Файл: Филиппов, Л. И. Основы теории радиоприема дискретных сигналов (синтез и анализ) [монография].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 48

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и даже не осуществимой при разумных затратах. В ряде случаев оптимальным решением является, по-видимому, сочетание анало­ говой техники с цифровой.

Инженерная реализация приемников. Хотя теория синтеза и анализа оптимальных и подоптимальных приемников в настоящее время развита достаточно хорошо (но крайней мере для каналов с медленно изменяющимися параметрами), инженерная их реа­ лизация встречает большие затруднения. Основной причиной является необходимость применения элементов, практическое создание которых сложно. Так, например, в блок-схеме оптималь­ ного приемника широкополосных каналов необходимо использо­ вание линии задержки на время т№11 с отводами через 1/Д/„. Линия должна обладать этими свойствами в полосе Ajf0. Для ионосфер­ ного коротковолнового канала ткап может достигать нескольких миллисекунд. Если при этом полоса сигналов составляет 100 кгц, то число отводов достигает нескольких сот. Построение такой ли­ нии весьма сложно.

Инженерная реализация оптимальных приемников предста­ вляет собою самостоятельную задачу с сильным элементом при­ кладных исследований.

Другие задачи. Количество других общих и более частных задач практически неограниченно. Сюда можно отнести: методы наилуч­ шего кодирования информации в сигналы; применение не двоич­ ных, а М-арных сигналов (вопросы, которые почти не затронуты в настоящей книге); вопросы совместимости широкополосных систем; поиск оптимальных сигналов; методы генерирования сигналов, обладающих требующимися характеристиками; цифро­ вая реализация элементов и приемников в целом; поиск регуляр­ ных методов аппроксимации оптимальных структур; сравнитель­ ное исследование различных методов приема с учетом ряда техни­ ческих и технологических факторов; синтез на основе использо­ вания других критериев оптимальности и многие другие.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Оптимальный приемник должен вычислять и сравнивать или апостериорные вероятности сигналов s (t, 0) и s (t, -к) при условии,

что

принята реализация

у2 (t)e или правдоподобия фаз mq—0 и

=тс, т. е. р [у2 (i)|77iff].

При аддитивной помехе

 

Р \Уг (t) I mq] = j

р„ [у2 (t) — s {t, mq)] p [s (it)] ds (t),

где

p„ — распределение

помехи, а интегралом условно обозна­

чено усреднение по всем случайным параметрам s (t, mq), кроме

mq. Так как мы имеем предыдущую реализацию у (t), то ее следует использовать для вычисления р fs (£) ], т. е. использовать для расчета величину р [s(0|^i (£)]• Последнее можно найти по фор­ муле Байеса

p \ s ( t ) \ y i (I) 1 = p- [yi ( = р f a ( * ) I^т p i s m cm . i)

где после знака (—) опущены коэффициенты, несущественные при сравнении.

Примем, что р [s (t) ] есть некоторое равномерное распределе­ ние, тогда из (П 1.1) следует

Р [s (t) |уу(«)] 5= р [г/г (i) |* (*)].

(Г11. 2)

В соответствии с общими соотношениями из 4. 2

 

Р Is (*) I Vi (t)1 = exp J— щ

J

[уу (t) — s («)]* *

j=

 

— exp

4/V0A/o

2

~

sj^ + (3ij ~

s~y)2'l( =

=p[lv sj

 

J=i

 

 

 

>

IIIIIг/у. Уу11.

 

 

 

(П1. 3)

где Д/ 0— полоса сигнала;

yljr. — выборки

из

принятой на интер­

вале (0, Т0) реализации ух (t) в моменты //Д/0;

Sj— выборки из s(t);

|г/зу, fiyj\\— вектор, составленный из величин yXj. и yXj..

 

Правдоподобие фазы mq — 0

вычислится с использованием рас­

пределения

 

 

 

 

 

 

 

175

P \}J2it) I mt,

!/,

(*)] = j

..

. j

p [|| ijy,

y2jII | о, II sJt Sj ||] X

 

X P[|| sJt ^ || 11 yXj,

ft, I] П fojdSj =

 

 

 

 

 

 

 

ji

 

 

 

 

 

 

 

 

w a

 

 

 

 

exp

 

 

 

0/0

 

 

 

 

 

■4ВДГ 2

+

+

- ! ■ ■ ■ ! »

'

 

 

 

 

 

У= 1

 

 

+ ( lJ y

 

s j ) 2 + ( У у —

) Г„А/о

(ni■4)

—

*у)21 П d s j d S j ■

Многократный интеграл разбивается на произведение однократ­ ных, которые легко вычисляются. После вычисления и отбрасыва­ ния несущественных при сравнении коэффициентов получим

ГW о

Р Ы * )| 0,

уг^)] =

ехр'

 

1

2

+ % )2+ & у + % ) 21

 

 

 

 

 

I 4д^д77

 

 

 

 

 

 

 

У=1

 

 

 

= е х р Ц -

j 1Р1(*) +

Уа(<)1я* ) =

вхр { ^

S PiW PaW *}; (П1. 5)

I

°

Го

 

 

 

J

I

у0

>

через yj(i)

обозначена

задержанная на Т0 реализация yl (г).

Аналогично можно получить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

1

2Г°

)

 

P l08(f )K

Pi(*)] =

exp

gJv^ S lPlW — P2 (0]* *

=

 

 

 

 

 

 

l

 

yc

J

 

 

 

 

 

 

=

f

2r°

1

(П1.6)

 

 

 

 

 

exp |

S

P iW P a W *}.

 

 

 

 

 

 

i

0 y0

I

 

Из формул (П 1.5) и (П1.6) следует, что нриемник должен вычис­ лять и сравнивать с нулем величину

2Та

\ У\ (t) У2(*) dt.

Схема приемника, производящего соответствующие операции, изображена на рис. 6. 3.

Рассмотрим теперь прием сигналов с произведением А /с7’с 1. Ошибка происходит, если при изменении фазы последующего сигнала относительно предыдущего принимается решение, что фаза не изменилась, и наоборот. При равной вероятности обоих событий (фаза изменилась и фаза осталась той же) полная вероят­ ность ошибки равна вероятности ошибочного решения в одном из

этих случаев.

Рассмотрим случай, когда фазы предыдущего и последующего сигналов совпадают. Тогда на выход решающей схемы подается

176

вел и чи н а

rr0

*1 = j [« (*) + ’h (t)1 [S (t) + n2(«)] dt, 'J'o

где помеха % (t) относится к интервалу (О, Т0), но в результате сдвига по времени на величину Та находится на интервале (Г 0, 2ГС), а я2 (if) относится к интервалу (Гс, 2Та). Эти составляющие независимы между собой. Ошибка произойдет, если rj окажется меньше нуля.

Так как рассматриваемые реализации имеют конечную полосу, то величину rjможно представить через выборки из них следующим образом:

771

71 = ~Ш7 2 r(s/ + >hJ] ^

^ + Яу) <*у + Яу)1«

7 = 1

 

где индекс / означает, что данная величина представляет собой выборку в момент времени / 2тс/Д ш0 из соответствующего колеба­ ния, а волнистая черта сверху означает, что выборка взята из сопряженного по Гильберту колебания. Для белого шума все слагаемые выражения г; являются независимыми, поэтому харак­ теристическая функция 0 (у) случайной величины rj равна произ­ ведению характеристических функций ее слагаемых:

m

Ч») = П М у) М и>-

7 = 1

Если сначала предположить, что Пу — известная величина, то /-е слагаемое 1/2Д/е rcly) ( s га2Д будет случайной величиной, распределенной по нормальному закону, для которой характе­ ристическая функция известна [5] и параметры которой зависят от Пу. Усреднив далее характеристическую функцию по распре­ делению величины Пу, получим характеристическую функцию /-го слагаемого

ехр

«з

*°

\

 

 

2 А /0

( 1 - W qI>)J

i =

\j— 1 .

»у("> =

(1 +

 

 

 

 

 

 

Нетрудно видеть, что, заменив s2. на

получим характеристиче­

скую функцию (L (с). Используя равенство

 

 

m

 

Т а

 

 

 

1

(*5 +

^ ) = !

si(t)d t= Е ,

2Л/с 2

7 = 1

 

О

 

 

 

после перемножения получим

 

 

 

 

0 (у) = exp {e r = 1 7 v }

 

(П1.7)

 

 

(1 + N%u*)m

 

 

72 Л. И. Филиппов

177

Обратное преобразование Фурье функции 0 (о) является распре­ делением величины т):

р(т])=-%г 6 (i) ег^Чи —

exp I Е ^

■iN0v

гут;

(111. 8)

(1 +

ЛЧИ"

dv,

 

 

Для нахождения вероятности ошибки достаточно знать распреде­ ление величины т] только в области отрицательных значений. Подынтегральное"5 выражение (П1.8) в верхней полуплоскости комплексного аргумента v=x-\-iy не имеет никаких особенностей, кроме полюса m-го порядка в точке v=i/N0. Для отрицательного значения т) оно удовлетворяет и другим условиям леммы Жор­ дана. Поэтому, применяя теорему о вычетах для 7|<[0, получаем

 

 

t d - l ехР

i - i N (iv -

Ц

Р

(iiV0)mdy™-1

(1 — iN0v)m

 

— _L exp \___ ^ 4 - J L \ ^ L x

_

N0

У 1

2N0 ^

Na J dtm~i

Л

 

 

f_B___ L _

JL Д

 

 

exP { 2/VQ

2 — t ~ N 0

*)

(П1.9)

A

 

(2 — <)m

 

<-o*

 

 

 

Вероятность

ошибки

равна

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Р о т =

j

Р ft) *|.

(П1.10)

Для нахождения

производной

(П1.9) в

точке i= 0 достаточно

знать дифференцируемую функцию в окрестности точки t=0. При этих значениях t можно, подставив (П1.9) в (П1.10), сначала проинтегрировать, а затем продифференцировать, так как интег­

рал сходится. После

вычислений

получим

 

 

г

Е ) dm~1

Г Е

t

 

ехР { 2Na

2 — t

(П1. И)

Рат= ехр

1

(1 - t ) (2

- « Г

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

1. Рассмотрим вероятность ошибки разнесенного приема со сложением после обработку по методу ОФТ, считая, уто параметры

№

сигналов известны. Величина, которая сравнивается с нулем,

равна

П

 

* i= 2 v

 

к—1

где

при независимых помехах независимы и распределены по

закону (П1. 9). Характеристическая функция распределения ве­ личины Tj равна произведению характеристических функций

0> ) =

ехр К 1 -

}

(1 + А

 

V

 

 

где Eyj= ^ 1EIc— суммарная энергия всех сигнальных составляющих.

Л-=1

Из сравнения этого выражения с выражением (П1. 7) следует, что прием по такому методу эквивалентен приему широкополос­ ного сигнала с произведением (Af,.Ta)B=mn, т. е. с более широкой полосой. Так же как и в случае приема широкополосного сиг­ нала, здесь выполняется условие (Af0T0)a—mn ^ п. В дальнейшем будем рассматривать только вероятность ошибки широкополосного сигнала, прошедшего диффузионный канал, имея в виду, что для общего метода разнесения нужно вместо Е подставлять Es, а вместо т — произведение тп.

2.При передаче сигналов через диффузионный канал входная

реализация у (t) имеет вид (2. 8). Будем считать, что процессы

(t)

и ак («) за длительность сигнала не изменяются. Кроме того,

сна-

нала предположим, что на интервалах (О, Тс) и (Г„, 2Г0) величины ак и З.к сохраняют свое значение. Тогда вероятность ошибочного решения для каждой конкретной пары входных реализаций будет иметь вид (П1. 11), где энергия сигнала Е будет случайной вели­ чиной. Полная вероятность ошибки найдется путем усреднения выражения (П1. И) по распределению энергии.

Энергия сигнальной составляющей при единичной удельной энергии колебания s (t) и при условии, что его энергетический спектр имеет прямоугольный вид, равна

я = к2=1 («! + *!).

где случайные величины <*к и йк распределены по нормальному закону.

Предположим сначала, что ак и &к имеют нулевые средние и их корреляционная матрица является невырожденной и имеет

различные собственные числа

А^. [11].

Распределение энергии

в этом случае имеет вид

 

 

р ( Я ) = 2

ехр { -

2Гт}

2 П (А у -А ,)

У = 1

12*

179

Смотрите также файлы