Файл: Конспект лекций Казань 2017 2 Модуль Компьютерные технологии первичной.pdf

13
D[
2
S ] =
 
n
n
D
n
n
D
2 2
4 2
2 4
2 2













=
n
4 2

При


n
дисперсия оценки D[
2
S
]=
n
4 2

→ 0. Таким образом, оценка дисперсии
2
S
является асимптотически эффективной.
В том случае, если
x
m
неизвестно, то в качестве оценки дисперсии принимают выборочную дисперсию, которая вычисляется по формуле
2
S =
2 1
)
(
1 1
x
n
i
i
m
x
n




и называется исправленной дисперсией.
Эта оценка является несмещенной. Для доказательства этого утверждения преобразуем оценку дисперсии
2
S
к виду:
2
S
=
1 1
)
(
1 1
2 2
1 2
2 1







 








n
m
x
n
m
x
n
n
i
x
i
x
n
i
i



χ
2
, где χ
2
– величина «хи-квадрат» с n – 1 степенями свободы, математическим ожиданием М(χ
2
) = n – 1 и дисперсией D(χ
2
) = 2(n – 1). Это обусловлено тем, что между случайными величинами
x
i
m
x

существует одна линейная связь, определяющая
x
m
Поэтому в данном случае сумма квадратов связана не с n , а с n – 1 степенями свободы. Тогда
М[
2
S
] =
 
)
1
(
1 1
1 2
2 2
2 2












n
n
M
n
n
M





=
x
D

2

Исправленная дисперсия является также асимптотически эффективной оценкой, так как
D[
2
S
] =
 
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
1 2
4 2
2 4
2 2












n
n
D
n
n
D





=
1 2
4

n

Отметим, что оценка дисперсии
2
S
удовлетворяет также условиям
состоятельности. Однако доказательство этого утверждения выходит за рамки курса, поэтому мы его опускаем.

14
При большом объеме выборки n практически безразлично, по какой формуле вычислять оценку дисперсии
2
S . Однако при малых выборках следует пользоваться формулой для исправленной дисперсии.
Оценка вероятности случайного события
Оценим вероятность появления события А в n опытах: P(A) = p.
В качестве оценки рассмотрим частоту событий
n
m
p
/
*
*

, где
*
m
– число опытов (случайная величина), в которых наблюдалось событие А , а n – общее число опытов.
Из теоремы Бернулли, согласно которой
1
}
|
|
{
lim
*






p
p
P
n
, следует, что оценка вероятности случайного события
*
p
является
состоятельной.
Определим математическое ожидание и дисперсию оценки
*
p
.Так как
*
m
– случайная величина, распределенная по биномиальному закону с математическим ожиданием
np
m
M

)
(
*
и дисперсией
npq
m
D

)
(
*
,то
p
n
np
m
M
n
n
m
M
p
M










)
(
1
)
(
*
*
*
,
n
pq
n
npq
m
D
n
n
m
D
p
D










2
*
2
*
*
)
(
1
)
(
Таким образом, оценка вероятности случайного события
*
p
является также несмещенной и асимптотически эффективной.

15
Интервальное оценивание параметров распределений
случайных величин
Построение интервальных оценок параметров распределений
Полученная точечная оценка
a
=
a
(
n
x
x
x
,...,
,
2 1
) параметра а (даже если она является несмещенной и эффективной) не позволяет судить о том, как точно найденная оценка воспроизводит истинное значение параметра а.
Так как оценка
a
является случайной величиной, то невозможно также точно определить и величину разности а –
a
, характеризующую отклонение оценки
a
параметра от его истинного значения а.
Однако, поскольку разность а –
a
представляет собой случайную величину, то с точки зрения теории вероятностей можно найти некоторую область реализации оценки
a
, которая с вероятностью, близкой к единице,



1
P
(требуемой степенью надежности) содержит истинное значение параметра а. Эту область можно определить соотношением






1
}
|
|
{
2
/
t
a
a
P
, где величина
2
/

t
говорит о том, что вероятность того, что абсолютная величина
|
|
a
a

превысит
2
/

t
, равна

. В зависимости от решаемых задач величина

полагается равной 0,05, 0,01, 0,001. Иногда ее выражают в процентах и называют процентным уровнем значимости.
Заменим неравенство
2
/
|
|

t
a
a


равносильным ему двойным неравенством
2
/
2
/
|
|


t
a
a
t



или
2
/
2
/


t
a
a
t
a




, тогда









1
}
{
2
/
2
/
t
a
a
t
a
P
Положительная величина
2
/

t
характеризует точность оценки
a
, вероятность



1
P
– надежность, а интервал
2
/
2
/


t
a
a
t
a




, который покрывает неизвестный параметр а с заданной надежностью , называют доверительным интервалом.

16
Построение доверительного интервала для математического ожидания
случайной величины при известной дисперсии
Рассмотрим оценку
x
математического ожидания
x
m
нормально распределенной случайной величины Х с известной дисперсией
2

:



n
i
i
x
n
x
1 1
Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то выборочное среднее
x
(согласно центральной предельной теореме) будет также распределено по нормальному закону с математическим ожиданием
x
m
x
M

)
(
и дисперсией
2
)
(


x
D
/n :











n
x
m
n
x
p
x
2 2
2 2
)
(
exp
2 1
)
(



Введем случайную величину
n
x
m
t
x
/



, которая имеет нормированное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда вероятность



1
P
того, что случайная величина t (рис. 23.1) не отклонится от своего математического ожидания на величину, больше чем
2
/

t
находится по формуле




















1
)
(
)
(
2 1
)
(
2
/
*
2
/
*
2 2
/
2
/
2
/
2
/
2
t
Ф
t
Ф
dt
е
t
t
t
P
t
t
t
Принимая во внимание, что функция распределения
)
(
*
t
Ф
связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями (рис. 10.1):
Ф(t) = 0,5 +
)
(
*
t
Ф
, Ф (– t) = 0,5 – Ф(t), получим










1
)
(
2
)
(
2
/
2
/
2
/
t
Ф
t
t
t
P
0 t p(t)
Рис.23.1 2
/

t
2
/

t

ε /2
ε /2 1 – ε

17
Поскольку функция
dz
е
t
Ф
t
z



0 2
2 2
1
)
(

непрерывна и возрастает на интервале [0, ∞) от 0 до 0,5, то для любого числа ε, удовлетворяющего неравенству 0 < 1 – ε < 1, существует единственное число
2
/

t
такое, что
Ф(
2
/

t
) =
)
1
(
2 1


Для заданной вероятности



1
P
по таблице значений функции Лапласа
Ф(t) можно найти соответствующее значение
2
/

t
. Тогда, используя это значение и определение величины t, получим:














2
/
2
/
2
/
2
/
/
)
(





t
n
x
m
t
P
t
t
t
P
x
=
=











n
t
x
m
n
t
P
x




2
/
2
/
=











n
t
x
m
n
t
x
P
x




2
/
2
/


1
Отсюда следует, что с надежностью



1
P
можно утверждать, что
доверительный интервал










n
t
x
m
n
t
x
x




2
/
2
/
покрывает неизвестный параметр
x
m с точностью
n
t


2
/


Таким образом, доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к единице вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра
x
m
:
n
t
x
m
n
t
x
x




2
/
2
/




Из этого соотношения видно что, чем точнее при данном значении

мы хотим оценить среднее значение, тем больше n экспериментов необходимо провести. С увеличением надежности (уменьшением

) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если

18 задать точность

и вероятность

, то можно найти минимальный объем выборки n, который обеспечит заданную точность

:
2 2
/










t
n
Поскольку концы интервала представляют собой случайные величины, то их называют также доверительными границами.
Если величина Х распределена не по нормальному закону, то поскольку величина
x
представляет собой сумму независимых, одинаково распределенных случайных величин, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n ≥ 30) ее закон распределения близок к нормальному.
Пример: Оценить среднюю точность изготовления внешнего контура крыла
x
m
с известным стандартным отклонением
1


мм. по выборке замеров n = 58 .
Решение. На основе замеров рассчитывается оценка
x
= 0,45мм. Так как n = 58 > 30 , то закон распределения измерений
x
можно считать нормальным . Задаемся

= 0,05 и находим Ф(
2
/

t
) =
)
1
(
2 1


= 0,475. Затем по таблице значений функции Лапласа Ф(t) находим
2
/

t
= 1,96. Определяем
26
,
0 58 1
96
,
1 2
/




n
t


Следовательно, средняя точность изготовления внешнего контура крыла
x
m
лежит в пределах 0,45

0,26 .

19
Построение интервальной оценки для математического ожидания и
дисперсии
Построение доверительного интервала для математического ожидания
случайной величины при неизвестной дисперсии
Рассмотрим оценку
x
математического ожидания
x
m
нормально распределенной случайной величины Х с неизвестной дисперсией
2

:



n
i
i
x
n
x
1 1
Для оценивания дисперсии
2

используем оценку
2 1
2
)
(
1 1
x
x
n
S
n
i
i





Величина
n
S
x
m
t
x
/


, при этих условиях имеет t-распределение (распределение Стьюдента)с числом степеней свободы k = n – 1.
Для нахождения доверительного интервала значения
x
m
задаемся надежностью P = 1 –

по таблице t-распределения для уровня значимости

/2 (соответствующего односторонней критической области см. рис.10.1), из условия





1
}
|
|
{
2
/
t
t
P
определяем значение
2
/

t
и строим доверительный интервал:
n
S
t
x
m
n
S
t
x
x
2
/
2
/






Пример: Оценить прочность сотового заполнителя из материала А1Т толщиной 0,08 мм по данным 19 испытаний на сжатие.
Решение. Предполагая, что разброс предела прочности подчиняется нормальному закону распределения и по результатам испытаний определяется
x
= 2,37,
2
S
= 3,12 . Для

/2 = 0,025 (соответствующего

20 односторонней критической области) и для k = n – 1 = 18 степени свободы по таблице t-распределения определяем
2
/

t
= 2,1 и находим величину
85
,
0 36
,
4 766
,
1 1
,
2 19 12
,
3 1
,
2 2
/





n
S
t

Таким образом, с надежностью 0,95 (или 95%) можно утверждать, что среднее значение прочности сотового заполнителя находится в пределах
12,37 ± 0,85.
Доверительный интервал для дисперсии нормального распределения
Рассмотрим построение доверительного интервала дисперсии нормально распределенной случайной величины Х при неизвестном математическом ожидании. Для этого используем соотношение
,
1
)
(
1 1
2 2
2 1
2









n
x
x
n
S
n
i
i
откуда имеет место
2 2
2
)
1
(


S
n


с k = n – 1 степенями свободы.
Таким образом, если математическое ожидание случайной величины Х неизвестно, то случайная величина
2

распределена по закону
2

с k = n – 1 степенями свободы. Уменьшение числа степеней свободы обусловлено тем, что выборочные значения связаны между собой линейной зависимостью через оценку математического ожидания.
Так как случайная величина
2

неотрицательна, а плотность распределения
)
(
2

p
несимметричная (рис.24.1), то доверительный интервал будем определять из условия










1
}
{
2 2
2 2
1
P
, или
0 p(
2

)
Рис.24.1 2
1


ε /2
ε /2 1 – ε
2 2


2


21

















1
)
1
(
2 2
2 2
2 1
S
n
P
, откуда получаем




















1
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 1
2
S
n
S
n
P
Следовательно, интервал










2 2
2 2
1 2
)
1
(
;
)
1
(




S
n
S
n
есть доверительный интервал для дисперсии
2

с надежностью



1
P
, а интервал










2 2
1 2
1
;
1




n
S
n
S
доверительный интервал для стандартного отклонения

с надежностью



1
P
Определим
2 1


,
2 2


по таблицам распределения
2

из условия
2
/
}
{
}
{
2 2
2 2
2 1











P
P
Если таблица
2

построена из расчета







1
}
{
2 2
P
, то значения
2 1


,
2 2


определяются из условий (см. рис.10.2):
2
/
1
}
{
),
2
/
1
(
1 2
/
}
{
2 2
2 2
2 1

















P
P
Действительно:





)
(
)
(
}
{
2 2
2 2
2 1
2 2
1









F
F
P
=




}
{
}
{
2 2
2 2
1 2






P
P
=









1
)
2
/
1
(
1 2
/
1
Если таблица
2

построена из условия






}
{
2 2
P
, то значения
2 1


,
2 2


определяются из условий (см. рис.10.1):

22 2
/
}
{
,
2
/
1
}
{
2 2
2 2
2 1













P
P
Покажем, что в этом случае также имеет место





)
(
)
(
}
{
2 2
2 2
2 1
2 2
1









F
F
P
=




}
{
}
{
2 2
2 2
1 2






P
P
=






}
{
1
}
{
1 2
2 2
2 1
2






P
P
=









1
)
2
/
1
(
1 2
/
1
Пример: Вычислим с надежностью P = 0,95 доверительный интервал для дисперсии нормального распределения прочности сотового заполнителя по результатам испытаний, рассмотренных в предыдущем примере, где выборочная дисперсия
2
S
= 3,12 вычислена по выборке объема n = 19.
Решение. По таблице, определенной из условия






}
{
2 2
P
для k
= n –
1 = 18 степеней свободы и доверительного уровня значимости

/2 = 0,025 определяем
2 2


= 31,5,. Для вероятности Р =
2
/
1


= 0,975 и числа степеней свободы k = n –
1 = 18 определяем
2 1


= 8,23 .
Следовательно, доверительный интервал с надежностью 0,95 для дисперсии будет (18 2
S /31,5 ; 18 2
S /8,23) или (1.78 ; 6.82), а для стандартного отклонения


23
,
8
/
18
;
5
,
31
/
18 2
2
S
S
или (1,33 ; 2,61).