Файл: Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 47
Скачиваний: 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
В [5] указано, что если одномерные распределения случайных величин имеют нормальный закон, то двумерный закон не обяза тельно является нормальным. Докажем, что двумерное распре деление ак, Вкнормальное. Этот закон находится по правилу
в к) = - щ щ ;р К + |
Ч + |
|
Интегральный закон распределения F(&k-\-Dk < Ki |
< в к) |
|
находится интегрированием трехмерного нормального закона распределения независимых случайных величин &к, Dk, А к по
области |
ak+ D k < ак, |
ак+ А к < |
Вк. |
Покажем сначала, |
что величины А к и Dk независимы. Из фор |
||
мул (7. |
4) и (7. 7а) видно, что |
величины А к и Dk независимы, |
|
так как подынтегральные выражения содержат помеховую со ставляющую в одном случае от — с» до 0, а во втором — от О до Тс, т. е. они некоррелированы. Однако (7. 7а) дает выход низко частотного измерительного фильтра в момент времени t = О, а в схеме используется для перемножения выход этого фильтра на участке 0—Те. Так как полоса измерительного фильтра мала (1 /хя), то выход фильтра практически не изменится за Та и будет равен значению в момент времени t= 0.
Покажем, что даже с учетом изменения во времени выходная величина фильтра в любой момент не коррелирует с А к.
Действительно, среднее значение равно:
Е = |
j re(~i)[s ( 4 — |
™i) + s( 4 |
- /c^ > -г )] X |
|
— CD |
|
|
|
|
0 |
|
-Чт2-/с^’ 4 K=/V°0 |
- |
||
|
|
m>)~ |
|
^ s ( x — k— mYl sinffo/tj (t:—01 J |
Q |
||
Ч |
АД«, ’ N J |
(*/*« |
|
При выводе использована 5-коррелированность шума (на участке 0—t). Кроме того, учтено, что низкочастотная соста вляющая под интегралом равна нулю, а интеграл от высокочастот ных составляющих тоже равен нулю.
Таким образом, совместная плотность вероятности
184
д°-
в к) ~ сЩдГк S H * 4 Ю Р*к И *) Ч |
(^*) d^ M kdD k = |
«*+■»*<*» |
|
“fc+^7c<Bfc |
|
m |
flfc~"ft |
= la f c — !00 p“*(a*)tfa* |
— JCO |
4 |
(Z?*,rfZ?fc |
— !CO |
|
|||||||||
Сделаем замену |
переменных: |
z — ak= |
Z)fc, |
у — ak = Ak. При |
||||||||||
этом |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/>(“ *. B k) = |
S |
р*к К ) Рвк (а* — ч ) Рлк (в к - |
ак) d% = |
|
||||||||||
= |
— СО |
|
|
|
|
|
- |
|
L |
Г_.(«» |
- х |
|||
Г * (± expt - |
* |
\ |
|
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
ак\ |
|
|
|
|
|
2ок. |
|
||
|
J |
'J 2 tz |
\ ° к |
' |
^ |
|
к |
|
|
ехр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ехР(- |
fi| |
В2 |
\ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
||
|
|
(5fc-=t)2 |
|
da, = |
|
------V |
*°Ък 2о* |
|
||||||
X — ехр |
|
|
Dk------ &± X |
|||||||||||
2о: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й |
||||
|
% |
|
Лтс |
|
|
|
|
|
|
|
(2-,)*Ь ок°АкаЛк |
|
||
X |
! |
нр{ а| ( 4 + А к+ Ч J + 2а*(: |
|
|||||||||||
Дополняя показатель экспоненты под интегралом до полного квадрата, делая замену переменных и интегрируя, получим
Р (“ft. в к) = (2« |
|
+ |
olai + oWa) 1exp {[2 (o|ob + |
|
~Ьа к а А + |
ci)°2)] 1 L®1 (°I “f" ° a ) |
2aji B k a k “b B k ( ° k "f" °л)]}- |
||
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
Гг. = - |
(П 4.1) |
|
|
|
|
L(aI + ab )(4 + |
ai )]1/3 |
и используя (7. |
9) и (7. |
10), получим |
|
|
Р ($*. ^*) = ( 2toV 4 VI — rl) 1 ехр |
12 (1 - г | ) Г Х |
|
|
м- |
|
|
> |
|
|
гаЯ? |
0_ |
|
Й |
|
|
|
"Г г. |
|
-“а* |
* |
-1г
“а*0**
« и
[«<? о
Это и есть двумерный нормальный закон распределения величин аки Вк с коэффициентом корреляции тк.
Закон распределения произведения двух случайных величин, двумерное распределение которых является нормальным, можно найти в [5]:
СО |
г |
[h -(tk °Bkrk/°ak)I2 |
|
|
|
||
Р ( У = |
6ХР1 |
2t*°%k(1 ~ г|) |
dtk. (П4. 2) |
|
— г| |
||
|
'Jl-K^k'itk |
||
О |
|
|
|
185
Из (7. 9), (7. 10) и (7. 6) следует, что если в (П4. 2) вместо 5 по ставить то получим соответственно закон распределения I. Переменную интегрирования в этом случае будем обозначать через ik.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
1. Рассмотрим колебание Uln(t), состоящее из конечной после довательности колебаний s1 (t):
U ln( f ) = 2 h ( t - k T e). k=—n
Представим его в виде произведения периодической последователь ности и импульса П (t):
( |
СО |
|
|
’J |
|
|
2 |
s, ( t - k T a)\ lI (t)= U l (t)n ^ , |
(П5.1) |
||
l f c = — CO |
|
|
J |
|
|
где |
|
|
1 , |
| г | О Г 0, |
|
|
H{t) = |
|
|||
|
0, |
\t\>nTB. |
|
||
|
|
|
|
||
Спектральная функция колебания (П5.1) равна свертке спек |
|||||
тров сомножителей. |
Первый из них в соответствии с (В. 29) имеет |
||||
дискретный спектр |
|
03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gux{<о) = 2* |
^ |
|
|
(Ш ' 2) |
|
|
|
/=г—00 |
|
|
|
Для второго сомножителя
|
<5„ (ш) = |
|
$ |
e-j“‘ dt = |
— Ln~ c . |
||
|
|
|
|
- п Т в |
|
||
Свертка этих |
функций дает |
спектр Uln (t): |
|||||
Gu,„ И = ^ |
J Ga, (S) |
(со - |
|
S) d (Q) = |
|
||
|
|
|
00 |
jv(. _2rc \ 2 sin [ш — / (2тс/гп)| |
|||
|
|
|
2 |
||||
|
= |
|
|
V Г о / |
о) — / (2-njTB) |
||
|
|
j=—i |
|
|
|
|
|
(П5.3)
(П5. 4)
Комплексно-сопряженное значение, отнесенное к 2пТв, при этом равно
1 |
Gbt„ H = 2 |
^ ' ( т ) |
2 sip [со — / (2%/Тв)] п Т 0 |
(П5. 5) |
2п Т в |
[со - j (2iz/TB)] 2n T B |
|||
|
j=—a> |
|
|
|
186
Найдем предел найденных |
выражений при ?г->оо. Из (П5.4) |
|
с использованием (П5. 3) |
получаем |
|
|
00 |
|
GV,(ш) = 2тг ^ |
(П5.6) |
|
|
/ — — СО |
|
При переходе к пределу в (П5. 5) учитываем, что |
||
Ит sin «nT0 J |
°> |
ес™ “ ¥= О, |
ыпТ0 |
[ 1 , |
при всех п, если со = 0. |
Используя символы Кронекера, можно записать, что
sin шгеГ.
Ит • шпТ„ •= 8ш. , О
(символы (о, 0 указывают аргумент и его конкретное значение, при котором он равен единице). Переход к пределу в (П5. 5) дает
lim ^ |
7 6 S , M = |
2 |
|
|
(П5.7) |
|
|
|
л— •__ ггсо, |
* •* ф - |
|
|
|
Для получения р (т) необходимо взять обратное преобразование |
||||||
Фурье от произведения (П5. 6) и (П5. 7). Получаем |
|
|
||||
|
|
2 |
К ' т Д Г Ч — |
£ ) • |
<П 5 - 8 > |
|
|
|
/ = —со |
|
|
|
|
1 2” |
2 |
|
|
|
|
|
—00 |
^=/=—0оо0 |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
2те |
|
|
|
= |
2 [К (7‘Ш |
е° |
Т> 1 = ^ |
- |
Р>. 9) |
Это есть выражение (3. 23).
2. Определим низкочастотную составляющую спектра произ
ведения |
|
|
/( * ) = 2 |
S i(t-k T B) 2 Si ( * _ t - M ’0). |
(П5.10) |
к = — со |
к = —~оз |
|
Преобразование Фурье для / (t) в соответствии с (В.33) и с учетом (П5. 6) (а также того факта, что второй множитель отличается от первого лишь -запаздыванием) имеет вид
<»,«•>=■£ I |
2 |
* ( » ? ; ) • ( “ - » £ ) |
2 |
Ч ^ Х |
|
—со я = —со |
|
/ = —со |
|
||
X 8 (и- |
Й - 7 |
e -^ H Q = |
2« 2 |
2 * |
(пJ7) Х |
|
|
Р |
» |
/ |
° |
187
X (n+ / ) ! ; ] . (115. 11)
Для области частот |ш|<^2ic/7’0 суммирование по j можно произ
вести, полагая j = |
—п. При этом |
|
||
Gf И = |
2тсВ (со) ^ £ (п j r ) & (—п -у-) е |
т° Ш^Т• |
||
|
|
1 |
|
|
Представляя экспоненту в виде |
двух сомножителей и используя |
|||
свойство 8-функции, получаем |
|
|
||
Gf (ш) = |
2п8 (ш) 2 |
T 7 )J e',i Г°Т> |
М < | г - . |
|
|
|
п= —со |
|
|
Это выражение |
с |
точностью |
до множителя |
2к8 (со) совпадает |
с (П5. 9). Поэтому |
|
|
|
|
G/ (ш) = 2«8(а>)р(х), |
— |
( П5. 12) |
||
|
|
|
•* о |
* а |
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1. В . А. Котельников. Теория потенциальной помехоустойчивости. М., Госэнергоиздат, 1956.
2.Д. Мидлтон. Очерки по теории систем связи. М., «Мир», 1965.
3.Л. А. Вайнштейн, В. Д. Зубаков. Выделение сигналов на фоне случайных
помех. М., «Советское радио», 1960.
4.Л. С. Гуткин. Теория оптимальных методов радио, риема при флуктуационпых помехах. М., «Советское радио», 1972.
5.Б. Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. М., «Советское радио», 1968.
6.Д . Вовенкрафт, И. Джекобе. Теоретические основы техники связи. М.,
«Мир», 1969.
7.Я. Т. Петрович. Передача дискретной информации в каналах с фазовой модуляцией. М., «Советское радио», 1965.
8.Р. Bello. Characterization of randomly time-variant linear channels. —
IEEE Trans., 1962, CS-10, 2; 1963, CS-U, 4.
9.Л. M. Финк. Теория передачи дискретных сообщений. М., «Советское радио», 1964.
10.Я. Я. Хеоростенко. О помехоустойчивости разнесенного приема замираю
щих сигналов. М., «Электросвязь», 1964, № 1 и 9.
И. J. Pierce. Theoretical diversity improvement in frequency-shift keying. — Proc. IRE, 1958, 46, 5; 1960, 48, N 1.
12.R. Price. Error probabilities for adaptive multichannel reception of binary signals. — IRE Trans., 1962, IT-8, N 5.
13.R. Price, P. Green. A communication technique for multipath channels. — Proc. IRE, 1958, 46, N 3.
14.W. Lindsey. Error probabilites for Racian fading multichannel reception of binary and N-ary signals. — IRE Trans., 1964, IT—10, N 4.
15.В. M. Смольянинов, Л. И. Филиппов. Синтез оптимальных приемников дискретных сигналов. М., «Высшая школа», 1967.
16.И. С. Андронов. Помехоустойчивость разнесенного приема по методу когерентного сложения сигналов. — Радиотехника, 1966, 3.
17.Я. Е. Кириллов. О помехоустойчивости приема сообщений по каналу с рассеянием. — Вопросы радиоэлектроники, 1967, серия ТРС, 1.
18.А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей. М., «Высшая школа», 1968.
19.А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Методы аналитического выражения радио сигналов. М., «Высшая школа», 1966.
20.Л. И. Филиппов. О количестве уровней квантования при дискретном пред ставлении слабого сигнала в шуме. — Радиотехника и электроника, 1963, 8, № 3.
21.S. Rice. Communication in the presence of noise. — Bell Syst. Techn. J., 1950, 1.
22.К. Хелстром. Статистическая теория обнаружения сигналов. ИЛ, 1963.
23./ . Р. Costas. Poisson, Shannon and radioamateur. — Proc. IRE, 1959, 12.
24.И. С. Градштейн, И. M. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М., «Советское радио», 1963.
25-. В. М. Смолытинов. Оптимальный разнесенный прием симметричных бинарных сигналов с оценкой параметров канала. — Радиотехника и электроника, 1970, 15, № 1.
26.В. М. Смольянинов, Л. И. Филиппов. Помехоустойчивость некогерентного приемника. — Радиотехника и электроника, 1971, 16, № 9.
27.В. М. Смольянинов, Л. И. Филиппов. Анализ оптимального приема сигна лов, прошедших канал со случайными параметрами. — Радиотехника, 1967, 2.
189