,п 1 . f (0) = | = 0,33333 ...==» 0,3334.

Формула же (7) при Ь = 0 дает:

294

При этом Xi — *] = 0,3334— 0,3023 = 0,0311, то есть точность приближения

на первом шагу недостаточна.

Проделаем еще один шаг, применив методы хорд и касательных уже к отрезку

(*n xj]. Предварительно вычислим значения, которые будут нужны:

t

/ (*>) = f = 2 3 - 4 • = 1,2600 - 1,3333 = - 0,0733,

f (х[) = 2»-3023 — 4 • 0,3023 = 1,2045 — 1,2092 = 0,0253,

/ (х;) = 2»’8|)гз • In 2—4= 1,2345 • 0,6931 —4 = —3,1444.

По формуле (3) при а — х[ и Ь^=хг находим:

х х-_____xi t —о 3023 I 0>03П • 0,0253—Q 3104

21 f (*i)-/(*]) U,AbW+ 0,0733 + 0,0253 u’3104-

По формуле же (7) при b — x't будем иметь:

0.3023+^_».з>оз.

Разность *,-*;=0,3104 - 0,3103 = 0,0001 показывает, что полученная точность

вычисления удовлетворяет заданной. Получили, что 0,3103 < с, < 0,3104. Любое

из чисел 0,3103 и 0,3104 можно взять за приближенное значение искомого корня

z,j и допускаемая при этом ошибка не превзойдет 0,0001. Их среднее арифмети-

ческое 0,31035 будет, очевидно, еще ближе к сх.

Вопросы для самопроверки и упражнения

1. Почему при последовательном уменьшении промежутка, содержащего корень

(при комбинированном методе хорд и касательных), можно нижнюю его границу

округлять только в сторону уменьшения, а верхнюю—только в сторону увели-

чения?

2. Уточнить методом хорд корень уравнения *2—2 = 0, содержащийся на [1, 2|.

I

Найти хъ *2 и *8. Отв. *1 = 1^₽» 1,333; *2 = 1,394; хя = 1,412.

3. Уточнить методом касательных корень уравнения 3*=3*, отличный от еди-

ницы. Найти х[, *j и х',. Отв. *] = 0,53; л<.=0,72, *'.==0,79.

---

4. Уравнение *4 + 6*2+14*2 —50=0 имеет два вещественных корня. Вычис-

лить их по комбинированному методу с точностью до 0,001.

Отв. *х =» — 3,155; *2 «= 1,425.

5. Вычислить с точностью до 0,0005 единственный положительный корень

уравнения *6 — *===, содержащийся на отрезке (1; 1,1], Отв. с«= 1,04478.

О

i0>

---

Смотрите также файлы

• Понятие, предмет, метод и принципы семейного права. Семейное право.docx

• Задача первым скинуть свои карты На этом данный тур заканчивается и идёт подсчёт очков по оставшимся на руках картам Выигрыш.pdf

• Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования центросоюза российской федерации российский университет кооперации.doc

• Практикум по психодиагностике.doc

• Внеклассное мероприятие для 8 класса Занимательные опыты по физике.doc